重難點(diǎn)06六種幾何綜合模型（原卷版）

重難點(diǎn)06六種幾何綜合模型能力拓展能力拓展題型一：兩圓——中垂構(gòu)造等腰三角形模型一．選擇題（共2小題）1．（2021秋?浉河區(qū)校級(jí)月考）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，2），B（4，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2020?龍崗區(qū)模擬）平面直角坐標(biāo)系中，已知A（1，2）、B（3，0）．若在坐標(biāo)軸上取點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）A．5 B．6 C．7 D．8二．填空題（共1小題）3．（2021秋?定州市期中）如圖，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（2，0）和（0，3），在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)C，使△ABC是等腰三角形，則符合條件的C點(diǎn)共有個(gè)．三．解答題（共2小題）4．（2022?開州區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC，D是BC的中點(diǎn)，E為AC邊上任意一點(diǎn)，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，交AB于點(diǎn)G．（1）如圖1，若AB＝6，AE＝，求ED的長(zhǎng)；（2）如圖2，點(diǎn)G恰好是EF的中點(diǎn)，連接BF，求證：CD＝BF；（3）如圖3，若AB＝4，連接CF，當(dāng)CF+BF取得最小值時(shí)．請(qǐng)直接寫出S△CEF的值．5．（2018秋?徐州期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)分別為（4，0）、（0，3）．（1）求AB的長(zhǎng)度．（2）如圖2，若以AB為邊在第一象限內(nèi)作正方形ABCD，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

題型二：兩垂——圓構(gòu)造直角三角形模型一．選擇題（共1小題）1．（2020?章丘區(qū)模擬）如圖，已知點(diǎn)A（﹣6，0），B（2，0），點(diǎn)C在直線上，則使△ABC是直角三角形的點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4二．解答題（共4小題）2．（2021秋?開州區(qū)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABO為等腰直角三角形，∠AOB＝90°，AO＝BO，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，1）．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在x軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在第四象限是否存在一點(diǎn)M，使得以點(diǎn)O，A，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．（2021秋?曾都區(qū)期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，點(diǎn)F是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CB平分∠FCD．（1）求證：FC是⊙O的切線；（2）若AB＝10，BE：CE＝1：2，求FC的長(zhǎng)．4．（2022?江北區(qū)一模）如圖1，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，其中AB＝AD，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)E，在AC上取一點(diǎn)F，使得AF＝AB，過點(diǎn)F作GH⊥AC交⊙O于點(diǎn)G、H．（1）證明：△AED～△ADC．（2）如圖2，若AE＝1，且GH恰好經(jīng)過圓心O，求BC?CD的值．（3）若AE＝1，EF＝2，設(shè)BE的長(zhǎng)為x．①如圖3，用含有x的代數(shù)式表示△BCD的周長(zhǎng)．②如圖4，BC恰好經(jīng)過圓心O，求△BCD內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑的比值．5．（2021秋?驛城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，2），B（8，8），點(diǎn)C（m，0）為x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）當(dāng)m＝4時(shí)，寫出線段AC＝，BC＝．（2）求△ABC的面積．（用含m的代數(shù)式表示）（3）當(dāng)點(diǎn)C在運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在點(diǎn)C使△ABC為直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)三角形的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由．題型三：胡不歸模型一．填空題（共4小題）1．（2021秋?北碚區(qū)校級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，CD＝4，M，N分別是邊AB，AD的動(dòng)點(diǎn)，滿足AM＝DN，連接CM、CN，E是邊CM上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是CM上靠近C的四等分點(diǎn)，連接AE、BE、NF，當(dāng)△CFN面積最小時(shí)，BE+AE的最小值為．2．（2022?鄖西縣模擬）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，AB＝2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為．3．（2022?貢井區(qū)模擬）如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是．4．（2020?渝中區(qū)校級(jí)自主招生）已知在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)N在DC的延長(zhǎng)線上，過D作BN的垂線分別交BC、BN于點(diǎn)P和點(diǎn)M，點(diǎn)Q在CD邊上且滿足＝，連接AE、CE，則CE+（+1）AE的最小值等于．二．解答題（共5小題）5．（2022春?沙坪壩區(qū)校級(jí)期中）在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，連接BF，若ED＝2﹣，求線段BF的長(zhǎng)度；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)D作DM⊥DC，連接MC，且∠MCE＝15°，連接ME，請(qǐng)?zhí)剿骶€段BE，DM，EM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，連接AC，點(diǎn)Q是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB＝2，求QB+QC+QD的最小值．6．（2021?津南區(qū)一模）已知拋物線y＝x2﹣2x+c交x軸于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），其對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)C．（Ⅰ）求該拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（Ⅱ）設(shè)P是線段CD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)C，D重合）．①過點(diǎn)P作y軸的垂線l交拋物線（對(duì)稱軸右側(cè)）于點(diǎn)Q，連接QB，QD，求△QBD面積的最大值；②連接PB，求PD+PB的最小值．7．（2021?番禺區(qū)一模）如圖，△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，過點(diǎn)A作AO⊥AC交BC于點(diǎn)O．（1）求證：BO＝BC；（2）設(shè)AB＝k．①以O(shè)B為半徑的⊙O交BC邊于另一點(diǎn)P，點(diǎn)D為CA邊上一點(diǎn)，且CD＝2DA．連接DP，求S△CPD．②點(diǎn)Q是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B合），連接OQ，在點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過程中，求AQ+2OQ的最小值．8．（2021?羅湖區(qū)校級(jí)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx（a，b為常數(shù)，a≠0）與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）點(diǎn)P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△PAC面積的最大值；（Ⅲ）點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接QA，求QC+QA的最小值．9．（2021秋?簡(jiǎn)陽市期中）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，直線l1：y＝x+2經(jīng)過點(diǎn)D，分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)．直線l2：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)D及點(diǎn)C（1，0）．（1）求出直線l2的解析式．（2）在直線l2上是否存在點(diǎn)E，使△ABE與△ABO的面積相等，若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．（3）如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CP以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到D后停止，求H點(diǎn)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的最少用時(shí)．題型四：阿氏圓模型一．填空題（共2小題）1．（2022春?長(zhǎng)順縣月考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分別是邊BC、AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE＝4，P是DE的中點(diǎn)，連接PA，PB，則PA+PB的最小值為．2．（2020秋?天寧區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為8，∠B＝60°，圓B的半徑為4，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為．二．解答題（共3小題）3．（2021?渝中區(qū)校級(jí)自主招生）如圖，在△ABC與△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，BC＝AC，ED＝FD，點(diǎn)D在AB上．（1）如圖1，若點(diǎn)F在AC的延長(zhǎng)線上，連接AE，探究線段AF、AE、AD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，且AC＝3，DE＝4，將△DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，連接BF，點(diǎn)G為BF的中點(diǎn)，連接CG，在旋轉(zhuǎn)的過程中，求CG+BG的最小值；（3）如圖3，若點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接BF、CE交于點(diǎn)M，CE交AB于點(diǎn)N，且BC：DE：ME＝7：9：10，請(qǐng)直接寫出的值．4．（2021?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）如圖1，在四邊形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)E，△ADE為等邊三角形．（1）若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面積；（2）如圖2，若BC＝CD，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，求證：AB＝2AF；（3）如圖3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，點(diǎn)P為四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠APD＝90°，連接BP，取BP的中點(diǎn)Q，連接CQ．當(dāng)AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2時(shí)，求CQ+BQ的最小值．5．（2019秋?山西期末）閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點(diǎn)A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點(diǎn)P會(huì)組成一個(gè)圓．這個(gè)結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點(diǎn)C（m，0），D（0，n），點(diǎn)P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時(shí)CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點(diǎn)M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過程補(bǔ)充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫出AD+BD的最小值．

題型五：瓜豆原理一．填空題（共4小題）1．（2020春?綦江區(qū)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝6，BC＝，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為．2．（2020?蘭溪市模擬）如圖，∠AOB＝30°，OD＝4，當(dāng)點(diǎn)C在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作等腰Rt△CDE，CD＝DE，則O，E兩點(diǎn)間距離的最小值為．3．（2020?邗江區(qū)校級(jí)一模）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∠B＝120°，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將線段EF繞點(diǎn)F按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，G為點(diǎn)E對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接CG，則CG的最小值為．4．（2019秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E為BC上一點(diǎn)，且BE＝1，F(xiàn)為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接EF，將EF繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為．二．解答題（共2小題）5．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上中點(diǎn)，點(diǎn)F為直線BD上一點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且DN＝2NC，點(diǎn)F從BD中點(diǎn)Q沿射線QD運(yùn)動(dòng)，將線段EF繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EP，連接FP，當(dāng)NP+MP最小時(shí)，直接寫出△DPN的面積．6．若AC＝4，以點(diǎn)C為圓心，2為半徑作圓，點(diǎn)P為該圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接AP．（1）如圖1，取點(diǎn)B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點(diǎn)P繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點(diǎn)P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點(diǎn)A、P、Q按照順時(shí)針方向排列），在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)A繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到點(diǎn)M，連接PM，則CM的最小值為．

題型六：幾何中的等分面積問題一．選擇題（共1小題）1．（2022春?連江縣期末）如圖，AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，若S△ABC＝24，則S△ACE等于（）A．6 B．8 C．10 D．12二．填空題（共3小題）2．（2022?金平區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO是正方形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，4），直線y＝mx﹣2恰好把正方形ABCO的面積分成相等的兩部分，則m＝．3．（2021秋?河西區(qū)期中）如圖①，O1，O2，O3，O4為四個(gè)等圓的圓心，A，B，C，D為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫出一條直線，將這四個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)是；如圖②，O1，O2，O3，O4，O5為五個(gè)等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫出一條直線，將這五個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說明這條直線經(jīng)過的兩個(gè)點(diǎn)是．（答案不唯一）4．（2021春?寧強(qiáng)縣期末）已知平面上四點(diǎn)A（0，0），B（10，0），C（10，6），D（0，6），直線y＝mx﹣3m+2將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，則m的值為．三．解答題（共3小題）5．（2021春?福山區(qū)期中）如圖，有一塊長(zhǎng)（3a+b）米，寬（2a+b）米的長(zhǎng)方形廣場(chǎng)，園林部門要對(duì)陰影區(qū)域進(jìn)行綠化，空白區(qū)域進(jìn)行廣場(chǎng)硬化．其中，四個(gè)角部分是半徑為（a﹣b）米的四個(gè)大小相同的扇形，中間部分是邊長(zhǎng)為（a+b）米的正方形．（1）用含有a，b的代數(shù)式表示需要硬化部分的面積（直接列式，不需要化簡(jiǎn)，單位：平方米）；（2）若a＝20，b＝8，求硬化部分的面積（要求：先化簡(jiǎn)再求值，結(jié)果保留π的形式）．6．（2019秋?雅安期末）如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形放在平面直角坐標(biāo)系第二象限，使AB邊落在x