專題1.3勾股定理12大必考考點（知識梳理典例剖析變式訓(xùn)練）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍（原卷版）

20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題1.3勾股定理12大必考考點精講精練（知識梳理+典例剖析+變式訓(xùn)練）【目標(biāo)導(dǎo)航】【知識梳理】1.勾股定理：（1）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．就是說，對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有這就是勾股定理．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．2.勾股定理逆定理“若三角形的兩條邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形為直角三角形.”這一命題是勾股定理的逆定理.它可以幫助我們判斷三角形的形狀，為根據(jù)邊的關(guān)系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法.定理的證明采用了構(gòu)造法.兩個命題中,如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論,而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題,那么它也是一個定理,這兩個定理叫做互逆定理,其中一個叫做另一個的逆定理.3.勾股定理的證明：（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．勾股數(shù)：4.勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…5.勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應(yīng)用：運用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【典例剖析】【考點1】勾股定理【例1】（2021秋?南京期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分別以AB、AC為斜邊向外作等腰直角三角形，它們的面積分別記作S1與S2，若S1＝16，S2＝25，則BC的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1.1】（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，點D是BC上的一點，且BD=2，DC=3，則ABA．4 B．9 C．16 D．25【變式1.2】（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級期中）如圖，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=1，則BC的長是（）A．3+22 B．1+2 C．2【變式1.3】（2022·江蘇·鎮(zhèn)江市第三中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，將邊BC沿CE翻折，點B落在點F處，連接CF交AB于點D，則FD的最大值為（

A．35 B．45 C．23【考點2】勾股定理與面積【例2】（2020春?潮南區(qū)期末）如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形．若斜邊AB＝3，則圖中的陰影部分的面積（）A．9 B．92 C．94 D【變式2.1】（2022·江蘇·星海實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，分別以AB、AC、BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作S1、S2、S3，若S1=25A．9 B．11 C．32 D．41【變式2.2】（2021·江蘇·海安市曲塘中學(xué)附屬初級中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，分別以直角三角形三邊為邊向外作等邊三角形，面積分別為S1、S2、S3.其中S1=4，A．8 B．16 C．160 D．128【變式2.3】（2022·江蘇·海安市紫石中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC為底邊分別向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面積為S1，△BCE的面積為S2，則A．8 B．16 C．24 D．32【考點3】勾股定理與弦圖【例3】（2020秋?江陰市期中）如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成大正方形，若小正方形的邊長為3，大正方形邊長為15，則一個直角三角形的周長是（）A．45 B．36 C．25 D．18【變式3.1】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖，“趙爽弦圖”由4個全等的直角三角形所圍成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若圖中大正方形的面積為42，小正方形的面積為5，則(a+b)2的值為（

A．37 B．47 C．68 D．79【變式3.2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，“趙爽弦圖”是吳國的趙爽創(chuàng)制的．以直角三角形的斜邊為邊長得到一個正方形，該正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的小正方形組成，在一次游園活動中，數(shù)學(xué)小組制作了一面“趙爽弦圖鑼”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，則陰影部分的面積是（

）A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2【變式3.3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，構(gòu)造了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖，大正方形ABCD由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，若∠ADE=∠AED，AD=45，則△ADEA．24 B．6 C．25 D．【考點4】直角三角形的判定【例4】（2019秋?玄武區(qū)校級期中）觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…，請你寫出具有以上規(guī)律的第⑧組勾股數(shù)：．【變式4.1】（2022·江蘇徐州·八年級期中）下列條件下，△ABC不是直角三角形的是（

）A．a(chǎn)2=bC．∠C=∠B+∠A D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【變式4.2】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小格的頂點叫做格點，以格點為頂點分別畫三角形，則圖中直角三角形是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式4.3】（2022·江蘇·蘇州高新區(qū)第一初級中學(xué)校八年級階段練習(xí)）正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點．如圖，已知A、B是兩格點，使得△ABC為直角三角形的格點C的個數(shù)是（）A．4個 B．5個 C．6個 D．8個【考點5】勾股數(shù)【例5】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2…，按此規(guī)律繼續(xù)下去，則S1002299 B．22100 C．【變式5.1】（2022·江蘇·東臺市頭灶鎮(zhèn)六灶學(xué)校八年級期末）下列給出的四組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（

）A．2，4，6 B．1，3，2 C．1，2，3 D．3，4，5【變式5.2】（2022·江蘇·八年級課時練習(xí)）如圖，圖中的四邊形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面積分別記為A，B，C，D，則它們之間的關(guān)系為（

）A．A+B=C+D B．A-C=D-B C．A+D=B+C D．以上都不對【考點6】勾股定理與分類討論【例6】（2020秋?寶應(yīng)縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以1cm/s的速度運動，設(shè)運動時間為ts，當(dāng)t＝s時，△ABP是以AB為腰的等腰三角形．【變式6.1】（2022·浙江·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）八年級期中）如圖，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=23cm，點P從點B開始以1cm/s的速度向點C移動，當(dāng)△ABPA．3s B．3s或4s C．1s或4s【變式6.2】（2022·河南·鄭州市第三中學(xué)八年級階段練習(xí)）若直角三角形的兩邊長分別為a，b，且滿足a2A．5 B．16 C．5或7 D．25或7【變式6.3】（2022·廣東深圳·八年級期中）若一個直角三角形的三邊長分別為：6，8，x，則x的值是（

）A．10 B．27 C．2 D．10或【考點7】勾股定理的應(yīng)用：高度問題【例7】（2021秋?六合區(qū)期中）如圖，有一個水池，水面是一個邊長為14尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．則水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【變式7.1】（2020·江蘇·儀征市實驗中學(xué)東區(qū)校八年級階段練習(xí)）小明想知道學(xué)校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多了1m，當(dāng)他把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高.【變式7.2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)八年級）如圖，某自動感應(yīng)門的正上方A處裝著一個感應(yīng)器，離地的高度AB為2.7米，當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器的感應(yīng)范圍內(nèi)時，感應(yīng)門就會自動打開．一個身高1.5米的學(xué)生CD正對門，緩慢走到離門1.6米的地方時（BC=1.6米），感應(yīng)門自動打開，AD為多少米？【變式7.3】（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校八年級期中）如圖，在一棵樹CD的10m高處的B點有兩只猴子，它們都要到A處池塘邊喝水，其中一只猴子沿樹爬下走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直線躍入池塘的A處．如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，試問這棵樹多高？【考點8】勾股定理的應(yīng)用：滑梯問題【例8】（2020春?濉溪縣期末）如圖1，一架云梯斜靠在一豎直的墻上，云梯的頂端距地面15米，梯子的長度比梯子底端離墻的距離大5米．（1）這個云梯的底端離墻多遠(yuǎn)？（2）如圖2，如果梯子的頂端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米？【變式8.1】（2022·江蘇·泰州市第二中學(xué)附屬初中八年級期中）如圖，長為10m的梯子AB斜靠在豎直于地面的墻上，梯子的頂端A到地面的距離AC為8m．(1)求水平地面上梯子底端B與墻壁的距離BC的長度；(2)當(dāng)梯子的頂端A下滑2m到點A'時，底端B向外滑動到點B'，求此時【變式8.2】（2022·江蘇·連云港市新海實驗中學(xué)八年級期中）如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的AC上，這時點B到墻底端C的距離BC為0.7米．(1)求AC的值；(2)如果梯子的頂端沿墻面下滑0.4米，那么點B是否也向外移動0.4米？請通過計算說明．【變式8.3】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，一條筆直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墻面上，一端在墻面A處，另一端在地面B處，墻角記為點C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的頂端A沿墻下滑1米，那么點B將向外移動多少米？②竹竿的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？如果不可能，請說明理由；如果可能，請求出移動的距離（保留根號）．(2)若AC=BC，則頂端A下滑的距離與底端B外移的距離，有可能相等嗎？若能相等，請說明理由；若不等，請比較頂端A下滑的距離與底端B外移的距離的大?。究键c9】勾股定理的應(yīng)用：點到線的距離問題【例9】（2020秋?吳江區(qū)期中）某校機(jī)器人興趣小組在如圖所示的三角形場地上開展訓(xùn)練．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；機(jī)器人從點C出發(fā)，沿著△ABC邊按C→B→A→C的方向勻速移動到點C停止；機(jī)器人移動速度為每秒2個單位，移動至拐角處調(diào)整方向需要1秒（即在B、A處拐彎時分別用時1秒）．設(shè)機(jī)器人所用時間為t秒時，其所在位置用點P表示（機(jī)器人大小不計）．（1）點C到AB邊的距離是4.8；（2）是否存在這樣的時刻，使△PBC為等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【變式9.1】（2022·江蘇·八年級單元測試）《中華人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過70km/h．如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方30m的C處，過了2s【變式9.2】（2022·江蘇·八年級專題練習(xí)）“交通管理條例第三十五條”規(guī)定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【變式9.3】（2022·江蘇無錫·八年級期中）新冠疫情期間，為了提高人民群眾防疫意識，很多地方的宣講車開起來了，大喇叭響起來了，宣傳橫幅掛起來了，電子屏亮起來了，電視、廣播、微信、短信齊上陣，防疫標(biāo)語、宣傳金句頻出，這傳遞著打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)的堅定決心．如圖，在一條筆直公路MN的一側(cè)點A處有一村莊，村莊A到公路MN的距離AB為800米，若宣講車周圍1000米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，宣講車在公路MN上沿MN方向行駛．(1)請問村莊A能否聽到宣傳？請說明理由；(2)如果能聽到，已知宣講車的速度是300米/分鐘，那么村莊A總共能聽到多長時間的宣傳？【考點10】勾股定理及逆定理的綜合計算【例10】（2020秋?江都區(qū)期中）為了綠化環(huán)境，我縣某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面積．（2）若每種植1平方米草皮需要200元，問總共需投入多少元？【變式10.1】（2022·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中八年級期中）如圖，四邊形ABCD是公園中的一塊空地，∠B=90°,AB=6m(1)連接AC，判斷△ACD的形狀并說明理由；(2)公園為美化環(huán)境，欲在該空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需費用多少元？【變式10.2】（2022·江蘇·姜堰區(qū)實驗初中八年級）如圖，在△ABC中，AB=AC=10，(1)尺規(guī)作圖（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）①作∠BAC的平分線交BC于點D；②作邊AC的中點E，連接DE；(2)在（1）所作的圖中求DE，BE的長．【變式10.3】（2022·江蘇·星海實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足為D．(1)證明：∠A=2∠BCD；(2)若AC=4，BC=22，求CD(3)若CD=3，BD=1，點P是線段AB上一點，當(dāng)∠ACP=∠ACD-∠BCD時，求點P到直線AC的距離．【考點11】勾股定理的應(yīng)用：存在性問題【例11】（2018秋?江都區(qū)期中）如圖1A村和B村在一條大河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC、BD分別為1千米和4千米，又知道CD的長為4千米．（1）現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來水．有兩種方案備選．方案1：水廠建在C點，修自來水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如圖2）方案2：作A點關(guān)于直線CD的對稱點A′，連接A′B交CD于M點，水廠建在M點處，分別向兩村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如圖3）從節(jié)約建設(shè)資金方面考慮，將選擇管道總長度較短的方案進(jìn)行施工．請利用已有條件分別進(jìn)行計算，判斷哪種方案更合適．（2）有一艘快艇Q從這條河中駛過，當(dāng)快艇Q與CD中點C相距多遠(yuǎn)時，△ABQ為等腰三角形？直接寫出答案，不要說明理由．【變式11.1】（2022·江蘇·蘇州市立達(dá)中學(xué)校八年級期中）如圖，在ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若點P從點A出發(fā)，以每秒1cm的速度沿折線A→C→B→A運動，設(shè)運動時間為(1)若點P在AC上，且滿足PA=PB時，求出此時t的值；(2)若點P恰好在∠BAC的角平分線上（點A除外），求t的值；(3)若點Q為AB中點，在點P運動的過程中，當(dāng)∠PCQ=∠PQC時，則t的值為___________．（請直接寫出結(jié)果）【變式11.2】（2022·江蘇徐州·八年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，動點P從點B出發(fā)沿射線BC以1cm(1)直接寫出BC=______cm；(2)當(dāng)AP平分∠BAC時，求t的值；(3)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值．【變式11.3】（2022·江蘇·無錫市天一實驗學(xué)校八年級期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=8，D是AC上的一點，CD=3，點P從B點出發(fā)沿射線BC方向以每秒2個單位的速度向右運動．設(shè)點P(1)當(dāng)t=2秒時，求AP的長度；(2)當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值；(3)過點D作DE⊥AP于點E．在點P的運動過程中，當(dāng)t為何值時，能使DE=CD？【考點12】勾股定理的證明綜合問題【例12】（2020秋?天寧區(qū)期中）如圖①，美麗的弦圖，蘊含著四個全等的直角三角形．（1）弦圖中包含了一大，一小兩個正方形，已知每個直角三角形較長的直角邊為a．較短的直角邊為b，斜邊長為c，結(jié)合圖①，試驗證勾股定理；（2）如圖②，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成飛鏢狀，已知外圍輪廓（粗線）的周長為24，OC＝3，求該飛鏢狀圖案的面積；（3）如圖③，將八個全等的直角三角形緊密地拼接，記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，則S2＝163【變式12.1】（2022·江蘇·南京市第十二初級中學(xué)八年級期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖1所示．