江蘇省常州中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

江蘇省常州中學2025屆高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-322．已知復數(shù)，若，則的值為（）A．1 B． C． D．3．把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)是偶函數(shù)，則實數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．4．以下四個命題：①兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近1；②在回歸分析中，可用相關指數(shù)的值判斷擬合效果，越小，模型的擬合效果越好；③若數(shù)據(jù)的方差為1，則的方差為4；④已知一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)，其線性回歸方程，則“滿足線性回歸方程”是“，”的充要條件；其中真命題的個數(shù)為()A．4 B．3 C．2 D．15．已知直線：與橢圓交于、兩點，與圓：交于、兩點.若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列中，，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．7．在中，為上異于，的任一點，為的中點，若，則等于（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，為圖象的對稱中心，若圖象上相鄰兩個極值點，滿足，則下列區(qū)間中存在極值點的是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B．C． D．10．若x，y滿足約束條件且的最大值為，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，若函數(shù)在處取得極大值，則函數(shù)的圖象可能是（）A． B．C． D．12．記個兩兩無交集的區(qū)間的并集為階區(qū)間如為2階區(qū)間，設函數(shù)，則不等式的解集為（）A．2階區(qū)間 B．3階區(qū)間 C．4階區(qū)間 D．5階區(qū)間二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則不等式的解集為____________.14．已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)15．若，則______.16．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，則______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當時，求不等式的解集；（Ⅱ）若不等式對任意實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.19．（12分）已知數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）分別求數(shù)列，的前項和，.20．（12分）已知首項為2的數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列．（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經(jīng)過點(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點，過左焦點F的直線l交橢圓C于D，E兩點（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．22．（10分）橢圓的左、右焦點分別為，橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形，且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓的另一交點為，當點在以線段為直徑的圓上時，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質可以求得結果.【詳解】由，，得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列的等和性應用能快速求得結果.2、D【解析】由復數(shù)模的定義可得：，求解關于實數(shù)的方程可得：.本題選擇D選項.3、A【解析】

先求出的解析式，再求出的解析式，根據(jù)三角函數(shù)圖象的對稱性可求實數(shù)滿足的等式，從而可求其最小值.【詳解】的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應的函數(shù)解析式為，故.令，，解得，.因為為偶函數(shù)，故直線為其圖象的對稱軸，令，，故，，因為，故，當時，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象變換以及三角函數(shù)的圖象性質，注意平移變換是對自變量做加減，比如把的圖象向右平移1個單位后，得到的圖象對應的解析式為，另外，如果為正弦型函數(shù)圖象的對稱軸，則有，本題屬于中檔題．4、C【解析】

①根據(jù)線性相關性與r的關系進行判斷,

②根據(jù)相關指數(shù)的值的性質進行判斷,

③根據(jù)方差關系進行判斷,

④根據(jù)點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，而回歸直線必過樣本中心點，可進行判斷.【詳解】①若兩個隨機變量的線性相關性越強,則相關系數(shù)r的絕對值越接近于1,故①正確;

②用相關指數(shù)的值判斷模型的擬合效果,越大,模型的擬合效果越好,故②錯誤;

③若統(tǒng)計數(shù)據(jù)的方差為1,則的方差為,故③正確;

④因為點滿足回歸直線方程，但點不一定就是這一組數(shù)據(jù)的中心點，即，不一定成立，而回歸直線必過樣本中心點，所以當，時，點必滿足線性回歸方程；因此“滿足線性回歸方程”是“，”必要不充分條件.故④錯誤;

所以正確的命題有①③.

故選：C.【點睛】本題考查兩個隨機變量的相關性，擬合性檢驗，兩個線性相關的變量間的方差的關系，以及兩個變量的線性回歸方程，注意理解每一個量的定義，屬于基礎題.5、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心，由此得到坐標的關系，再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設，且線過定點即為的圓心，因為，所以，又因為，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故選：A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用，著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用，難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的，大大簡化運算.6、B【解析】

先根據(jù)題意，對原式進行化簡可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉化為恒成立，再利用函數(shù)性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對于任意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質的運用，屬于綜合性較強的題目，解題的關鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉化函數(shù)，屬于難題.7、A【解析】

根據(jù)題意，用表示出與，求出的值即可.【詳解】解：根據(jù)題意，設，則，又，，，故選：A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，關鍵是要找到一組合適的基底表示向量，是基礎題.8、A【解析】

結合已知可知，可求，進而可求，代入，結合，可求，即可判斷．【詳解】圖象上相鄰兩個極值點，滿足，即，，，且，，，，，，當時，為函數(shù)的一個極小值點，而．故選：．【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質的簡單應用，解題的關鍵是性質的靈活應用．9、D【解析】

由圖象可以求出周期，得到，根據(jù)圖象過點可求，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質求出單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象知，所以，，又圖象過點，所以，故可取，所以令，解得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為故選：．【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質，利用“五點法”求函數(shù)解析式，屬于中檔題.10、A【解析】

畫出約束條件的可行域，利用目標函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可．【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因為的最大值為，所以在點處取得最大值，則，即.故選：A【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結合是解決本題的關鍵．11、B【解析】

由題意首先確定導函數(shù)的符號，然后結合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導，其導函數(shù)為，且函數(shù)在處取得極大值，當時，；當時，；當時，.時，，時，，當或時，；當時，.故選：【點睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值，判斷導函數(shù)在極值點附近左側為正，右側為負，由正負情況討論圖像可能成立的選項，是判斷圖像問題常見方法，有一定難度.12、D【解析】

可判斷函數(shù)為奇函數(shù)，先討論當且時的導數(shù)情況，再畫出函數(shù)大致圖形，將所求區(qū)間端點值分別看作對應常函數(shù)，再由圖形確定具體自變量范圍即可求解【詳解】當且時，.令得.可得和的變化情況如下表：令，則原不等式變?yōu)?，由圖像知的解集為，再次由圖像得到的解集由5段分離的部分組成，所以解集為5階區(qū)間.故選：D【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性求解對應自變量范圍，導數(shù)法研究函數(shù)增減性，數(shù)形結合思想，轉化與化歸思想，屬于難題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，，分類討論即可.【詳解】由已知，，，若，則或解得或，所以不等式的解集為.故答案為：【點睛】本題考查分段函數(shù)的應用，涉及到解一元二次不等式，考查學生的計算能力，是一道中檔題.14、y=2x【解析】試題分析：當x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數(shù)的奇偶性、解析式及導數(shù)的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當x>0時，函數(shù)y=f(x)，則當x<0時，求函數(shù)的解析式”．有如下結論：若函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則當x<0時，函數(shù)的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式為y=-f(-x)．15、【解析】

直接利用關系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù)，進一步求出的值．【詳解】解：若，則，即，所以．故答案為：．【點睛】本題考查的知識要點：定積分的應用，被積函數(shù)的原函數(shù)的求法，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題．16、【解析】

對題目所給等式進行賦值，由此求得的表達式，判斷出數(shù)列是等比數(shù)列，由此求得的值.【詳解】解：，可得時，，時，，又，兩式相減可得，即，上式對也成立，可得數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，可得．【點睛】本小題主要考查已知求，考查等比數(shù)列前項和公式，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）分三種情況討論，分別求解不等式組，然后求并集即可得不等式的解集；（Ⅱ）根據(jù)絕對值不等式的性質可得，不等式對任意實數(shù)恒成立，等價于，解不等式即可求的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）當時，即，①當時，得，所以；②當時，得，即，所以；③當時，得成立，所以.故不等式的解集為.（Ⅱ）因為，由題意得，則，解得，故的取值范圍是.18、（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構建方程求得BC，最后由余弦定理構建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.【點睛】本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.19、（1）（2）；【解析】

（1），，可得為公比為2的等比數(shù)列，可得為公差為1的等差數(shù)列，再算出，的通項公式，解方程組即可；（2）利用分組求和法解決.【詳解】（1）依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，為公差為1的等差數(shù)列，由，得解得故數(shù)列，的通項公式分別為.（2），.【點睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項和，考查學生的計算能力，是一道中檔題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由原式可得,等式兩端同時除以,可得到,即可證明結論;（2）由（1）可求得的表達式,進而可求得的表達式,然后求出的前項和即可.【詳解】（1）證明:因為,所以,所以,從而,因為,所以,故數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可知,則,因為,所以,則.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的證明,考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的前項和公式的應用,考查了學生的計算求解能力,屬于中檔題.21、（1）（2）．【解析】

（1）利用離心率和橢圓經(jīng)過的點建立方程組，求解即可.（2）把面積之比轉化為縱坐標之間的關系，聯(lián)立方程結合韋達定理可求.【詳解】解：（1）設焦距為2c，由題意知：；解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，設l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直線l的方程為．【點睛】本題主要考查橢圓方程的求