2025屆北京市西城區(qū)第一五六中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆北京市西城區(qū)第一五六中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在下列四個正方體中，、為正方體兩個頂點，、、為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（）A. B.C. D.2．下列命題中不正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)1，2，3，3，4，5的眾數(shù)大于中位數(shù)B.數(shù)據(jù)6，5，4，3，3，3，2，2，2，1的分位數(shù)為5C.若甲組數(shù)據(jù)的方差為5，乙組數(shù)據(jù)為5，6，9，10，5，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙D.為調(diào)查學(xué)生每天平均閱讀時間，某中學(xué)從在校學(xué)生中，利用分層抽樣的方法抽取初中生20人，高中生10人．經(jīng)調(diào)查，這20名初中生每天平均閱讀時間為60分鐘，這10名高中生每天平均閱讀時間為90分鐘，那么被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時間為70分鐘3．1弧度的圓心角所對的弧長為6，則這個圓心角所夾的扇形的面積是（）A.3 B.6C.18 D.364．已知，則（）A. B.C. D.5．設(shè)函數(shù)f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，則下列結(jié)論中正確的是（）A.B.點是函數(shù)的一個對稱中心C.在上是增函數(shù)D.存在直線經(jīng)過點且與函數(shù)的圖象有無數(shù)多個交點6．已知函數(shù)：①y＝2x；②y＝log2x；③y＝x－1；④y＝；則下列函數(shù)圖像(第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的對應(yīng)順序是()A.②①③④ B.②③①④C.④①③② D.④③①②7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.8．函數(shù)對于定義域內(nèi)任意，下述四個結(jié)論中，①②③④其中正確的個數(shù)是（）A.4 B.3C.2 D.19．若一元二次不等式的解集為，則的值為（）A. B.0C. D.210．若sin（），α是第三象限角，則sin（）＝（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．袋子中有大小和質(zhì)地完全相同的4個球，其中2個紅球，2個白球，不放回地從中依次隨機摸出2球，則2球顏色相同的概率等于________12．已知函數(shù)，關(guān)于方程有四個不同的實數(shù)解，則的取值范圍為__________13．已知的定義域為，那么a的取值范圍為_________14．已知直三棱柱的6個頂點都在球O的球面上，若，則球O的半徑為________15．扇形半徑為，圓心角為60°，則扇形的弧長是____________16．2021年10月16日0時23分，搭載神舟十三號載人飛船的長征二號F遙十三運載火箭，在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點火升空.約582秒后，載人飛船與火箭成功分離，進(jìn)入預(yù)定軌道，發(fā)射取得圓滿成功.此次航天飛行任務(wù)中，火箭起到了非常重要的作用.火箭質(zhì)量是箭體質(zhì)量與燃料質(zhì)量的和，在不考慮空氣阻力的條件下，燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比.已知某火箭的箭體質(zhì)量為mkg，當(dāng)燃料質(zhì)量為mkg時，該火箭的最大速度為2ln2km/s，當(dāng)燃料質(zhì)量為時，該火箭最大速度為2km/s.若該火箭最大速度達(dá)到第一宇宙速度7.9km/s，則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的_______________倍.（參考數(shù)據(jù)：）三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，CA＝CB，點D，E分別為AB，AC的中點．求證：（1）DE∥平面PBC；（2）CD⊥平面PAB18．設(shè)集合，.（1）若，求；（2）若，求實數(shù)的取值集合.19．某興趣小組在研究性學(xué)習(xí)活動中，通過對某商店一種商品銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該商品在過去的一個月內(nèi)（以天計）的日銷售價格（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足（為常數(shù)）.該商品的日銷售量（個）與時間（天）部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：（天）（個）已知第天該商品日銷售收入為元.（1）求出該函數(shù)和的解析式；（2）求該商品的日銷售收入（元）的最小值.20．某農(nóng)戶利用墻角線互相垂直的兩面墻，將一塊可折疊的長為am的籬笆墻圍成一個雞圈，籬笆的兩個端點A，B分別在這兩墻角線上，現(xiàn)有三種方案：方案甲：如圖1，圍成區(qū)域為三角形；方案乙：如圖2，圍成區(qū)域為矩形；方案丙：如圖3，圍成區(qū)域為梯形，且.（1）在方案乙、丙中，設(shè)，分別用x表示圍成區(qū)域的面積，;（2）為使圍成雞圈面積最大，該農(nóng)戶應(yīng)該選擇哪一種方案，并說明理由.21．已知函數(shù)，實數(shù)且（1）設(shè)，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并說明理由；（2）設(shè)且時，的定義域和值域都是，求的最大值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】利用線面平行判定定理可判斷A、B、C選項的正誤；利用線面平行的性質(zhì)定理可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，如下圖所示，連接，在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，，平面，平面，平面；對于B選項，連接，如下圖所示：在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、的中點，則，，平面，平面，平面；對于C選項，連接，如下圖所示：在正方體中，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，、分別為、中點，則，，平面，平面，平面；對于D選項，如下圖所示，連接交于點，連接，連接交于點，若平面，平面，平面平面，則，則，由于四邊形為正方形，對角線交于點，則為的中點，、分別為、的中點，則，且，則，，則，又，則，所以，與平面不平行；故選：D.【點睛】判斷或證明線面平行的常用方法：（1）利用線面平行的定義，一般用反證法；（2）利用線面平行的判定定理（，，），其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找（或作）一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言的敘述；（3）利用面面平行的性質(zhì)定理（，）.2、A【解析】由中位數(shù)以及眾數(shù)判斷A；由百分位數(shù)的定義計算判斷B；計算乙組數(shù)據(jù)的方差判斷C；計算被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時間從而判斷D.【詳解】對于A，中位數(shù)為和眾數(shù)相等，故A錯誤；對于B，將該組數(shù)據(jù)從小到大排列為，，則該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為5，故B正確；對于C，乙組數(shù)據(jù)，方差為，則這兩組數(shù)據(jù)中較穩(wěn)定的是乙，故C正確；對于D，被抽中的30名學(xué)生每天平均閱讀時間為，故D正確；故選：A3、C【解析】由弧長的定義，可求得扇形的半徑，再由扇形的面積公式，即可求解.【詳解】由1弧度的圓心角所對的弧長為6，利用弧長公式，可得，即，所以扇形的面積為.故選C.【點睛】本題主要考查了扇形的弧長公式和扇形的面積公式的應(yīng)用，著重考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】先求出，再分子分母同除以余弦的平方，得到關(guān)于正切的關(guān)系式，代入求值.【詳解】由得，，所以故選：D5、D【解析】根據(jù)f（x）≥f（）對一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．結(jié)合周期判斷各選項即可【詳解】函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=周期T=2π由題意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正確；x=取得最小值，那么+=就是相鄰的對稱中心，∴點（,0）不是函數(shù)f（x）的一個對稱中心；因為x=取得最小值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，f（x）在是減函數(shù)故選D【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，排除法求解，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力6、D【解析】圖一與冪函數(shù)圖像相對應(yīng)，所以應(yīng)④；圖二與反比例函數(shù)相對應(yīng)，所以應(yīng)為③；圖三與指數(shù)函數(shù)相對應(yīng)，所以應(yīng)為①；圖四與對數(shù)函數(shù)圖像相對應(yīng)，所以應(yīng)為②所以對應(yīng)順序為④③①②，故選D7、A【解析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因為，所以.故選：A.8、B【解析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性依次判讀4個序號即可.【詳解】，①正確；，，②錯誤；，由，且得，故，③正確；由為減函數(shù)，可得，④正確.故選：B.9、C【解析】由不等式與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，從而解得【詳解】解：∵不等式kx2﹣2x+k＜0的解集為{x|x≠m}，∴，解得，k＝﹣1，m＝﹣1，故m+k＝﹣2，故選：C10、C【解析】由α是第三象限角，且sin（），可得為第二象限角，即可得，然后結(jié)合，利用兩角和的正弦公式展開運算即可.【詳解】解：因為α是第三象限角，則，又sin（），所以，即為第二象限角，則，則，故選：C.【點睛】本題考查了角的拼湊，重點考查了兩角和的正弦公式，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】把4個球編號，用列舉法寫出所有基本事件，并得出2球顏色相同的事件，計數(shù)后可計算概率【詳解】2個紅球編號為，2個白球編號為，則依次取2球的基本事件有：共6個，其中2球顏色相同的事件有共2個，所求概率為故答案為：12、【解析】作出的圖象如下：結(jié)合圖像可知，，故令得：或，令得：，且等號取不到，故，故填.點睛：一般討論函數(shù)零點個數(shù)問題，都要轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題或兩個函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題，本題由于涉及函數(shù)為初等函數(shù)，可以考慮函數(shù)圖像來解決，轉(zhuǎn)化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數(shù)圖像處理能力要求較高.13、【解析】根據(jù)題意可知，的解集為，由即可求出【詳解】依題可知，的解集為，所以，解得故答案為：14、【解析】根據(jù)直角三角形的外接圓的直徑是直角三角形的斜邊，結(jié)合球的對稱性、勾股定理、直三棱柱的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以三角形是以為斜邊的直角三角形，因此三角形的外接圓的直徑為，圓心為.因為，所以，在直三棱柱中，側(cè)面是矩形且它的中心即為球心O，球的直徑是的長，則，所以球的半徑為故答案為：【點睛】本題考查了直三棱柱外接球問題，考查了直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力.15、【解析】根據(jù)弧長公式直接計算即可.【詳解】解：扇形半徑為，圓心角為60°，所以，圓心角對應(yīng)弧度為.所以扇形的弧長為.故答案為：16、51【解析】設(shè)燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比的比例系數(shù)為k，根據(jù)條件列方程求出k值，再設(shè)當(dāng)該火箭最大速度達(dá)到第--宇宙速度7.9km/s時，燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的a倍，根據(jù)題中數(shù)據(jù)再列方程可得a值.【詳解】設(shè)燃料質(zhì)量不同的火箭的最大速度之差與火箭質(zhì)量的自然對數(shù)之差成正比的比例系數(shù)為k，則，解得，設(shè)當(dāng)該火箭最大速度達(dá)到第一宇宙速度7.9km/s時，燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的a倍，則，得，則燃料質(zhì)量是箭體質(zhì)量的51倍故答案為：51.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)由點D、E分別為AB、AC中點得知DE∥BC,由此證得DE∥平面PBC;(2)要證CD⊥平面PAB,只需證明垂直平面內(nèi)的兩條相交直線與即可.【詳解】（1）因為點D、E分別為AB、AC中點，所以DE∥BC又因為DE?平面PBC，BC?平面PBC，所以DE∥平面PBC（2）因為CA＝CB，點D為AB中點，所以CD⊥AB因為PA⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以PA⊥CD又因為PA∩AB＝A，所以CD⊥平面PAB【點睛】本題考查線面平行的證明,線面垂直的證明,屬于基礎(chǔ)題.垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.18、（1）；（2）.【解析】易得．（1）由；（2），然后利用分類討論思想對、和分三種情況進(jìn)行討論.試題解析：集合（1）若，則，則（2），∴，當(dāng)，即時，成立；當(dāng)，即時，（i）當(dāng)時，，要使得，，只要解得，所以的值不存在；（ii）當(dāng)時，，要使得，只要解得綜上，的取值集合是考點：集合的基本運算.19、（1），（2）最小值為元【解析】（1）利用可求得的值，利用表格中的數(shù)據(jù)可得出關(guān)于、的方程組，可解得、的值，由此可得出函數(shù)和的解析式；（2）求出函數(shù)的解析式，利用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性求得在且、且的最小值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：依題意知第天該商品的日銷售收入為，解得，所以，.由表格可知，解得.所以，.【小問2詳解】解：由（1）知，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，.，當(dāng)時，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即.當(dāng)時，因為函數(shù)、均為減函數(shù)，則函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值，且.綜上所述，當(dāng)時，取得最小值，且.故該商品的日銷售收入的最小值為元.20、（1），；，.（2）農(nóng)戶應(yīng)該選擇方案三，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)矩形面積與梯形的面積公式表示即可得答案；（2）先根據(jù)基本不等式研究方案甲得面積的最大值為，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合（1）研究，的最大值即可得答案.【小問1詳解】解：對于方案乙，當(dāng)時，，所以矩形的面積，；對于方案丙，當(dāng)時，，由于所以，所以梯形面積為，.【小問2詳解】解：對于方案甲，設(shè)，則，所以三角形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故方案甲的雞圈面積最大值為.對于方案乙，由（1）得，