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PAGE課后素養(yǎng)落實(四十八)獨(dú)立性檢驗問題(建議用時:40分鐘)一、選擇題1.在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中,下列說法中正確的是()A.若隨機(jī)變量χ2>6.635,我們有99%以上的把握說吸煙與患肺病有關(guān),則某人吸煙,那么他有99%的可能患有肺病B.若從統(tǒng)計量中求出有99%以上的把握說吸煙與患肺病有關(guān),則在100個吸煙者中必有99人患有肺病C.若從統(tǒng)計量中求出有95%以上的把握說吸煙與患肺病有關(guān),是指有5%的可能性使得推斷錯誤D.以上說法均錯誤C[由隨機(jī)變量χ2的意義可知答案C正確.]2.有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試,依據(jù)大于等于85分為優(yōu)秀,85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成果,得到如下所示的列聯(lián)表:優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機(jī)抽取1人,成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7),則下列說法正確的是()A.列聯(lián)表中c的值為30,b的值為35B.列聯(lián)表中c的值為15,b的值為50C.依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的牢靠性要求,能認(rèn)為“成果與班級有關(guān)系”D.依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),若按95%的牢靠性要求,不能認(rèn)為“成果與班級有關(guān)系”C[由題意知,成果優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是30,成果非優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)是75,所以c=20,b=45,選項A、B錯誤.依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),得到χ2=eq\f(105×10×30-20×452,55×50×30×75)≈6.109>3.841,因此有95%的把握認(rèn)為“成果與班級有關(guān)系”,選項C正確.]3.下列選項中,哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認(rèn)為“A與B有關(guān)系”()A.χ2=2.700 B.χ2=2.710C.χ2=3.765 D.χ2=5.014D[∵5.014>3.841,故D正確.]4.以下關(guān)于獨(dú)立性檢驗的說法中,錯誤的是()A.獨(dú)立性檢驗依據(jù)小概率原理B.獨(dú)立性檢驗得到的結(jié)論肯定正確C.樣本不同,獨(dú)立性檢驗的結(jié)論可能有差異D.獨(dú)立性檢驗不是推斷兩分類變量是否相關(guān)的唯一方法B[獨(dú)立性檢驗得到的結(jié)論不肯定正確,如我們得出有90%的把握認(rèn)為A與B有關(guān),只是說這種推斷的正確性為90%,詳細(xì)問題中A與B可能有關(guān),也可能無關(guān).]5.兩個分類變量X和Y,值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)分別是a=10,b=21,c+d=35.若X與Y有關(guān)系的可信程度不小于95%,則c等于()A.3B.7C.5D.6A[列2×2列聯(lián)表如下:x1x2總計y1102131y2cd35總計10+c21+d66故χ2=eq\f(66×[1035-c-21c]2,31×35×10+c56-c)≥3.841.把選項A,B,C,D代入驗證可知選A.]二、填空題6.為了了解長頭發(fā)與女性頭暈是否有關(guān)系,隨機(jī)抽查301名女性,得到如下列聯(lián)表,試依據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空.頭暈狀況發(fā)型常常頭暈很少頭暈總計長發(fā)35①121短發(fā)37143②總計72③④則空格中的數(shù)據(jù)應(yīng)分別為:①________;②________;③________;④________.86180229301[最右側(cè)的總計是對應(yīng)的行上的兩個數(shù)據(jù)的和,由此可求出①和②;而最下面的總計是相應(yīng)的列上兩個數(shù)據(jù)的和,由剛才的結(jié)果可求得③④.]7.某高校在探討性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系,你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)收集的數(shù)據(jù)是________.男正教授人數(shù),女正教授人數(shù),男副教授人數(shù),女副教授人數(shù)[由探討的問題可知,需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù),女正教授人數(shù),男副教授人數(shù),女副教授人數(shù).]8.兩個分類變量X,Y,它們的取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其列聯(lián)表為:YXy1y3總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d若兩個分類變量X,Y沒有關(guān)系,則下列結(jié)論正確的是________(填序號).①ad≈bc;②eq\f(a,a+b)≈eq\f(c,c+d);③a+b≈c+d;④a+c≈b+d;⑤eq\f(a+b+c+dad-bc2,a+bb+da+cc+d)≈0.①②⑤[因為分類變量X,Y獨(dú)立,所以eq\f(a,a+b)≈eq\f(c,c+d),化簡得ad≈bc,所以①②⑤正確,③④明顯不正確.]三、解答題9.某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名,25周歲以下工人200名.為探討工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān),現(xiàn)采納分層隨機(jī)抽樣的方法,從中抽取了100名工人,先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù),然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組,再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分別加以統(tǒng)計,得到如下圖所示的頻率分布直方圖.25周歲以上組25周歲以下組規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”,請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并推斷是否有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”?[解]由頻率分布直方圖可知,在抽取的100名工人中,“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25=15(人),“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375=15(人),據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下:生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)=eq\f(100×15×25-15×452,60×40×30×70)=eq\f(25,14)≈1.79.因為1.79<2.706,所以沒有90%的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關(guān)”.10.為了探討患慢性氣管炎與吸煙量的關(guān)系,調(diào)查了228人,其中每天的吸煙支數(shù)在10支以上的20支以下的調(diào)查者中,患者人數(shù)有98人,非患者人數(shù)有89人,每天的吸煙支數(shù)在20支以上的調(diào)查者中,患者人數(shù)有25人,非患者人數(shù)有16人.(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立兩個分類變量的列聯(lián)表;(2)試問患慢性氣管炎是否與吸煙量相互獨(dú)立?[解](1)依據(jù)已知數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表如下:患病狀況吸煙狀況患病者未患病者總計10支以上20支以下988918720支以上251641總計123105228(2)χ2=eq\f(n×ad-bc2,a+b×c+d×a+c×b+d)=eq\f(228×98×16-25×892,187×41×123×105)≈0.994,因為χ2≈0.994<2.706,所以我們沒有充分證據(jù)判定患慢性氣管炎與吸煙量有關(guān),即可以認(rèn)為患慢性氣管炎與吸煙量相互獨(dú)立.11.假設(shè)有兩個分類變量X與Y,它們的可能取值分別為{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列聯(lián)表為:y1y2x11018x2m26則當(dāng)m取下面何值時,X與Y的關(guān)系最弱()A.8B.9C.14D.19C[由10×26≈18m,解得m≈14.4,所以當(dāng)m=14時,X與Y的關(guān)系最弱.]12.假設(shè)有兩個變量X與Y,它們的取值分別為x1,x2和y1,y2,其列聯(lián)表為:y1y2總計x1aba+bx2cdc+d總計a+cb+da+b+c+d以下各組數(shù)據(jù)中,對于同一樣本能說明X與Y有關(guān)系的可能性最大的一組為()A.a(chǎn)=50,b=40,c=30,d=20B.a(chǎn)=50,b=30,c=40,d=20C.a(chǎn)=20,b=30,c=40,d=50D.a(chǎn)=20,b=30,c=50,d=40D[當(dāng)(ad-bc)2的值越大,隨機(jī)變量χ2=eq\f(nad-bc2,a+bc+da+cb+d)的值越大,可知X與Y有關(guān)系的可能性就越大.明顯選項D中,(ad-bc)2的值最大.]13.(多選題)依據(jù)下面的2×2列聯(lián)表得到如下推斷,則正確的選項是()嗜酒不嗜酒總計患肝病70060760未患肝病20032232總計90092992A.至少有99.9%的把握認(rèn)為“患肝病與嗜酒有關(guān)”B.至少有99%的把握認(rèn)為“患肝病與嗜酒無關(guān)”C.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“患肝病與嗜酒有關(guān)”D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“患肝病與嗜酒無關(guān)”AC[由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可求得χ2的觀測值χ2=eq\f(992×700×32-60×2002,760×232×900×92)≈7.349>6.635,所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為“患肝病與嗜酒有關(guān)”,即至少有99%的把握認(rèn)為“患肝病與嗜酒有關(guān)”.因此AC正確.]14.(一題兩空)某高校《統(tǒng)計初步》課程的老師隨機(jī)調(diào)查了選該課程的學(xué)生的一些狀況,詳細(xì)數(shù)據(jù)如下表:專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男3320女1726則χ2≈________,有________的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān).4.91495%[依題意知:χ2=eq\f(96×33×26-20×172,53×43×50×46)≈4.914,∵4.914>3.841,∴有95%的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關(guān).]15.中國調(diào)查網(wǎng)有一項關(guān)于午休問題的調(diào)查,其結(jié)果如下:(單位:人)性別對午休的看法男女總計有用50214264無用113①182合計163283②(1)將題表補(bǔ)充完整,應(yīng)填入的數(shù)
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