2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章統(tǒng)計案例7.3獨立性檢驗問題課后素養(yǎng)落實含解析北師大版選擇性必修第一冊

PAGE課后素養(yǎng)落實(四十八)獨立性檢驗問題(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．在吸煙與患肺病這兩個分類變量的計算中，下列說法中正確的是()A．若隨機變量χ2>6.635，我們有99%以上的把握說吸煙與患肺病有關，則某人吸煙，那么他有99%的可能患有肺病B．若從統(tǒng)計量中求出有99%以上的把握說吸煙與患肺病有關，則在100個吸煙者中必有99人患有肺病C．若從統(tǒng)計量中求出有95%以上的把握說吸煙與患肺病有關，是指有5%的可能性使得推斷錯誤D．以上說法均錯誤C[由隨機變量χ2的意義可知答案C正確．]2．有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，依據(jù)大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成果，得到如下所示的列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計甲班10b乙班c30總計105已知在全部105人中隨機抽取1人，成果優(yōu)秀的概率為eq\f(2,7)，則下列說法正確的是()A．列聯(lián)表中c的值為30，b的值為35B．列聯(lián)表中c的值為15，b的值為50C．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，能認為“成果與班級有關系”D．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，若按95%的牢靠性要求，不能認為“成果與班級有關系”C[由題意知，成果優(yōu)秀的學生數(shù)是30，成果非優(yōu)秀的學生數(shù)是75，所以c＝20，b＝45，選項A、B錯誤．依據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(105×10×30－20×452,55×50×30×75)≈6.109>3.841，因此有95%的把握認為“成果與班級有關系”，選項C正確．]3．下列選項中，哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認為“A與B有關系”()A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014D[∵5.014>3.841，故D正確．]4．以下關于獨立性檢驗的說法中，錯誤的是()A．獨立性檢驗依據(jù)小概率原理B．獨立性檢驗得到的結(jié)論肯定正確C．樣本不同，獨立性檢驗的結(jié)論可能有差異D．獨立性檢驗不是推斷兩分類變量是否相關的唯一方法B[獨立性檢驗得到的結(jié)論不肯定正確，如我們得出有90%的把握認為A與B有關，只是說這種推斷的正確性為90%，詳細問題中A與B可能有關，也可能無關．]5．兩個分類變量X和Y，值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)分別是a＝10，b＝21，c＋d＝35．若X與Y有關系的可信程度不小于95%，則c等于()A．3B．7C．5D．6A[列2×2列聯(lián)表如下：x1x2總計y1102131y2cd35總計10＋c21＋d66故χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)≥3.841．把選項A，B，C，D代入驗證可知選A．]二、填空題6．為了了解長頭發(fā)與女性頭暈是否有關系，隨機抽查301名女性，得到如下列聯(lián)表，試依據(jù)表格中已有數(shù)據(jù)填空．頭暈狀況發(fā)型常常頭暈很少頭暈總計長發(fā)35①121短發(fā)37143②總計72③④則空格中的數(shù)據(jù)應分別為：①________；②________；③________；④________．86180229301[最右側(cè)的總計是對應的行上的兩個數(shù)據(jù)的和，由此可求出①和②；而最下面的總計是相應的列上兩個數(shù)據(jù)的和，由剛才的結(jié)果可求得③④．]7．某高校在探討性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關系，你認為應當收集的數(shù)據(jù)是________．男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)[由探討的問題可知，需收集的數(shù)據(jù)應為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)．]8．兩個分類變量X，Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其列聯(lián)表為：YXy1y3總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d若兩個分類變量X，Y沒有關系，則下列結(jié)論正確的是________(填序號)．①ad≈bc；②eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)；③a＋b≈c＋d；④a＋c≈b＋d；⑤eq\f(a＋b＋c＋dad－bc2,a＋bb＋da＋cc＋d)≈0．①②⑤[因為分類變量X，Y獨立，所以eq\f(a,a＋b)≈eq\f(c,c＋d)，化簡得ad≈bc，所以①②⑤正確，③④明顯不正確．]三、解答題9．某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為探討工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關，現(xiàn)采納分層隨機抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分別加以統(tǒng)計，得到如下圖所示的頻率分布直方圖．25周歲以上組25周歲以下組規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你依據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并推斷是否有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”？[解]由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產(chǎn)能手60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產(chǎn)能手40×0.375＝15(人)，據(jù)此可得2×2列聯(lián)表如下：生產(chǎn)能手非生產(chǎn)能手合計25周歲以上組15456025周歲以下組152540合計3070100所以得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(100×15×25－15×452,60×40×30×70)＝eq\f(25,14)≈1.79．因為1.79<2.706，所以沒有90%的把握認為“生產(chǎn)能手與工人所在的年齡組有關”．10．為了探討患慢性氣管炎與吸煙量的關系，調(diào)查了228人，其中每天的吸煙支數(shù)在10支以上的20支以下的調(diào)查者中，患者人數(shù)有98人，非患者人數(shù)有89人，每天的吸煙支數(shù)在20支以上的調(diào)查者中，患者人數(shù)有25人，非患者人數(shù)有16人．(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)建立兩個分類變量的列聯(lián)表；(2)試問患慢性氣管炎是否與吸煙量相互獨立？[解](1)依據(jù)已知數(shù)據(jù)建立的列聯(lián)表如下：患病狀況吸煙狀況患病者未患病者總計10支以上20支以下988918720支以上251641總計123105228(2)χ2＝eq\f(n×ad－bc2,a＋b×c＋d×a＋c×b＋d)＝eq\f(228×98×16－25×892,187×41×123×105)≈0.994，因為χ2≈0.994<2.706，所以我們沒有充分證據(jù)判定患慢性氣管炎與吸煙量有關，即可以認為患慢性氣管炎與吸煙量相互獨立．11．假設有兩個分類變量X與Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列聯(lián)表為：y1y2x11018x2m26則當m取下面何值時，X與Y的關系最弱()A．8B．9C．14D．19C[由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以當m＝14時，X與Y的關系最弱．]12．假設有兩個變量X與Y，它們的取值分別為x1，x2和y1，y2，其列聯(lián)表為：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各組數(shù)據(jù)中，對于同一樣本能說明X與Y有關系的可能性最大的一組為()A．a(chǎn)＝50，b＝40，c＝30，d＝20B．a(chǎn)＝50，b＝30，c＝40，d＝20C．a(chǎn)＝20，b＝30，c＝40，d＝50D．a(chǎn)＝20，b＝30，c＝50，d＝40D[當(ad－bc)2的值越大，隨機變量χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)的值越大，可知X與Y有關系的可能性就越大．明顯選項D中，(ad－bc)2的值最大．]13．(多選題)依據(jù)下面的2×2列聯(lián)表得到如下推斷，則正確的選項是()嗜酒不嗜酒總計患肝病70060760未患肝病20032232總計90092992A．至少有99.9%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”B．至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒無關”C．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“患肝病與嗜酒有關”D．在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“患肝病與嗜酒無關”AC[由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可求得χ2的觀測值χ2＝eq\f(992×700×32－60×2002,760×232×900×92)≈7.349>6.635，所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認為“患肝病與嗜酒有關”，即至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”．因此AC正確．]14．(一題兩空)某高校《統(tǒng)計初步》課程的老師隨機調(diào)查了選該課程的學生的一些狀況，詳細數(shù)據(jù)如下表：專業(yè)性別非統(tǒng)計專業(yè)統(tǒng)計專業(yè)男3320女1726則χ2≈________，有________的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關．4.91495%[依題意知：χ2＝eq\f(96×33×26－20×172,53×43×50×46)≈4.914，∵4.914>3.841，∴有95%的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關．]15．中國調(diào)查網(wǎng)有一項關于午休問題的調(diào)查，其結(jié)果如下：(單位：人)性別對午休的看法男女總計有用50214264無用113①182合計163283②(1)將題表補充完整，應填入的數(shù)