數(shù)學(xué)同步優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。4。2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1。已知=（，),=（—2，y）,若⊥，則y的值為（）A.B.-2C。D。2解析：∵⊥，∴·（-2）+·y=0，解得y=2.答案：D2.向量｜a｜=9，|b｜=12,則|a+b|的最大值和最小值分別為_(kāi)__________________。解析：由｜｜a|-｜b｜|≤｜a+b|≤｜a|+|b|可得結(jié)果.答案：21和33。(2006高考天津卷,理12）設(shè)向量a與b的夾角為θ,且a=（3,3），2b—a=（—1，1)，則cosθ=____。解析：設(shè)b=（x，y)，則2b—a=(2x，2y)—(3，3)=(-1，1），∴∴b=（1,2).∴cosθ=。答案:4。已知向量a與b同向，b=（1，2），a·b=10.（1)求向量a的坐標(biāo)；（2)若c=(2,—1)，求（b·c）a.解:（1）∵向量a與b同向，b=（1，2），∴a=λb=（λ,2λ).又∵a·b=10，∴有λ+4λ=10.解得λ=2＞0.符合向量a與b同向的條件.∴a=(2,4）.(2）∵b·c=1×2+2×(-1)=0，∴(b·c）a=0.10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1.已知平面上直線l的方向向量e=（）,點(diǎn)O（0,0)和A(1，—2）在l上的射影分別是O1、A1，則=λe,其中λ等于（）A.B.C.2D.-2解析：方法一：由向量在已知向量上的射影的定義知λ=｜|cos〈e，〉==·=-=—2。方法二：利用數(shù)形結(jié)合的思想，作圖可得.令向量e過(guò)原點(diǎn),故與e方向相反。排除A、C，檢驗(yàn)B、D可知D正確。答案：D2.（2006高考江蘇卷，理6)已知兩點(diǎn)M(—2,0)、N（2,0）,點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足||·｜｜+·=0，則動(dòng)點(diǎn)P(x,y）的軌跡方程為()A。y2=8xB。y2=-8xC。y2=4xD。y2=-4x解析：=（4，0),=(x-2，y)·=4（x-2).由已知有+4(x+2)=0，整理得y2=—8x。答案：B3。A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)依次是（—1，0）、（0，2)、(4，3）、（3,1)，則四邊形ABCD為（）A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形解析:∵=(1，2），=(1,2）,∴.又線段AB與線段DC無(wú)公共點(diǎn)，∴AB∥DC且|AB｜=｜DC｜.∴四邊形ABCD為平行四邊形.又|AB|=，｜BC|=，∴｜AB｜≠｜DC｜?！嗥叫兴倪呅蜛BCD不是菱形也不是正方形.又·=4+2=6≠0,∴AB與BC不垂直?！嗥叫兴倪呅蜛BCD不是矩形.答案：D4。已知｜a｜=，b=(—2,3）且a⊥b，則a的坐標(biāo)為_(kāi)______________________。解析：設(shè)a=(x,y），則x2+y2=52.由a⊥b得-2x+3y=0。由以上兩個(gè)條件得答案：（6，4)或（-6，-4）5。已知A、B、C、D四點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,0）、B（4，3)、C(2,4）、D(m，n）.當(dāng)m、n滿足什么條件時(shí)，四邊形ABCD分別是平行四邊形、菱形、矩形、正方形、梯形(A、B、C、D按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校拷?由條件知=（3，3）,=(-2,1）,AD=（m-1,n）,=（2—m，4-n).（1）若四邊形ABCD為平行四邊形，則,∴（3,3)=（2-m，4—n），解得m=—1，n=1.∴當(dāng)m=-1，n=1時(shí),四邊形ABCD為平行四邊形。（2)當(dāng)m=-1，n=1時(shí)，=(3，3），=（-2，1).則||=,|｜=，｜｜≠｜|.因此,使四邊形ABCD為菱形的m、n不存在.(3)當(dāng)m=—1,n=1時(shí)，·=（3，3)·(—2，1）=-3≠0，即AB、CD不垂直。因此使四邊形ABCD為距形的m、n不存在。(4）由（2）、（3)知，使四邊形ABCD為正方形的m、n不存在。（5)若四邊形ABCD為梯形，則=λ或=λ，其中λ為實(shí)數(shù),且λ＞0,λ≠1。所以（λ＞0,λ≠1)或（λ＞0,λ≠1）.整理得m、n的取值條件為n=m+2(m＜2,m≠—1)或n=(m＜1，m≠—1）.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.若向量b與向量a=(1,-2)的夾角是180°，且｜b｜=,則b等于(）A.（—3，6）B.(3，—6)C。（6，-3)D.(-6,3）解析：方法一：設(shè)b=λ（-1，2)，且λ＞0，有（—λ）2+(2λ）2=（）2b=（—3，6）。方法二：由題意可知，向量a,b共線且方向相反.故可由方向相反排除B，C；由共線可知b=-3a答案：A2.已知平面向量a=（3，1)，b=(x,-3)，且a⊥b，則x等于（）A。3B.1C解析：由3x+1×（—3)=0,得x=1。答案：B3.已知m=（1，0)，n=(1，1），且m+kn恰好與m垂直,則實(shí)數(shù)k的值為(）A.1B。-1C解析:m+kn=（1，0)+k(1,1）=（1+k,k)，∵m+kn與m垂直，∴（m+kn)·m=0，即(1+k，k）·（1，0）=0?！?1+k）×1+k×0=0，得k=-1.答案：B4。設(shè)m、n是兩個(gè)非零向量，且m=（x1，y1)，n=(x2,y2)，則以下等式中與m⊥n等價(jià)的個(gè)數(shù)有(）①m·n=0②x1x2=-y1y2③｜m+n|=｜m-n｜④｜m+B|=A。1B。2C解析：由兩非零向量垂直的條件可知①②正確,由模的計(jì)算公式與向量垂直的條件可知③④也正確.答案：D5.（2006高考湖南卷,理5）已知｜a｜=2｜b｜≠0,且關(guān)于x的方程x2+|a|x+a·b=0有實(shí)根，則a與b的夾角的取值范圍是(）A。[0,］B.［,π］C。［，]D。［，π］解析:方程x2+｜a｜x+a·b=0有實(shí)根可推出｜a|2—4a·b≥0。設(shè)a與b的夾角為θ，則cosθ=≤，∴θ∈[,π］。答案：B6.已知向量a和b的夾角為120°，且｜a｜=2，｜b｜=5，則（2a—b)·a=________________解析：（2a—b）·a=2a2—b·a=2×22—5×2×cos120°=8+5×2×答案：137.在△ABC中，∠A=90°,=(k,1)，=(2，3），則k的值是___________________。解析:∵∠A=90°，∴⊥?！唷?2k+3=0.∴k=—。答案:—8.設(shè)兩向量e1、e2滿足｜e1｜=2，|e2|=1，e1、e2的夾角為60°，若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)t的取值范圍。解:∵=4，=1,e1·e2=2×1×cos60°，∴（2te1+7e2）·(e1+te2）=2t+(2t2+7)e1·e2+7t=2t2+15t+7?！?t2+15t+7＜0?！唷?＜t＜。設(shè)2te1+7e2=λ（e1+te2）（λ＜0)，則2t=λ,且7=tλ，∴2t2=7.∴t=，λ=.∴t=時(shí)，2te1+7e2與e1+te2的夾角為π，故t的取值范圍是(—7，）∪(，).9。平面內(nèi)有向量=(1，7），=(5,1）,=(2，1)，點(diǎn)X為直線OP上的一動(dòng)點(diǎn)。(1）當(dāng)·取最小值時(shí)，求OX的坐標(biāo)；（2)當(dāng)點(diǎn)X滿足(1)的條件和結(jié)論時(shí)，求cos∠AXB的值.解：(1）設(shè)=（x,y)，因?yàn)辄c(diǎn)X在直線OP上,所以向量與共線.又=(2,1)，所以x·1—y·2=0,x=2y。所以=(2y,y)。又且=(1，7)，所以=(1—2y，7-y）。同理，=(5—2y，1—y)。于是有·=(1-2y）（5-2y）+（7-y）(1-y)=5（y-2)2—8。所以當(dāng)y=2時(shí)，·=5(y—2)2—8有最小值-8，此時(shí)=(4，2）。（2）當(dāng)=(4，2），即y=2時(shí),有=（—3,5），=(1,—1),｜｜=，|｜=,·=—3×1+5×（—1）=—8。所以cos∠AXB==.10。如圖2—4—圖2-4解:設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)(x，y），則=(x，y），=（x—5,y-2),∵⊥,∴x(x—5)+y(y-2）=0，即x2+y2—5x-2y=0。又∵||=｜|，∴x2+y2=（x—5)2+（y-2）2，即10x+4y=29。由或∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(，—）或(,)，=(—，—)或(-，）.11.平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C在一條直線上，=(-2,m)，=(n,1），=(5,—1)，且⊥，求實(shí)數(shù)m、n的值.解析：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以=λ。因?yàn)?(7，—1-m)，=（n+2，