數(shù)學(xué)學(xué)案：第二講一圓周角定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精一圓周角定理1．了解圓心角定理，并能解決問題．2．理解圓周角定理及其兩個(gè)推論,并能解決有關(guān)問題．1．圓周角定理文字語言圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半圖形語言符號(hào)語言在⊙O中，所對(duì)的圓周角和圓心角分別是∠BAC,∠BOC,則有∠BAC＝______∠BOC作用確定圓中兩個(gè)角的大小關(guān)系定理中的圓心角與圓周角一定是對(duì)著同一條弧，它們才有上面定理中所說的數(shù)量關(guān)系．【做一做1】如圖所示,在⊙O中，∠BAC＝25°，則∠BOC等于（)A．25°B．50°C．30°D．12.5°2．圓心角定理文字語言圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)____的度數(shù)圖形語言符號(hào)語言A，B是⊙O上兩點(diǎn),則弧的度數(shù)等于______的度數(shù)作用確定圓弧或圓心角的度數(shù)【做一做2】如圖所示，兩個(gè)同心圓中，的度數(shù)是30°，且大圓的半徑R＝4，小圓的半徑r＝2，則的度數(shù)是__________．3．圓周角定理的推論(1)推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角______；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧______．（2）推論2：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是______；90°的圓周角所對(duì)的弦是______．(1)圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等，但并不是“圓心角等于它所對(duì)的弧"；（2）“相等的圓周角所對(duì)的弧也相等”的前提條件是“在同圓或等圓中"；（3）由弦相等推出弧相等時(shí),這里的弧要求同是優(yōu)弧或同是劣弧，一般選劣?。?)在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦三組量之間的相等關(guān)系簡(jiǎn)單地說，就是圓心角相等能推出弧相等，進(jìn)而能推出弦相等．【做一做3－1】如圖所示，在⊙O中,∠BAC＝60°，則∠BDC等于()A．30°B．45°C．60°D．75°【做一做3－2】如圖所示，AB是⊙O的直徑，C是上的一點(diǎn)，且AC＝4，BC＝3，則⊙O的半徑r等于(）A．eq\f(5,2)B．5C．10D．不確定答案：基礎(chǔ)知識(shí)·梳理1．eq\f（1，2）【做一做1】B根據(jù)圓周角定理，得∠BOC＝2∠BAC＝50°.2．弧∠AOB【做一做2】30°的度數(shù)等于∠AOB，又的度數(shù)等于∠AOB，則的度數(shù)是30°。3．(1)相等相等(2）90°直徑【做一做3－1】C∠BDC＝∠BAC＝60°.【做一做3－2】A∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB＝90°.∴AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r（42＋32）＝5?！?r＝AB＝5。∴r＝eq\f（5，2).相等的圓周角所對(duì)的弧不一定相等剖析：“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”是在“同圓或等圓中”這一大前提下成立的,如圖．若AB∥DG,則∠BAC＝∠EDF，但≠。題型一求線段的長(zhǎng)【例題1】如圖,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在⊙O上，∠BAC的平分線與BC邊和⊙O分別交于點(diǎn)D，E.（1）指出圖中相似的三角形，并說明理由;（2）若EC＝4，DE＝2，求AD的長(zhǎng)．分析：（1）本題證三角形相似要用三角形相似的判定定理，而其中角的條件由同弧所對(duì)的圓周角相等得出；（2)要求線段長(zhǎng)度，先由三角形相似得線段成比例，然后再求其長(zhǎng)度．反思：求圓中線段長(zhǎng)時(shí)，常先利用圓周角定理及其推論得到相似三角形,從而得到成比例線段，再列方程求得線段長(zhǎng)．題型二證明線段相等【例題2】如圖，BC為圓O的直徑,AD⊥BC，＝，BF和AD相交于E，求證：AE＝BE。分析：要證AE＝BE，只需在△ABE中證明∠ABE＝∠EAB,而要證這兩個(gè)角相等，只需借助∠ACB即可．反思：（1)有關(guān)圓的題目中,圓周角與它所對(duì)的弧經(jīng)常相互轉(zhuǎn)化，即欲證圓周角相等，可轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等;要證線段相等可以轉(zhuǎn)化為證明它們所對(duì)的弧相等，這是證明圓中線段相等的常見策略．(2)若已知條件中出現(xiàn)直徑，則常用到“直徑所對(duì)的圓周角為直角”這一性質(zhì)解決問題．題型三易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)誤認(rèn)為同弦或等弦所對(duì)圓周角相等【例題3】如圖所示，∠BAD＝75°，則∠BCD＝__________。錯(cuò)解：∵∠BAD和∠BCD所對(duì)的弦都是BD，∴∠BAD＝∠BCD．∴∠BCD＝75°。錯(cuò)因分析：錯(cuò)解中,沒有注意到圓周角∠BAD和∠BCD所對(duì)的弧不相等，導(dǎo)致得到錯(cuò)誤的結(jié)論∠BAD＝∠BCD．反思：同弦或等弦所對(duì)的圓周角不一定相等．當(dāng)弦是直徑時(shí)，同弦或等弦所對(duì)的圓周角相等,都等于90°；當(dāng)弦不是直徑時(shí),該弦將圓周分成兩條弧:優(yōu)弧和劣弧,若圓周角的頂點(diǎn)同在優(yōu)弧上,或同在劣弧上，同弦或等弦所對(duì)的圓周角相等；若一個(gè)圓周角的頂點(diǎn)在優(yōu)弧上,另一個(gè)圓周角的頂點(diǎn)在劣弧上，則同弦或等弦所對(duì)的圓周角不相等，它們互補(bǔ)（如本題)．答案:【例題1】解：(1)∵AE平分∠BAC,∴∠BAD＝∠EAC。又∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC.∵∠B＝∠E，∠BAE＝∠BCE，∴△ABD∽△CED，△AEC∽△CED.（2)∵△CED∽△AEC,∴eq\f（CE,AE）＝eq\f(ED，EC)?！郈E2＝ED·AE，∴16＝2×AE，∴AE＝8.∴AD＝AE－DE＝6?！纠}2】證明：∵BC是⊙O的直徑,∴∠BAC為直角．又AD⊥BC，∴Rt△BDA∽R(shí)t△BAC.∴∠BAD＝∠ACB.∵＝，∴∠FBA＝∠ACB，∴∠BAD＝∠FBA?！唷鰽BE為等腰三角形．∴AE＝BE。【例題3】正解：∠BAD是所對(duì)的圓周角，∠BCD是所對(duì)的圓周角，則所對(duì)的圓心角為2×75°＝150°,又和所對(duì)圓心角的和是周角360°，∴所對(duì)圓心角是360°－150°＝210°,∴所對(duì)圓周角∠BCD＝eq\f（1,2）×210°＝105°。1如圖所示，弦AC與BD相交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，且AB＝10，CD＝5,BP＝8，則PC＝__________。2(2011·湖南高三十二校聯(lián)考)如圖，AC是⊙O的直徑，B是圓上一點(diǎn)，∠ABC的平分線與⊙O相交于點(diǎn)D,已知BC＝1，AB＝eq\r（3），則AD＝__________。3如圖，AB是⊙O的直徑,BD是⊙O的弦,延長(zhǎng)BD到點(diǎn)C,使AC＝AB,求證：BD＝DC．4已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圓的直徑,AD的延長(zhǎng)線交外接圓于F，求證：＝。5如圖，△ABC的角平分線AD的延長(zhǎng)線交它的外接圓于點(diǎn)E。（1）證明:△ABE∽△ADC；(2）若△ABC的面積S＝eq\f(1,2）AD·AE，求∠BAC的大?。鸢福?．4∵∠A＝∠D，∠C＝∠B,∴△ABP∽△DCP?！鄀q\f(AB，CD）＝eq\f（BP，PC）.∴eq\f（10,5)＝eq\f(8,PC),解得PC＝4.2．如圖所示，連接OD，由于AC是⊙O的直徑，則∠ABC＝90°。又BC＝1，AB＝eq\r(3)，則AC＝eq\r（AB2＋BC2)＝eq\r(12＋(\r（3）)2)＝2，所以O(shè)A＝OD＝eq\f（1,2）AC＝1.又∠AOD＝2∠ABD＝∠ABC＝90°，故△AOD是等腰直角三角形，則AD＝eq\r（2）OA＝eq\r（2)×1＝eq\r（2）。3．證明：如圖,連接AD?！逜B是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.又∵AC＝AB，∴BD＝CD。4．分析：轉(zhuǎn)化為證明∠BAE＝∠FAC，再轉(zhuǎn)化為證明△ABE∽△ADC.證明:∵AE是直徑，∴∠ABE＝90°。又∠ADC＝90°,∴∠ADC＝∠ABE。又∠AEB＝∠DCA,∴△ABE∽△ADC?！唷螧AE＝∠FAC，∴＝.5．分析：(1)證明這兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等;（2）利用（1)的結(jié)論，和三角形面積公式的正弦形式，轉(zhuǎn)化為求sin∠BAC.（1）證明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAD.又∠AEB與∠ACB是同弧上的圓周角,∴∠AEB＝∠A