山東省曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

山東省曲阜師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為（）A.y2＝9x B.y2＝6xC.y2＝3x D.y2＝x2．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓C上的一點(diǎn)，且的面積為1，則橢圓C的短軸長為（）A.1 B.2C. D.43．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（）A. B.C. D.5．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上存在兩點(diǎn)、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.6．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn).則C的方程為（）A. B.C. D.8．已知一個圓錐體積為，任取該圓錐的兩條母線a，b，若a，b所成角的最大值為，則該圓錐的側(cè)面積為（）A. B.C. D.9．已知實(shí)數(shù)a，b，c，若a＞b，則下列不等式成立的是（）A B.C. D.10．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.11．某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為（）A. B.C. D.12．設(shè)是雙曲線的兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（）A. B.3C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___14．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.15．如圖，在等腰直角△ABC中，，點(diǎn)P是邊AB上異于A、B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC、CA反射后又回到原點(diǎn)P.若光線QR經(jīng)過△ABC的內(nèi)心，則___________.16．已知數(shù)列滿足，且，則______，數(shù)列的通項(xiàng)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）森林資源是全人類共有的寶貴財(cái)富，其在改善環(huán)境，保護(hù)生態(tài)可持續(xù)發(fā)展方面發(fā)揮著重要的作用.2020年12月12日，主席在全球氣候峰會上通過視頻發(fā)表題為《繼往開來，開啟全球應(yīng)對氣候變化的新征程》的重要講話，宣布“到2030年，我國森林蓄積量將比2005年增加60億立方米”.為了實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)，某地林業(yè)管理部門著手制定本地的森林蓄積量規(guī)劃.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，本地2020年底的森林蓄積量為120萬立方米，森林每年以25%的增長率自然生長，而為了保證森林通風(fēng)和發(fā)展經(jīng)濟(jì)的需要，每年冬天都要砍伐掉萬立方米的森林.設(shè)為自2021年開始，第年末的森林蓄積量.（1）請寫出一個遞推公式，表示二間的關(guān)系；（2）將（1）中的遞推公式表示成的形式，其中，為常數(shù)；（3）為了實(shí)現(xiàn)本地森林蓄積量到2030年底翻兩番的目標(biāo)，每年的砍伐量最大為多少萬立方米？（精確到1萬立方米）（可能用到的數(shù)據(jù)：，，）18．（12分）已知函數(shù)在處的切線與直線平行（1）求值，并求此切線方程；（2）證明：19．（12分）已知雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，且它的一條漸近線方程為.（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程20．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點(diǎn)F在線段上運(yùn)動.（1）若平面，請確定點(diǎn)F的位置并說明理由；（2）若點(diǎn)F滿足，求平面與平面的夾角的余弦值.21．（12分）p：方程有兩個不等的負(fù)實(shí)數(shù)根；q：方程無實(shí)數(shù)根，若為真命題，為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍、22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，且過點(diǎn)，（1）求圓C的方程；（2）若圓C與直線交于A，B兩點(diǎn)，______，求m的值從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：；條件②：圓上一點(diǎn)P到直線的最大距離為；條件③：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，利用拋物線的定義和平行線的性質(zhì)、直角三角形求解【詳解】如圖，過點(diǎn)A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，D，設(shè)|BF|＝a，則由已知得|BC|＝2a，由拋物線定義得|BD|＝a，故∠BCD＝30°，在直角三角形ACE中，因?yàn)閨AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，2|AE|＝|AC|，所以3＋3a＝6，從而得a＝1，|FC|＝3a＝3，所以p＝|FG|＝|FC|＝，因此拋物線的方程為y2＝3x，故選：C.2、B【解析】首先分別設(shè)，，再根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)列出等式，即可求解橢圓的短軸長.【詳解】設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B3、D【解析】通過湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D4、C【解析】由題意確定流程圖的功能，然后計(jì)算其輸出值即可.【詳解】運(yùn)行程序，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，不滿足，，，滿足，利用裂項(xiàng)求和可得：.故選：C.【點(diǎn)睛】識別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)(2)要識別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證5、A【解析】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，推導(dǎo)出、、三點(diǎn)共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導(dǎo)出，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，連接、、、，則為、的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點(diǎn)共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因?yàn)?，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.6、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯誤；B選項(xiàng)：，錯誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯誤.故選：C.7、B【解析】根據(jù)已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結(jié)合的關(guān)系，即可求出結(jié)論.【詳解】因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為，則①.又因?yàn)闄E圓與雙曲線有公共焦點(diǎn)，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.8、B【解析】設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，根據(jù)體積公式計(jì)算可得，利用扇形的面積公式計(jì)算即可求得結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)圓錐的母線長為R，底面半徑長為r，由題可知圓錐的軸截面是等邊三角形，所以，圓錐的體積，解得，所以該圓錐的側(cè)面積為.故選：B9、C【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一分析即可得出答案.【詳解】解：對于A，因?yàn)閍＞b，若，則，故A錯誤；對于B，若，則，故B錯誤；對于C，若a＞b，又，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：C.10、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解11、A【解析】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體（三棱錐），根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)可計(jì)算該幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖可得如圖所示的幾何體-正三棱錐，其側(cè)面為等腰直角三角形，底面等邊三角形，由三視圖可得該正三棱錐的側(cè)棱長為1，故其表面積為，故選：A.12、B【解析】由是以P為直角直角三角形得到，再利用雙曲線的定義得到，聯(lián)立即可得到，代入中計(jì)算即可.【詳解】由已知，不妨設(shè)，則，因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，即是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故選：B【點(diǎn)晴】本題考查雙曲線中焦點(diǎn)三角形面積的計(jì)算問題，涉及到雙曲線的定義，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由平面互相垂直可知其對應(yīng)的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.14、【解析】將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，可得出、，由此可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.15、【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求得△的內(nèi)心坐標(biāo)，根據(jù)△內(nèi)心以及關(guān)于的對稱點(diǎn)三點(diǎn)共線，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，則問題得解.【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，如下所示：則，不妨設(shè)，則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，且，整理得，解得，即點(diǎn)，又；設(shè)△的內(nèi)切圓圓心為，則由等面積法可得，解得；故其內(nèi)心坐標(biāo)為，由及△的內(nèi)心三點(diǎn)共線，即，整理得，解得（舍）或，故.故答案為：.16、①.②.【解析】判斷出是等差數(shù)列，由此求得，利用累加法求得.【詳解】依題意，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時，，，也符合上式，所以.故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.；（3）19萬立方米.【解析】（1）由題意得到；（2）若遞推公式寫成，則，再與遞推公式比較系數(shù)；（3）若實(shí)現(xiàn)翻兩番的目標(biāo)，則，根據(jù)遞推公式，計(jì)算的最大值.【詳解】解：（1）由題意，得，并且.①（2）將化成，②比較①②的系數(shù)，得解得所以（1）中的遞推公式可以化為.（3）因?yàn)椋?，所以，由?）可知，所以，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式：，所以.到2030年底的森林蓄積量為該數(shù)列的第10項(xiàng)，即.由題意，森林蓄積量到2030年底要達(dá)到翻兩番的目標(biāo)，所以，即.即.解得.所以每年的砍伐量最大為19萬立方米.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：遞推公式求通項(xiàng)公式，有以下幾種方法：

型如：的數(shù)列的遞推公式，采用累加法求通項(xiàng)；

形如：的數(shù)列的遞推公式，采用累乘法求通項(xiàng)；

形如：的遞推公式，通過構(gòu)造轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

形如：的遞推公式，兩邊同時除以，轉(zhuǎn)化為的形式求通項(xiàng)公式；

形如：，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)公式.18、（1）；；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可知，解方程求得，進(jìn)而得到切線方程；（2）當(dāng)時，由，知不等式成立；當(dāng)時，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得在上單調(diào)遞增，從而得到，由此可得結(jié)論.【小問1詳解】，，在處的切線與直線平行，即切線斜率為，，解得：，，，所求切線方程為：，即；【小問2詳解】要證，即證；①當(dāng)時，，，，即，；②當(dāng)時，令，，，當(dāng)時，，，，，即，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，即在上恒成立；綜上所述：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題第二問考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題，解題的基本思路是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值的求解問題；通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法可確定恒成立，從而得到所證結(jié)論.19、（1）；（2）.【解析】（1）由橢圓方程及其參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)c，即可得焦點(diǎn)坐標(biāo).（2）由漸近線及焦點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)雙曲線方程為，再由雙曲線參數(shù)關(guān)系求出參數(shù)，即可得雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由題設(shè)，，又，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【小問2詳解】由題設(shè)，令雙曲線為，由（1）知：，可得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20、（1）F為BD的中點(diǎn)，證明見解析；（2）.【解析】（1）由為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)二面角為，由求解.【小問1詳解】為的中點(diǎn).如圖：取的中點(diǎn)，連接∵，分別為，的中點(diǎn)，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小問2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)槿切螢榈妊切危浊?，則，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)二面角為，則，因?yàn)槎娼菫殇J角，所以余弦值為.21、【解析】利用復(fù)合命題的真假推出兩個命題為一真一假，求出m的范圍即可.【詳解】：方程有兩個不等的負(fù)實(shí)數(shù)根，解得，：方程無實(shí)數(shù)根，解得，所以：，：或.因?yàn)闉檎婷}，為假命題，所以真假，或假真.（1）當(dāng)真假時，即真為真，所以，解得；（2）當(dāng)假真時，即真為真，所以，解得.綜上，取值范圍為22、（