2023-2024學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊期末復(fù)習(xí)：銳角三角函數(shù)（易錯必刷30題7種題型專項訓(xùn)練）解析版

猜想08銳角三角函數(shù)（易錯必刷30題7種題型專項訓(xùn)練）

一題型目錄展示?

一.銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）二.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）

三.特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）四.解直角三角形（共4小題）

五.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）六.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共9小題）

七.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共4小題）

?題型通關(guān)專訓(xùn)＞

銳角三角函數(shù)的定義（共4小題）

1.（2022秋?西崗區(qū)校級期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=5,BC=3,則tanA的值是（）

A.AB.Ac.旦D.旦

5354

【分析】先在RtaABC中，利用勾股定理求出AC的長，再利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：VZC=90o,AB=5,BC=3,

AC=VAB2-BC2=752-32=4,

故選：D.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2022秋?太倉市期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,那么cosA的值是（）

A.3B.業(yè)C.3D.A

5443

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=4,AC=3,

故選：C.

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）在中，ZC=90°,AB=13,CB=5,N8的余弦值為_互_.

【分析】在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：在RtZkABC中，ZC=90°,AB=13,CB=5,

??cosBBC5

AB13,

故答案為：巨

13

【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?濟(jì)南期末）如圖，已知RtZXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則sin8=旦

一5一

【分析】先根據(jù)已知條件，得出A8的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出本題的答案.

【解答】解：在中，AC=3,BC=4,

：.AB=5,

.入也8=螞=2

AB5

故答案為：1.

5

【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，在解題時要根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義找出相應(yīng)的對應(yīng)邊

是解題的關(guān)鍵.

二.同角三角函數(shù)的關(guān)系（共2小題）

5.（2022秋?西安期末）在Rt^ABC中，ZC=90°,8c=3,inA=—>則tanA=（）

s5

A.3B.Ac.4D.立

4354

【分析】在RtaABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB=5,然后利用勾股定理求出AC=4,最后利

用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：在RtA4BC中，ZC=90°,BC=3,inA=—>

s5

：.AB=-^—=^-=5,

tanAA

5

；?AC=VAB2-BC2=^52-32=4，

BC3_

tanA==

ACI

故選：A.

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

6.（2022秋?興化市期末）在△ABC中，ZC=90°,tanA=2,則sinA的值為（）

A.返B.2娓c.—D.2

552

【分析】先利用正切的定義得到tanA=^=2,則設(shè)AC=x,BC=2x,利用勾股定理表示出42=遙了,

然后利用正弦的定義求解.

【解答】解：如圖：

/.taiM=^^=2,

AC

設(shè)AC=JC,則8c=2x,

?■?AB=A/BC2+AC2=^X,

故選：B.

【點評】本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系：利用一個銳角的一個三角函數(shù)值表示出邊之間的關(guān)系，再利

用勾股定理表示出第三邊，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求這個角的另兩個三角函數(shù)值.

三.特殊角的三角函數(shù)值（共5小題）

7.（2022秋?云州區(qū)期末）已知Na為銳角，且sina=Y1,則/a=（）

2

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，判斷即可.

【解答】解：:/a為銳角，且sina=1

2

Za=60°,

故選：C.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

8.（2022秋?鄭州期末）若sin（尤+15°）=亞，則銳角x=45°.

2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，即可解答.

【解答】Vsin（尤+15°）=返，

2

；.x+15°=60°,

解得：尤=45°,

故答案為：45.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

9.（2022秋?永定區(qū)期末）ZkABC中，ZA,N2都是銳角，若cosA=1,tanB=l,則/C=105°.

2

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得NA=30°,ZB=45°,然后利用三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計算

即可解答.

【解答】解：?.,COSA=Y^,tanB=l,

2

.?.NA=30°,ZB=45°,

AZC=180°-ZA-ZB=105°,

故答案為：105°.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

10.（2022秋?甘井子區(qū)校級期末）J5cos45°tan45°=1.

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：V2cos45°tan45°

=近乂返XI

2

=1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

1L（2023春?朝陽區(qū)校級期末）計算：2cos30°-tan600+tan45°^-sin600,

【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計算，即可解答.

【解答】解:2cos300-tan600+tan450方sin60°

=2X運-、R+i-小義返

222

【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

四.解直角三角形（共4小題）

12.（2022秋?承德縣期末）如圖，在RtA4BC中，NBAC=90°,AD_LBC于點下列結(jié)論正確的是（）

ACDCBCAB

【分析】根據(jù)垂直定義可得/4。2=/&。。=90°,然后在RtaADC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可

判斷A,B,再在RtaABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可判斷C,最后利用同角的余角相等可得NC

=ZBAD,從而在中，利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出cos/8AO=膽，即可判斷。.

AB

【解答】解：?..AOL8C,

/.ZADB^ZADC^90°,

在RtZXAOC中，cosC=—,tanC=—,

ACCD

故A、B不符合題意；

在RtZXBAC中，sinC=金殳，

BC

故C符合題意；

VZB+ZBAD^90°,ZB+ZC=90°,

：.ZC=ZBAD,

在RtABAD中，cosZBAD^^-,

AB

/.cosC—cosZBAD--^-,

AB

故。不符合題意；

故選：c.

【點評】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

13.（2022秋?叢臺區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，ZABC=45°,ZACB=30°,A8=4,貝！IAC=4

近一

【分析】過點A作ADL8C,垂足為。，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，然后

在Rt^AOC中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：過點A作垂足為。，

：.AD=AB'sin450=4Xa2&,

2

在Rt^AQC中，ZACB=30°,

：.AC=2AD=4y[2>

故答案為：4近.

【點評】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

14.（2022秋?煙臺期末）如圖，將△ABC放在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A,B,C在格點上,

則tanB=—.

一2一

【分析】先利用勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，從而可得/BAC=90°,然后在Rt^ABC

中，利用銳角三角函數(shù)是定義進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：

AB2=22+22=8,

AC2=12+12=2,

CB2=l2+32=10,

.,.AB2+AC2=BC2,

/.△ABC是直角三角形,

ZBAC=90°，

在RtZkABC中，AC=&,AB=2小

：.tanB=—=^^=r-=—,

AB2V22

故答案為：1.

2

【點評】本題考查解直角三角形，勾股定理的逆定理，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

15.（2022秋?桐柏縣期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是AB的中點，連接。，過點8作

C。的垂線，交C￡）延長線于點E.已知AC=30,C0SA=—?則sin/DBE的值為-

5~25~

【分析】過點C作CPLAB,垂足為E在Rt^ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出42=50,從而利

用勾股定理求出BC=40,然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得CZ）=LA8=25,再利用面積法求

2

出5=24,從而在RtACDF中，利用勾股定理求出DF=7,進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)的定義求出sinZ

。。尸的值，最后利用等角的余角相等可得NEBDu/OCR即可解答.

【解答】解：過點C作垂足為R

在RtZXABC中，AC=30,cosA=旦，

5

.?."=-^-=乎=50,

cosAA

5

BC=VAB2-AC2=7502-302=4。'

是AB的中點，

.?.C￡)=_LAB=25,

2

,/AABC的面積=XwCP=』AC?CB,

22

：.AB-CF^AC'CB,

505=30X40,

：.CF=24,

22

在RtACDF中，。尸=VCD-CF=V252-242=7，

VBEXCZ）,

ZE=90°,

ZEDB+ZEBD=90°,

'：ZFCD+ZCDF=90°,ZCDF=ZBDE,

：.ZEBD=ZDCF,

；.sin/DBE=sin/DCF=工,

25

故答案為：JL.

25

【點評】本題考查了解直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適

當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

五.解直角三角形的應(yīng)用（共2小題）

16.（2022秋?承德縣期末）消防車是救援火災(zāi)的主要裝備.圖①是一輛登高云梯消防車的實物圖，圖②是

其工作示意圖，起重臂AC（20米WACW30米）是可伸縮的，且起重臂AC可繞點A在一定范圍內(nèi)上下

轉(zhuǎn)動，張角/C4E（90°WNCAEW150。）,轉(zhuǎn)動點A距離地面的高度AE為4米.

BEFD

圖①圖2）

（1）當(dāng)起重臂AC的長度為24米，張角NCAE=120°時，云梯消防車最高點C距離地面的高度CF的

長為16米.

（2）某日一棟大樓突發(fā)火災(zāi)，著火點距離地面的高度為26米，該消防車在這棟樓下能否實施有效救援？

請說明理由（參考數(shù)據(jù)：V3^1.7）（提示：當(dāng)起重臂AC伸到最長且張角/。1E最大時，云梯頂端C可

以達(dá)到最大高度）

【分析】（1）過點A作AGLCF,垂足為R先在Rt^AGC中求出CG,再利用直角三角形的邊角間關(guān)

系求出CF；

（2）先計算當(dāng)AC長30米、/C4E=150°時救援的高度，再判斷該消防車能否實施有效救援.

；.FG=AE=4米，ZEAG=ZAGC=ZAGF=90°.

VZCAE=120°,

：.ZCAG=ZCAE-ZEAG=30°.

在RtZXAGC中，

：sin/C4G=空，AC的長度為24米，

AC

.,.CG=ACXsin30°

=24XA

2

=12（米）.

：.CF=CG+GF

=4+12

=16（米6

答:云梯消防車最高點。距離地面的高度8的長為16米;

故答案為：16；

（2）如圖，過點。作交EA的延長線于點H.

Z//AC=30°.

在RtZXAHC中，

：cos/HAC=迎，

AC

：.AH=cosZHACXAC

=cos30°X30

=近乂30

2

=1573

七1.7X15

=25.5（米）.

：.HE=AE+AH

=4+25.5

=29.5（米）.

由題意知，四邊形是矩形，

：.CF=HE=29.5米，

V29.5>26,

.??該消防車能夠?qū)嵤┯行Ь仍?

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系及線段的和差關(guān)系是解決本題

的關(guān)鍵.

17.（2022秋?南宮市期末）桑梯是我國古代發(fā)明的一種采桑工具.圖1是明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》

中用圖畫描繪的桑梯，其示意圖如圖2所示，已知AB=AC=L5米，4。=1.2米，AC與AB的張角為a,

為保證安全，a的調(diào)整范圍是30°WaW60°,8c為固定張角a大小的繩索.

圖1圖2

（1）求繩索8c長的最大值.

（2）若a=40°時，求桑梯頂端D到地面BC的距離.（參考數(shù)據(jù)：sin70°杷0.94,cos70°^0.34,tan70°

心2.75,最后結(jié)果精確到0.01米）

【分析】（1）根據(jù)題意可得：當(dāng)NBAC=a=60°時，繩索8C的長最大，然后根據(jù)已知易得△A8C是等

邊三角形，從而利用等邊三角形的性質(zhì)可得BC=A2=AC=1.5米，即可解答；

（2）過點。作。垂足為E,利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得NABC=NC=

70°,再根據(jù)己知可得。C=2.7米，然后在RtZV）EC中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）由題意得：

當(dāng)/8AC=a=60°時，繩索BC的長最大，

VAB=AC=1.5米，

J.AABC是等邊三角形，

：.BC=AB=AC=i.5米，

二繩索BC長的最大值為1.5米；

（2）過點。作。E_LBC,垂足為E,

BEC

ZZ)￡C=90°，

：A8=AC=L5米，ZBAC=a=40°,

ZABC=ZC=A（180°-NBAC）=70°,

2

：AD=1.2米，

：.DC^AD+AC^2.7（米），

在Rt/VDEC中，Z）E=DC?sin70°^2.7X0.94^2.54（米），

.?.桑梯頂端D到地面BC的距離約為2.54米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的

關(guān)鍵.

六.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共9小題）

18.（2023春?懷化期末）如圖，為了測量古塔的高，小明在點A測得看古塔頂點C處的仰角為30°,然后

向古塔方向前進(jìn)到40米的點B處測得古塔頂點C的仰角是60°,A,B,D在同一直線上，那么古塔CD

的高是34.6米.（&-1.414,心1.732,結(jié)果保留一位小數(shù)）

C

ABD

【分析】根據(jù)題意可得：COLA。，A8=40米，NA=30°,ZCBZ）=60°,然后利用三角形的外角性質(zhì)

可得/A=NACB=30°,從而可得ABMBCM40米，最后在Rt/XCB。中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)

行計算，即可解答.

【解答】解：由題意得：CD1AD,AB=40米，ZA=30°,ZCBD=60a,

"?ZCBD是△ABC的一個外角，

ZACB=ZCBD-ZA=30°,

/.ZA=ZACB=30°,

：.AB=BC=40米，

在RtZXCBO中，CZ）=BC?sin60°=40義亞=20?勺34.6（米），

古塔CD的高約為34.6米，

故答案為：34.6.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?宜賓期末）如圖，斜坡OM的坡角/MON=30°,在坡面B處有一棵樹8A,小彭在坡底。

處測得樹梢A的仰角為45°,沿坡面0M上行30米到達(dá)。處，測得NADB=30°.

（1）求的長；

（2）求樹區(qū)4的高度（結(jié)果保留根號）.

【分析】（1）由題意得：NAON=45°,。。=30米，從而可得/4。。=15°,再利用三角形的外角性質(zhì)

可得/。4￡>=15°,然后利用等角對等邊即可解答；

（2）過點。作DH〃ON,交AB的延長線于點從而利用平行線的性質(zhì)可得NBD”=/MON=30°,

進(jìn)而可得NAZ）8=60°,然后在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再在RtA

8OH中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出8H的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）由題意得：ZAON=45°,。。=30米，

■:/MON=30°,

ZAOD^ZAON-ZMON^45°-30°=15°,

ZADB是△AOD的一個外角，

ZOAD=ZADB-NAOD=15°,

/.ZAOD=ZOAD=15°,

，00—30米，

：.DA的長為30米；

（2）過點。作?！ā∣N,交AB的延長線于點”，

/BDH=NMON=30

VZADB^30°,

???ZADH=ZADB+ZBDH=60°,

由題意得：ZAHD=90°,

在RtZXAOH中，A0=3O米，

???A”=A0?sin6O0=30X返=15禽（米），

2

DH=AD'cos60°=30義工=15（米），

2

在/中，BH^DH'tan30°=15X返=5正（米），

3

:.AB=AH-BH=15M-5M=1。如（米），

.?.樹BA的高度為10?米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

20.（2022秋?大連期末）數(shù)學(xué)興趣小組測量建筑物48的高度.如圖，在建筑物A8前方搭建高臺CD進(jìn)行

測量.高臺CD到AB的距離BC為6米，在高臺頂端D處測得點A的仰角為40°,測得點B的俯角為

30°.

（1）填空：ZADB^70°；

（2）求建筑物AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin40°"0.64,cos40°七0.77,tan40°心0.84,V3=^1.73）

【分析】（1）過點。作。E，AB,垂足為E,根據(jù)題意可得：ZADE=40°,/BDE=30°,然后利用角

的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答；

（2）根據(jù)題意可得：OE=BC=6米，然后分別在和Rt△。班中，利用銳角三角函數(shù)的定義求

出AE,8E的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）過點。作垂足為E,

由題意得：

ZAD￡=40°,/BDE=30°,

ZADB=ZADE+ZBDE=400+30°=70°,

故答案為：70；

（2）由題意得：￡>E=BC=6米，

在Rt^AOE中，ZADE=40°,

：.AE=DE-tan40°^6X0.84=5.04（米），

在RtZkOEB中，ZBDE=30°,

：.BE=DE-tan30°=6X圓=2M心3.46（米），

3

AB=AE+￡B=5.04+3.469（米），

...建筑物AB的高度約為9米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

21.（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時03分，搭載天舟五號貨運飛船的長征七號遙六運載火

箭，在海南文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射.天舟五號貨運飛船重約13.6噸，長度80=10.6米，貨物倉的直

徑可達(dá)3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運飛船，堪稱“在職最強(qiáng)快遞

小哥”.已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面A處測得飛船底部。處的仰角45。，頂部B處的仰角

為53°,求此時觀測點A到發(fā)射塔C。的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin53。-0.80,

cos53°^0.60,tan53°仁1.33)

【分析】根據(jù)題意可得：ZACD=90°,然后在Rt^ACD和Rt^ABC中，分別利用銳角三角函數(shù)的定

義求出BC,C。的長，最后根據(jù)30=10.6米，列出關(guān)于AC的方程，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得：ZACD=90°,

在RtZkAC。中，ZDAC=45°,

；.OC=AC?tan45°=AC,

在Rtz\A8C中，ZBAC=53°,

；.BC=AC?tan53°F.33AC,

：BD=10.6米，

：.BC-C￡）=10.6,

：A33AC-AC=10.6,

32.1米，

此時觀測點A到發(fā)射塔CD的水平距離約為32.1米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

22.（2022秋?碑林區(qū)校級期末）某市在地鐵施工期間，相關(guān)部門在施工路段設(shè)立了矩形安全警示牌ABCD

（如圖所示），小東同學(xué)在距離安全警示牌8米（跖的長）遠(yuǎn)的建筑物上的窗口P處，測得安全警示牌

頂端A點和底端8點的俯角分別是30°和45°,求安全警示牌寬AB的值.（結(jié)果保留根號）

□

P

口

、、、、

、X、、

口、、、、、

\、、、^_________D

口''、地鐵拖工

'、、注意安全c

口BC

EF

【分析】延長BA交PH于點G,根據(jù)題意可得：EF=PG=8米，ZPGA=90°,在4G中，利用

銳角三角函數(shù)的定義求出G4的長，再在Rt^PGB中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出GB的長，最后進(jìn)

行計算即可解答.

【解答】解：如圖：延長交P”于點G,

由題意得：

EP=PG=8米，ZPGA=90°,

在Rt/XB4G中，/G朋=30°,

.?.AG=PG?tan30°=8X運（米），

33

在Rt^PGB中，/GPB=45°,

：.GB=PG-tan45°=8X1=8（米），

：.AB=GB-GA=（8-旦百）米，

3

安全警示牌寬A8的值為（8-4V3）米.

3

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

23.（2022秋?槐蔭區(qū)期末）無人機(jī)低空遙感技術(shù)已廣泛應(yīng)用于農(nóng)作物監(jiān)測.如圖，某農(nóng)業(yè)特色品牌示范基

地用無人機(jī)對一塊試驗田進(jìn)行監(jiān)測作業(yè)時，在距地面高度為135根的A處測得試驗田右側(cè)邊界N處俯角

為43°,無人機(jī)垂直下降40機(jī)至B處，又測得試驗田左側(cè)邊界/處俯角為35°,求的長.

（參考數(shù)據(jù)：tan43°―0.9,sin43°心0.7,cos35°心0.8,tan35°心0.7,結(jié)果保留整數(shù)）

【分析】根據(jù)題意可得：/AN。=43°,/BMO=35°,AO±MN,然后在Rt/VION中，利用銳角三角

函數(shù)的定義求出N。的長，再利用線段的和差關(guān)系求出2。的長，最后在中，利用銳角三角函

數(shù)的定義求出MO的長，進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：由題意得:

NANO=43°,ZBMO=35°,AOLMN,

在RtZXAON中，40=135%,

ON=—皿—心1^=150Cm),

tan430.9

"：AB=40m,

J.BO^AO-AB^95(m),

在RtAJWBO中，MO=———2_^_仁135.7(m),

tan350.7

：.MN^N0+M0^150+135,7^286(M,

MN的長約為286%.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

24.（2023春?零陵區(qū)期末）2023年“水州陸港杯”中國龍舟公開賽（湖南一水州站）在冷水灘瀟湘平湖舉

行，為確保此次龍舟競賽水域安全，特別是謹(jǐn)防青少年在觀賽時溺水，某單位在一處觀賽臺后方小山坡

上豎立了“防溺水”宣傳牌.小剛為了測得宣傳牌的高度，他站在山坡底端C處，測得宣傳牌頂端A的

仰角NOCA=45°,然后小剛從山坡底端C沿著傾斜角為30°的斜坡走了20米，到達(dá)E處平臺，與宣

傳牌底端B水平，此時測得宣傳牌頂端A的仰角/BEA=60°,求“防溺水”宣傳牌的高度.

DC

【分析】延長AB交CD于點凡根據(jù)題意可得：AF1.CF,EDLCD,BF=DE,BE=DF,然后在RtA

EDC中，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)求出DE和CD的長，再設(shè)BE=DF=x米，則CF=（x+10

百）米，最后在RtaABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AB的長，從而求出AF的長，再在RtA

AFC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AF的長，從而列出關(guān)于x的方程，進(jìn)行計算即可解答.

由題意得：AF±CF,EDLCD,BF=DE,BE=DF,

在RtZkEDC中，CE=20米，ZDC￡=30°,

.?.OE=JLCE=10（米），CD=?DE=1WQ（米），

2

.?.8尸=Z）E=10米，

設(shè)8E=OP=x米，

：.CF=DF+CD=（x+10V3）米，

在中，ZAEB=60°,

AB=BE'ta.n60°（米），

：.AF^AB+BF^（V3x+10）米，

在Rt^AEC中，ZACF=45°,

.*.AF=CF?tan45°=（x+10?）米，

A/^X+10=X+1C）V^，

解得：x=10,

.,.AB=y/3x=10^3（米），

“防溺水”宣傳牌的高度為10?米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合

圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

25.（2022秋?商河縣期末）如圖大樓AB的高度為373小可為了測量大樓頂部旗桿AC的高度，他從大樓

底部8處出發(fā)，沿水平地面前行32機(jī)到達(dá)。處，再沿著斜坡DE走20機(jī)到達(dá)E處，測得旗桿頂端C的

仰角為30°.已知斜坡ED與水平面的夾角/EZ）G=37°,圖中點A,B,C,D,E,G在同一平面內(nèi)

（結(jié)果精確到0.1m）

（1）求斜坡ED的鉛直高度EG和水平寬度GD.

（2）求旗桿的AC高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,通~1.73）

【分析】（1）在Rt^OEG中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答；

（2）過點E作垂足為根據(jù)題意可得：DB=32m,則即=G2=48/",然后在Rt^CEW中,

利用銳角三角函數(shù)的定義求出CH的長，最后利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）在RtZXOEG中，/EDG=3V,DE=20m,

：.EG=DE'sin31°^20X0.60=12（加），

DG=DE-cos3rp仁20X0.80=16（相）,

斜坡ED的鉛直高度EG約為12m,水平寬度GD約為16m；

（2）過點E作EH_LBC,垂足為H,

c

：.EH=GB=GD+DB=16+32=48Gn),

在中，/CEH=30°,

：.CH^EH'tan30°=48X近=16?(m),

3

：.AC=CH+BH-AB=16y/3+12-37心2.7(m),

.?.旗桿的AC高度約為2.7九

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)?/p>

輔助線是解題的關(guān)鍵.

26.(2022秋?北倍區(qū)校級期末)如圖是某景區(qū)的觀光扶梯建設(shè)示意圖.起初工程師計劃修建一段坡度為3：

2的扶梯扶梯總長為米.但這樣坡度太陡，扶梯太長容易引發(fā)安全事故.工程師修改方案：

修建AC、DE兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯AC和平臺CD形成的NACO為135°,從E

點看。點的仰角為30°,AC段扶梯長20米.(參考數(shù)據(jù)：、歷—1.41，北=1.72)

(1)求點A到BE的距離.

(2)OE段扶梯長度約為多少米？(結(jié)果保留1位小數(shù))

【分析】(1)過點A作垂足為R根據(jù)已知可設(shè)AF=3尤米，貝米，然后在RtZXABF

中，利用勾股定理求出米，從而列出關(guān)于尤的方程，進(jìn)行計算即可解答；

(2)延長。C交A尸于點G,過點。作。HLEF,垂足為X,根據(jù)題意可得：DGLAG,DH=GF,再利

用平角定義可得/ACG=45°,然后在Rt^ACG中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AG的長，從而求出

DH,FG的長，最后在RtAZJE”中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算即可解答.

【解答】解：（1）過點A作垂足為R

:扶梯的坡度為3：2,

?.?AF_-3-

BF2

.?.設(shè)4尸=3尤米，則BF=2x米，

22

在Rt^AB尸中，AB=A/AF2+BF2=^（3X）+（2X）=V13x（米），

?.?AB=10、幾米，

V13^—IOA/13-

.*.x=10,

.".AF=3x=30（米），

???點A到BE的距離為30米；

（2）延長。C交A廠于點G,過點。作垂足為H,

A

由題意得：

DG±AG,DH=GF,

VZACD=135°,

AZACG=180°-ZAC￡）=45°,

在RtZXACG中，AC=20米，

.,.AG=AC?sin45°=20X亞=106（米）,

2

?；AB=30米,

：.DH^GF^AF-AG=(30-1072)米，

在RtzYDEH中，ZDEH=30°,

.\D￡=2DH=60-2072^31.8(米)，

..?￡)E段扶梯長度約為31.8米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，坡度坡角問題，含30度角的直角三角形，根

據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

七.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題(共4小題)

27.(2023春?橋西區(qū)期末)學(xué)校在小明家南偏東30°方向上，距小明家6碗，以小明家所在位置為坐標(biāo)原

點建立直角坐標(biāo)系，1初1為一個單位長度，則學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為()

A.(-3V3._3)B.(-3,-3^3)C.(-3^3?3)D.(3,-3^3)

【分析】過點A作軸，垂足為8,在Rt^AOB中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AB和

QB的長，即可解答.

.,.AB=-AO—3(km),OB=-f^AB—3A/3(km),

2

.?.點A的坐標(biāo)為(3,-3A/3),

...學(xué)校所在位置的坐標(biāo)為(3,-3?),

故選：D.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件畫出

圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵.

28.(2023春?廈門期末)如圖所示的四邊形ABCD是正在建設(shè)的某景區(qū)小意圖，A—B一C一D一A是環(huán)繞景

區(qū)的道路，點。在點A的北偏西45°方向，點8在點A的正東方向，點C在點8的正北方向，經(jīng)測量

AD=2km,AB=lkm.設(shè)計單位計劃在該景區(qū)內(nèi)修建一個觀景平臺P,并鋪設(shè)若干條小路連接景區(qū)道路.其

中點尸在點A的正北方向，在點。的正東方向.

(1)求AP的長度；

(2)延長。P與8c交于點E,測得CE=2hw,設(shè)計單位設(shè)計了兩種鋪設(shè)小路的方案：

方案1：鋪設(shè)小路。E和AP；

方案2：鋪設(shè)小路CP和AP.

要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇哪種鋪設(shè)方案，并說明理由.

【分析】(1)根據(jù)題意可得：APLDP,NZMP=45°,然后在RtaA。尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義

求出AP的長，即可解答；

(2)在RtZXA。尸中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出。尸的長，然后根據(jù)題意可得：DE±BC,AB1BC,

PE=AB=lkm,AP=BE=Mkm,從而可得。E=(J5+1)km,再在RtZ\CPE中，利用銳角三角函數(shù)

的定義求出CP的長，最后分別求出方案一和方案二鋪設(shè)小路的總長度，比較即可解答.

【解答】解：(1)由題意得：AP±DP,NZMP=45°,

在尸中，AD=2km,

：.AP=AD-cos45°=2X退_=&(km),

2

*,.AP的長度為

(2)要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二，

理由：在RtZXAZ）尸中，AD=2km,ND4尸=45°,

.*.Z）P=AD-sin45°=2X”=的（km）,

2

由題意得：DE±BC,AB±BC,PE=AB=lkm,AP=BE=yf2km,

；.DE=DP+PE=（A/2+1）km,

在RtZ\CPE中，CE=2km,

?*,CP=VPE2<E2=Vl2+22=（km）,

?,?方案一：DE+AP—y[2+l+-\[2—（2,\/2+l）km；

方案二：CP+AP=（V5+V2）km,

,?（2A/2+Dkm>（V5+V2）km,

，要使得鋪設(shè)小路的總長度更短，應(yīng)選擇鋪設(shè)方案二.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

29.（2023春?豐都縣期末）在奧林匹克運動的故鄉(xiāng)古希臘，奧林匹亞阿爾菲斯河岸的巖壁上保留著古希臘

人的一段格言：“如果你想聰明，跑步吧!如果你想強(qiáng)壯，跑步吧!如果你想健康，跑步吧!”古人對聰明、

強(qiáng)壯、健康的奔跑追求，至今仍然在愛跑步的人群中得到傳承.跑步已經(jīng)成為一種大眾化運動，越來越

多的人從跑步中受益.如圖，四邊形48。是一個環(huán)湖公園的步行道，AB=AD=Akm,8在A正東方;

C在D正東方，。在A的東北方，C在8北偏東60°方向.

（1）求的長度（結(jié)果保留根號）；

（2）小強(qiáng)