2025版高中數學一輪復習課時作業(yè)梯級練六函數的奇偶性對稱性與周期性課時作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時作業(yè)梯級練六函數的奇偶性、對稱性與周期性一、選擇題(每小題5分,共25分)1.下列函數為奇函數的是 ()A.y=QUOTE B.y=|sinx|C.y=cosx D.y=ex-e-x【解析】選D.因為函數y=QUOTE的定義域為[0,+∞),不關于原點對稱,所以函數y=QUOTE為非奇非偶函數,解除A;因為y=|sinx|為偶函數,所以解除B;因為y=cosx為偶函數,所以解除C;因為y=f(x)=ex-e-x,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),所以函數y=ex-e-x為奇函數.2.(2024·六盤水模擬)若函數f(x)=QUOTE為奇函數,則實數a= ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選A.因為函數f(x)為奇函數,所以f(-x)+f(x)=QUOTE+QUOTE=0,化為(a+1)x=0,所以a+1=0,解得a=-1.3.已知函數g(x)=f(x)+x2是奇函數,當x>0時,函數f(x)的圖象與函數y=log2x的圖象關于y=x對稱,則g(-1)+g(-2)= ()A.-13 B.-11 C.-9 D.-7【解析】選B.因為x>0時,函數f(x)的圖象與函數y=log2x的圖象關于y=x對稱,所以x>0時,f(x)=2x,所以x>0時,g(x)=2x+x2,又g(x)是奇函數,所以g(-1)+g(-2)=-[g(1)+g(2)]=-(2+1+4+4)=-11.【加練備選·拔高】x為實數,[x]表示不超過x的最大整數,則函數f(x)=x-[x]在R上為 ()A.奇函數 B.偶函數C.增函數 D.周期函數【解析】選D.函數f(x)=x-[x]在R上的圖象如圖:所以f(x)在R上是周期為1的函數.4.(2024·德州模擬)已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x2,則f(2023)= ()A.20192 B.1 C.0 D.-1【解析】選D.依據題意,函數f(x)滿意f(x+2)=-f(x),則有f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即函數是周期為4的周期函數,則f(2023)=f(-1+2024)=f(-1),又函數y=f(x)為奇函數,且x∈[0,1]時,f(x)=x2,則f(-1)=-f(1)=-1,故f(2023)=-1.5.(2024·眉山模擬)定義在R上的偶函數f(x)滿意f(x)=f(x+2),當x∈[3,4]時,f(x)=2x,則下列不等式中正確的是 ()A.fQUOTE<fQUOTE B.fQUOTE>fQUOTEC.f(sin1)<f(cos1) D.fQUOTE<fQUOTE【解析】選C.因為x∈[3,4]時,f(x)=2x,且f(x)=f(x+2),故偶函數f(x)在[3,4]上是增函數,T=2,所以偶函數f(x)在(-1,0)上是增函數,所以f(x)在(0,1)上是減函數,對于A,sinQUOTE<cosQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE,對于B,sinQUOTE>cosQUOTE,所以fQUOTE<fQUOTE,對于C,sin1>cos1,所以f(sin1)<f(cos1),對于D,cosQUOTE<sinQUOTE,所以fQUOTE>fQUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)6.(2024·江蘇高考)已知y=f(x)是奇函數,當x≥0時,f(x)=QUOTE,則f(-8)的值是________.

【解析】y=f(x)是奇函數,當x≥0時,f(x)=QUOTE,則f(-8)=-f(8)=-QUOTE=-4.答案:-47.設f(x)是定義在R上且周期為2的函數,在區(qū)間[-1,1]上f(x)=QUOTE(a,b∈R),若fQUOTE=fQUOTE,則a+3b=________.

【解析】由題知,f(x)的周期為2,所以fQUOTE=fQUOTE=1-QUOTEa,fQUOTE=QUOTE,又因為fQUOTE=fQUOTE,所以1-QUOTEa=QUOTE①,又f(-1)=f(1),所以2a+b=0②,由①②解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.答案:-10【加練備選·拔高】已知函數f(x)=QUOTE的圖象關于原點對稱,g(x)=ln(ex+1)-bx是偶函數,則logab=______.

【解析】由題意得f(0)=0,所以a=2.因為g(x)為偶函數,所以g(1)=g(-1),即ln(e+1)-b=lnQUOTE+b,所以b=QUOTE,所以log2QUOTE=-1.答案:-18.若定義在R上的函數fQUOTE滿意fQUOTE=-fQUOTE,fQUOTE是奇函數,現給出下列4個論斷:①fQUOTE是周期為4的周期函數;②fQUOTE的圖象關于點QUOTE對稱;③fQUOTE是偶函數;④fQUOTE的圖象經過點QUOTE;其中正確論斷的個數是________.

【解析】①:由fQUOTE=-fQUOTE得:fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE,所以函數fQUOTE的周期為4,故①正確;②:由fQUOTE是奇函數,知fQUOTE的圖象關于原點對稱,所以函數fQUOTE的圖象關于點QUOTE對稱,故②正確;③:由fQUOTE是奇函數,得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=-fQUOTE,所以fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE=fQUOTE=fQUOTE,所以函數fQUOTE是偶函數,故③正確;④:fQUOTE=-fQUOTE=-fQUOTE,無法推斷其值,故④錯誤.綜上,正確論斷的序號是:①②③.故正確的有3個.答案:3三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知函數f(x)=QUOTE是奇函數.(1)求實數m的值.(2)若函數f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調遞增,求實數a的取值范圍.【解析】(1)設x<0,則-x>0,所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.又f(x)為奇函數,所以f(-x)=-f(x).于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx,所以m=2.(2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調遞增,結合f(x)的圖象知QUOTE所以1<a≤3,故實數a的取值范圍是(1,3].10.設函數f(x)是定義在R上的奇函數,對隨意實數x都有fQUOTE=-fQUOTE成立.(1)證明y=f(x)是周期函數,并指出其周期.(2)若f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.(3)若g(x)=x2+ax+3,且y=|f(x)|·g(x)是偶函數,求實數a的值.【解析】(1)由fQUOTE=-fQUOTE,且f(-x)=-f(x),知f(3+x)=fQUOTE=-fQUOTE=-f(-x)=f(x),所以y=f(x)是周期函數,且T=3是其一個周期.(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數,所以f(0)=0,且f(-1)=-f(1)=-2,又T=3是y=f(x)的一個周期,所以f(2)+f(3)=f(-1)+f(0)=-2+0=-2.(3)因為y=|f(x)|·g(x)是偶函數,且|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以|f(x)|為偶函數.故g(x)=x2+ax+3為偶函數,即g(-x)=g(x)恒成立,于是(-x)2+a(-x)+3=x2+ax+3恒成立.于是2ax=0恒成立,所以a=0.1.(5分)已知定義在R上的奇函數f(x)滿意f(x-4)=-f(x),且在區(qū)間[0,2]上是增函數,則 ()A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】選D.因為f(x)滿意f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函數f(x)是以8為周期的周期函數,則f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是R上的奇函數,且滿意f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因為f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數,f(x)在R上是奇函數,所以f(x)在區(qū)間[-2,2]上是增函數,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).2.(5分)(2024·濰坊模擬)關于函數f(x)=QUOTE,下列結論不正確的是()A.圖象關于y軸對稱B.圖象關于原點對稱C.在QUOTE上單調遞增D.fQUOTE恒大于0【解析】選B.函數f(x)=QUOTE定義域為(-∞,0)∪(0,+∞),因為f(x)=QUOTE=QUOTE·QUOTE,f(-x)=QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=f(x),故函數fQUOTE為偶函數,所以A正確,B不正確;當x>0時,y=QUOTE>0,且y=QUOTE在QUOTE單調遞減,當x>0時,y=1+QUOTE>0,且y=1+QUOTE在QUOTE單調遞減,而f(x)=QUOTE,故fQUOTE在QUOTE單調遞減,又由fQUOTE為偶函數,故fQUOTE在QUOTE上單調遞增,所以C正確;x>0時,f(x)=QUOTE>0,f(x)為偶函數,所以當x<0時,f(x)>0,故fQUOTE>0,D正確.3.(5分)(2024·昭通模擬)已知函數f(x)為定義在R上的奇函數,且滿意f(x+4)=f(-x),又當x∈(0,2]時,f(x)=2x,則f(0)+f(1)+…+f(2020)=()A.0 B.2 C.6 D.8【解析】選D.因為f(x+4)=f(-x),且f(x)為奇函數,所以f(x+4)=-f(x),所以周期T=8,所以f(0)=0,f(1)=2,f(2)=4,f(3)=f(-1+4)=f(1)=2,f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1+4)=f(-1)=-f(1)=-2,f(6)=f(2+4)=f(-2)=-f(2)=-4,f(7)=f(3+4)=f(-3)=-f(3)=-2,所以f(0)+f(1)+…+f(7)=0+2+4+2+0-2-4-2=0,f(0)+f(1)+…+f(2020)=252[f(0)+f(1)+…+f(7)]+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=252×0+0+2+4+2+0=8.【加練備選·拔高】已知定義在R上的函數f(x),對隨意實數x有f(x+4)=-f(x),若函數f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱,f(-2)=2,則f(2018)=________.

【解析】由函數y=f(x-1)的圖象關于直線x=1對稱可知,函數f(x)的圖象關于y軸對稱,故f(x)為偶函數.由f(x+4)=-f(x),得f(x+4+4)=-f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期T=8的偶函數,所以f(2018)=f(2+252×8)=f(2)=f(-2)=2.答案:24.(10分)設fQUOTE是定義在R上的函數,且對隨意實數x,恒有fQUOTE=fQUOTE,fQUOTE=-fQUOTE,當x∈QUOTE時,fQUOTE=2x-x2.(1)當x∈QUOTE時,求fQUOTE的解析式;(2)計算f(0)+f(1)+f(2)+…+fQUOTE.【解析】(1)將fQUOTE=-fQUOTE中的x用-x代換得fQUOTE=-fQUOTE,又fQUOTE=fQUOTE,得fQUOTE=-fQUOTE,將x用x-2替換得fQUOTE=-fQUOTE,所以周期為4,由fQUOTE=-fQUOTE得函數fQUOTE的對稱中心是QUOTE,此函數是奇函數,在QUOTE的解析式為fQUOTE=-fQUOTE=x2+2x,向右移4個單位得fQUOTE=QUOTE+2(x-4)=x2-6x+8.(2)f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1,由周期是4知f(0)+f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+…+fQUOTE=f(1)+f(2)+f(3)=0.5.(10分)設函數f(x)對隨意實數x滿意f(2+x)=f(2-x),f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0,推斷函數f(x)圖象在區(qū)間QUOTE上與x軸至少有多少個交點.【解析】由題設知函數f(x)圖象關于直線x=2和x=7對稱,又由函數的性質得f(x)是以10為周期的函數.在一個周期區(qū)間QUOTE上,f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且f(x)不能恒為零,故f(x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間QUOTE有6個周期,故在閉區(qū)間QUOTE上f(x)圖象與x軸至少有13個交點.1.已知函數y=f(x)的定義域為R,f(x+1)為偶函數,且對?x1<x2≤1,滿意QUOTE<0.若f(3)=1,則不等式fQUOTE<1的解集為 ()A.QUOTE B.(1,8)C.QUOTE∪(8,+∞) D.(-∞,1)∪(8,+∞)【解析】選A.因為對?x1<x2≤1,滿意QUOTE<0,所以y=f(x)當x≤1時,是單調遞減函數,又因為f(x+1)為偶函數,所以y=f(x)關于直線x=1對稱,所以函數y=f(x)當x>1時,是單調遞增函數,又因為f(3)=1,所以有f(-1)=1,當log2x≤1,即當0<x≤2時,fQUOTE<1?fQUOTE<f(-1)?log2x>-1?x>QUOTE,所以QUOTE<x≤2;當log2x>1,即當x>2時,fQUOTE<1?fQUOTE<f(3)?log2x<3?x<8,所以2<x<8,綜上所述:不等式fQUOTE<1的解集為QUOTE.2.對于函數y=f(x),若存在x0,使f(x0)+f(-x0)=0,則稱點(x0,f(x0))是曲線f(x)的“美麗點”.已知f(x)=QUOTE若曲線f(x)存在“美麗點”,則實數k的取值范圍為________.

【解析】由“美麗點”的定義,可知若點(x0,f(x0))是