（圓夢高考數(shù)學）專題7.1 等差數(shù)列及求和（含答案及解析）

專題7.1等差數(shù)列及求和題型一基本量的計算題型二等差中項及等差數(shù)列項的性質(zhì)題型三等差數(shù)列的判定與證明題型四等差數(shù)列前項和的性質(zhì)題型五求等差數(shù)列前項和的最值題型六根據(jù)等差數(shù)列前項和的最值求參數(shù)題型七含絕對值的等差數(shù)列的前項和題型八等差數(shù)列的簡單應(yīng)用題型一 基本量的計算例1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的公差為__________.例2．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72練習1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學?？计谥校┯洖榈炔顢?shù)列的前n項和．若，則_______．練習2．（2023春·廣東珠海·高三珠海市斗門區(qū)第一中學?？计谥校┰O(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A． B． C．10 D．12練習3．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81練習4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，且，，，則2023是數(shù)列的（

）A．第566項 B．第574項 C．第666項 D．第674項練習5．（2023·北京海淀·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則公差__________；__________．題型二 等差中項及等差數(shù)列項的性質(zhì)例3．（2023秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，若，則_______．例4．（2023·廣西南寧·南寧二中校考模擬預測）在等差數(shù)列中，若，則__________.練習6．（2023春·高三課時練習）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.練習7．（2023春·高三課時練習）設(shè)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是________，項數(shù)是________．練習8．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預測）“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件練習10．（2023·全國·高二題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則______．題型三 等差數(shù)列的判定與證明例5．（2023·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.例6．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；練習11．（2023春·廣東佛山·高三佛山市榮山中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.練習12．（2023春·江西南昌·高三南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列前項和為，且.(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.練習13．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列{an}滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項的積為Tn，證明：.練習14．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項和為，.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若，，求的最小值.練習15．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項和.題型四 等差數(shù)列前項和的性質(zhì)例7．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列例8．（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？茧A段練習）兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為和，已知，則______．練習16．（2023春·廣東梅州·高三豐順縣豐順中學校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的前n項和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．120練習17．（2023春·湖北咸寧·高三鄂南高中?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，則=（）A．0 B． C． D．練習18．（2023秋·河南商丘·高三校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若數(shù)列的前項和為，則______.練習19．（2023春·全國·高三合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．18 B．36 C．40 D．42練習20．（2023春·高三課時練習）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則______．題型五 求等差數(shù)列前項和的最值例9．（2023春·高三課時練習）在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為______．例10．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知等差數(shù)列{}的前n項和為，滿足，且，則當取得最小值時，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7練習21．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13練習22．（2023春·高三課時練習）在等差數(shù)列中，，則取最大值時n的值是________．練習23．（2023春·四川涼山·高三寧南中學?？茧A段練習）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．練習24．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）已知等差數(shù)列的公差不等于0.其前n為項和為，若，，，則的最大值為（

）A．18 B．20 C．22 D．24練習25．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，若，，則下列四個命題正確個數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4題型六 根據(jù)等差數(shù)列前項和的最值求參數(shù)例11．（2022秋·江蘇泰州·高三泰州中學?？计谀ǘ噙x）已知等差數(shù)列的前項和為，當且僅當時取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)可能為（

）A． B． C． D．例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項和為，，則的取值范圍為___________.練習26．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是的前n項和，則“對任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．充要條件練習27．（2023春·廣西欽州·高三欽州一中?？计谥校┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為（

）A．11 B．12 C．7 D．6練習28．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知等差數(shù)列的前n項和為，當且僅當時，取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．15練習29．（2023·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，且滿足：①；②對，．寫出一個同時滿足上述兩個條件的數(shù)列的通項公式______．練習30．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前n項和為，對任意，有．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．題型七 含絕對值的等差數(shù)列的前項和例13．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．例14．（2023春·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則_________．練習31．（2023春·貴州黔東南·高二?？茧A段練習）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項和，求.練習32．（2022秋·北京·高三北京市廣渠門中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)請直接寫出的結(jié)果.練習33．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，，且滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求．練習34．（2023秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，為數(shù)列的前n項和，，則的最小值為__________．練習35．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．題型八 等差數(shù)列的簡單應(yīng)用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學校?？计谥校亩寥掌?，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺例16．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300~500年之間的古樹為二級，樹齡100~299年的古樹為三級，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計算年輪個數(shù)，由經(jīng)驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14米，靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個年輪寬度為0.2cm，則估計該大樹屬于（

）A．一級 B．二級 C．三級 D．不是古樹練習36．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至年月底，地區(qū)已經(jīng)累計開通基站個，未來將進一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知年月該地區(qū)計劃新建個基站，以后每個月比上一個月多建個，則地區(qū)到年月底累計開通基站的個數(shù)為（

）A． B． C． D．練習37．（2023·江西上饒·校聯(lián)考模擬預測）2022年10月16日上午10時，舉世矚目的中國共產(chǎn)黨第二十次全國代表大會在北京人民大會堂隆重開幕，某單位組織全體人員在報告廳集體收看，已知該報告廳共有16排座位，共有432個座位數(shù)，并且從第二排起，每排比前一排多2個座位數(shù)，則最后一排的座位數(shù)為（

）A．12 B．26 C．42 D．50練習38．（2023春·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習）張大爺為了鍛煉身體，每天堅持步行，用支付寶APP記錄每天的運動步數(shù).在11月的30天中，張大爺每天的運動步數(shù)都比前一天多相同的步數(shù)，經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)前10天的運動步數(shù)是6.9萬步，前20天的運動步數(shù)是15.8萬步，則張大爺在11月的運動步數(shù)是_________萬步.練習39．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考二模）由中國古代勞動人民發(fā)明于東周春秋時期，距今已2000多年.龍被視為中華古老文明的象征，大型龍類風箏放飛場面壯觀，氣勢磅磗，因而廣受喜愛.某團隊耗時4個多月做出一長達200米、重約25公斤，“龍身”共有180節(jié)“鱗片”的巨龍風箏.制作過程中，風箏骨架可采用竹子制作，但竹子易斷，還有一種耐用的碳桿材質(zhì)也可做骨架，但它比竹質(zhì)的成本高.最終團隊決定骨架材質(zhì)按圖中規(guī)律排列（即相鄰兩碳質(zhì)骨架之間的竹質(zhì)骨架個數(shù)成等差數(shù)列），則該“龍身”中竹質(zhì)骨架個數(shù)為（

）A．161 B．162 C．163 D．164練習40．（2023春·安徽·高三池州市第一中學校聯(lián)考階段練習）我國古代數(shù)學家提出的“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，它是世界數(shù)學史上光輝的一頁，定理涉及的是整除問題.現(xiàn)有如下一個整除問題：將1至2023這2023個數(shù)中，能被3除余1且被5除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A．133項 B．134項 C．135項 D．136項

專題7.1等差數(shù)列及求和題型一基本量的計算題型二等差中項及等差數(shù)列項的性質(zhì)題型三等差數(shù)列的判定與證明題型四等差數(shù)列前項和的性質(zhì)題型五求等差數(shù)列前項和的最值題型六根據(jù)等差數(shù)列前項和的最值求參數(shù)題型七含絕對值的等差數(shù)列的前項和題型八等差數(shù)列的簡單應(yīng)用題型一 基本量的計算例1．（2023·陜西安康·陜西省安康中學?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的公差為__________.【答案】【分析】設(shè)的公差為，由已知可得出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)的公差為，由題意得.則，所以.故答案為：.例2．（2023·青海海東·統(tǒng)考模擬預測）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得，故可求的值.【詳解】設(shè)的公差為d，則，即，則，故選：A.練習1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高級中學?？计谥校┯洖榈炔顢?shù)列的前n項和．若，則_______．【答案】666【分析】根據(jù)條件列出方程組可求出公差和首項，進而可求結(jié)果.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案為：666.練習2．（2023春·廣東珠?！じ呷楹Ｊ卸烽T區(qū)第一中學?？计谥校┰O(shè)為等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A． B． C．10 D．12【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】由,解得，故選：B練習3．（2023·河南洛陽·模擬預測）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意求得，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，解得，所以.故選：D.練習4．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）已知數(shù)列的前n項和為，且，，，則2023是數(shù)列的（

）A．第566項 B．第574項 C．第666項 D．第674項【答案】D【分析】由題意可證得數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式代入求解即可求出的通項公式，令，解方程即可得出答案.【詳解】由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則由和可得：，解得，所以．由，得n=674．故選：D．練習5．（2023·北京海淀·高三專題練習）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則公差__________；__________．【答案】【分析】根據(jù)，利用數(shù)列通項和前n項和的關(guān)系，求得即可.【詳解】解：因為，所以，所以，所以，解得代入即得，故答案為：1，4題型二 等差中項及等差數(shù)列項的性質(zhì)例3．（2023秋·甘肅天水·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列中，，若，則_______．【答案】【分析】根據(jù)下標和性質(zhì)求出、，即可求出公差，再根據(jù)計算可得.【詳解】因為，又，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解得.故答案為：例4．（2023·廣西南寧·南寧二中?？寄M預測）在等差數(shù)列中，若，則__________.【答案】24【分析】由等差中項的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為在等差數(shù)列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案為：24練習6．（2023春·高三課時練習）在等差數(shù)列中，是方程的根，則＝________.【答案】3【分析】先利用韋達定理，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得到結(jié)論.【詳解】由是方程的根得＝3.又數(shù)列為等差數(shù)列，∴＝＝3.故答案為：3練習7．（2023春·高三課時練習）設(shè)項數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，奇數(shù)項之和為44，偶數(shù)項之和為33，則這個數(shù)列的中間項是________，項數(shù)是________．【答案】117【分析】根據(jù)奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的關(guān)系即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的項數(shù)為，＝＝，＝＝，所以，解得，所以項數(shù)，，即為所求中間項．故答案為：①11；②7.練習8．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式，求得且，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式，可得，可得，又由且，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.練習9．（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預測）“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】C【分析】舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出答案.【詳解】設(shè)，則，，，所以，但數(shù)列不是等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，成立.所以，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選：C.練習10．（2023·全國·高二題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，若，，則______．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式帶入即可求解.【詳解】由①，②，②①得，得，又，則，故．故答案為：題型三 等差數(shù)列的判定與證明例5．（2023·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題，利用累乘法即可求解，進而可得，進而可證等差；（2）由（1）得，由裂項求和即可求解.【詳解】（1）由題可得，所以當時，，易知滿足，所以.所以，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以.所以.例6．（2023·全國·高二專題練習）在數(shù)列中4，，．求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；【答案】證明見解析【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可證明.【詳解】的兩邊同時除以，得2，∴數(shù)列{}是首項為4，公差為2的等差數(shù)列練習11．（2023春·廣東佛山·高三佛山市榮山中學?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）可算得，用裂項相消法即可求解【詳解】（1）因為

所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列（2）因為，所以

由得

故

所以，

練習12．（2023春·江西南昌·高三南昌市鐵路第一中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列前項和為，且.(1)若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題得關(guān)于的方程，解出得到其通項，并計算出其前項的和，則得到的通項，利用定義計算的值即可.（2）分和討論即可.【詳解】（1）由題意，，解得，數(shù)列的通項公式為，，，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列;（2）當時，，數(shù)列的前項和，當時，，數(shù)列的前項和，.練習13．（2023·江蘇南通·高三校聯(lián)考階段練習）已知數(shù)列{an}滿足.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項的積為Tn，證明：.【答案】(1)證明見解析，(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)，變形得，利用等差數(shù)列的定義可得成等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項公式即可求解；（2）由（1），得，進而，利用裂項相消求和法即可證明.【詳解】（1）令，又，，等式兩邊同時乘以，得成等差數(shù)列，即成等差數(shù)列，且首項為，公差為1，.（2），..練習14．（2023·安徽阜陽·安徽省臨泉第一中學?？既＃┮阎獢?shù)列的前n項和為，.(1)若，證明：數(shù)列為等差數(shù)列.(2)若，，求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)33【分析】（1）用等差數(shù)列的定義進行證明；（2）利用第1問的結(jié)論求出的解析式，進而求得數(shù)列的通項公式，解不等式即可.【詳解】（1）（1）由已知，，，，所以，故數(shù)列為公差為1等差數(shù)列（2）因為，不滿足條件，此時，，由（1）知數(shù)列為首項為1公差為1等差數(shù)列，所以，故，當時，，由，故，即，因為，所以.故滿足的n最小值為33.練習15．（2023·湖南衡陽·?？寄M預測）已知數(shù)列中，，且.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及等差數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法即可求數(shù)列的前項和.【詳解】（1）∵，∴，即，∴，.∴是首項為2，公差為1的等差數(shù)列.（2）由（1）知，是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，，所以，.題型四 等差數(shù)列前項和的性質(zhì)例7．（2023·遼寧·朝陽市第一高級中學校聯(lián)考三模）（多選）已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（

）A．若，則是等差數(shù)列B．若，，則是等比數(shù)列C．若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D．若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列【答案】ABC【分析】求出通項公式判斷AB；利用數(shù)列前n項和的意義、結(jié)合等差數(shù)列推理判斷C；舉例說明判斷D作答.【詳解】對于A，，時，，解得，因此，，是等差數(shù)列，A正確；對于B，，，則，而，是等比數(shù)列，B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項是，，，因此，則，成等差數(shù)列，C正確；對于D，若等比數(shù)列的公比，則不成等比數(shù)列，D錯誤.故選：ABC例8．（2023春·遼寧沈陽·高三沈陽二十中?？茧A段練習）兩個等差數(shù)列，的前n項和分別為和，已知，則______．【答案】【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列前項和的性質(zhì)有即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可知，，所以.故答案為:.練習16．（2023春·廣東梅州·高三豐順縣豐順中學校聯(lián)考期中）等差數(shù)列的前n項和記為，且，，則=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)可得成等差數(shù)列，即可求得的值.【詳解】在等差數(shù)列中，成等差數(shù)列，所以，則，即.故選：D.練習17．（2023春·湖北咸寧·高三鄂南高中?？茧A段練習）已知數(shù)列的前n項和為，且，則=（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由題意根據(jù)等差中項的性質(zhì)判斷數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前n項和片段和的性質(zhì)即可求得答案.【詳解】由可得，故數(shù)列為等差數(shù)列，又，故也成等差數(shù)列，即，故選：D練習18．（2023秋·河南商丘·高三校聯(lián)考期末）已知等差數(shù)列的前項和為，若數(shù)列的前項和為，則______.【答案】135【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：數(shù)列成等差數(shù)列，且公差為等差數(shù)列的公差的9倍，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式與首項和公差的關(guān)系，分別求出等差數(shù)列的首項和公差，進而求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項為，由題意知：數(shù)列成等差數(shù)列，且公差，記數(shù)列為，其前項和為，則，又因為數(shù)列的前項和為，所以，解得：，所以，，解得：，所以.故答案為：.練習19．（2023春·全國·高三合肥市第六中學校聯(lián)考開學考試）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則（

）A．18 B．36 C．40 D．42【答案】B【分析】確定為等差數(shù)列，得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，故為等差數(shù)列，故，故，解得.故選：B練習20．（2023春·高三課時練習）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則______．【答案】/【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和公式即可求得.【詳解】為等差數(shù)列，故，故.故答案為：題型五 求等差數(shù)列前項和的最值例9．（2023春·高三課時練習）在數(shù)列中，若，前項和，則的最大值為______．【答案】66【分析】根據(jù)得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計算最值即可.【詳解】=21，解得，故，屬于二次函數(shù)，對稱軸為，故當或時取得最大值，，，，故的最大值為66.故答案為：66.例10．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習）已知等差數(shù)列{}的前n項和為，滿足，且，則當取得最小值時，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式可得，根據(jù)前n項和的性質(zhì)確定取最值情況即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，因為，即，所以，因為，解得，所以，則，這是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，在處取得最小值，由于，最靠近的正整數(shù)為，所以當時，取得最小值.故選：D．練習21．（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，，則取最大值時的值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)得出即可求解.【詳解】等差數(shù)列，，，，，則取最大值時，.故選：A.練習22．（2023春·高三課時練習）在等差數(shù)列中，，則取最大值時n的值是________．【答案】7或8/8或7【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式和前項和公式求解.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，所以．由可知，，且，即，所以，令，解得，且，所以當n的值是7或8時，取最大值.故答案為：7或8.練習23．（2023春·四川涼山·高三寧南中學校考階段練習）記為等差數(shù)列的前n項和，已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得公差，得等差數(shù)列前項和，結(jié)合二次函數(shù)知識得最小值．【詳解】設(shè)公差為，則，，，所以時，取得最小值．故選：A．練習24．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的公差不等于0.其前n為項和為，若，，，則的最大值為（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列的下標性質(zhì)，結(jié)合等差數(shù)列前n為項和公式進行求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，，，因，即，顯然，否則，矛盾，于是得，又，否則，公差，矛盾，因此，，解得，而，則公差，，由，，于是有等差數(shù)列是遞減數(shù)列，其前4項都是非負的，從第5項起為負，當或時，，所以的最大值為18.故選：A【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性和下標性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.練習25．（2023·四川自貢·統(tǒng)考三模）等差數(shù)列的前n項和為，公差為d，若，，則下列四個命題正確個數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前n項和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得，，從而確定，即可逐項判斷得答案.【詳解】等差數(shù)列中，，則，故②正確；又，所以，故，則，故③正確；于是可得等差數(shù)列滿足，其為遞增數(shù)列，則，又，所以為的最小值，故①正確，④不正確；則四個命題正確個數(shù)為.故選：C.題型六 根據(jù)等差數(shù)列前項和的最值求參數(shù)例11．（2022秋·江蘇泰州·高三泰州中學?？计谀ǘ噙x）已知等差數(shù)列的前項和為，當且僅當時取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)可能為（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由題意可得，公差，且，，分別求出，討論的符號即可求解．【詳解】因為當且僅當時，取得最大值，所以，公差，且，．所以，，，故時，．當時，，則滿足的最大的正整數(shù)為；當時，，則滿足的最大的正整數(shù)為，故滿足的最大的正整數(shù)可能為與．故選：BC．例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大學附屬中學?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前n項和為，，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得公差，由可得，從而可得，再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式與分式變形，結(jié)合函數(shù)思想即可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，由于，所以，且，即，則，由得，故，即的取值范圍為.故答案為：.練習26．（2023·內(nèi)蒙古阿拉善盟·統(tǒng)考一模）已知是等差數(shù)列，是的前n項和，則“對任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．充要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分必要的定義判斷．【詳解】因為對任意的且，，當n＝2時，，當n＝4時，，所以成立；充分性成立當成立時，可推出等差數(shù)列的公差大于零，但“對任意的且，”未必恒成立，練習如，，當n＝1時，不成立，必要性不成立．故選：B．練習27．（2023春·廣西欽州·高三欽州一中?？计谥校┮阎獢?shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和有最大值，那么取得最小正值時為（

）A．11 B．12 C．7 D．6【答案】A【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號，再根據(jù)等差數(shù)列前項和的計算公式，即可求得.【詳解】因為等差數(shù)列的前項和有最大值，故可得，因為，故可得，即，所以，可得，又因為，故可得，所以數(shù)列的前6項和有最大值，且，又因為，，故取得最小正值時n等于.故選：A.練習28．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知等差數(shù)列的前n項和為，當且僅當時，取得最大值，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】AD【分析】由題意可得，公差，且，，分別求出，討論的符號即可求解．【詳解】因為當且僅當時，取得最大值，所以，公差，且，．所以，所以，則滿足的最大的正整數(shù)k一定不等于12.，，故時，．當時，，則滿足的最大的正整數(shù)為；當時，，則滿足的最大的正整數(shù)為，故滿足的最大的正整數(shù)可能為與，一定不等于12與15.故選：AD．練習29．（2023·全國·高三專題練習）記為等差數(shù)列的前n項和，且滿足：①；②對，．寫出一個同時滿足上述兩個條件的數(shù)列的通項公式______．【答案】（答案不唯一，滿足，且公差即可）【分析】由條件①得出，由條件②得出當n＝8時，取得最小值，得出只需數(shù)列的前8項均為負數(shù)，第9項及之后均為正數(shù)，則滿足，且公差即可．【詳解】由，得，即公差，所以數(shù)列單調(diào)遞增，又對，，即當n＝8時，取得最小值，故只需數(shù)列的前8項均為負數(shù)，第9項及之后均為正數(shù)即可，結(jié)合可知，滿足條件的一個數(shù)列的通項公式可以為（答案不唯一，滿足，且公差即可），故答案為：（答案不唯一，滿足，且公差即可）．練習30．（2023·全國·高三專題練習）記數(shù)列的前n項和為，對任意，有．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若當且僅當時，取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義，即可證明；（2）由條件轉(zhuǎn)化為，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項的不等式，即可求解.【詳解】（1）因為①，則②①－②可得，故為等差數(shù)列．（2）若當且僅當時，取得最大值，則有,得則，，故的取值范圍為．題型七 含絕對值的等差數(shù)列的前項和例13．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）記為等差數(shù)列的前項和，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算可得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項和公差分別為、，由題意可知，化簡得，解得，所以．（2）由（1）知：當時，；當時，，所以．例14．（2023春·廣東佛山·高三佛山一中?？茧A段練習）已知數(shù)列的通項公式為，則_________．【答案】【分析】分析數(shù)列的取值規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列求和公式求解.【詳解】因為，所以當時，，當時，，所以當時，，所以，當時，，所以，所以，故答案為：練習31．（2023春·貴州黔東南·高二校考階段練習）已知在等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前項和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）化簡數(shù)列的表達式，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以，.（2）解：.因此，.練習32．（2022秋·北京·高三北京市廣渠門中學?？茧A段練習）已知等差數(shù)列的公差為，數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和；(3)請直接寫出的結(jié)果.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程求出基本量，即可求解；（2）利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項和公式，分組求和即可得到答案；（3）根據(jù)絕對值和等差數(shù)列前項和的性質(zhì)，對進行分段，即可求得答案（1）為等差數(shù)列，，得到公差，進而得到，（2），所以，（3）令，得，又，，整理得，練習33．（2023·全國·高三專題練習）數(shù)列中，，，且滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公式求解，（2）分類討論后由等差數(shù)列前n項和公式求解【詳解】（1）由題意，，是等差數(shù)列且，，．（2），令，得．當時，；當時，；當時，．當時，，當時，．．練習34．（2023秋·河北滄州·高三統(tǒng)考期末）在等差數(shù)列中，，，為數(shù)列的前n項和，，則的最小值為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意先求出等差數(shù)列的通項公式，再分類求，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得最小值.【詳解】由已知得，即，∴，當時，，當時，，當時，，當時，．當時，，設(shè)．∵在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，又，∴當時，只需比較和，，，∵，∴．故答案為：.練習35．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預測）已知等差數(shù)列的前n項和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項；(2)求數(shù)列的前n項和為．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)列方程求出的公差即可求解；（2）由等差數(shù)列的求和公式求出，討論當時，，；當時，，，寫成分段的形式即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因為，所以，當時，，此時，，當時，，此時，，綜上所述：.題型八 等差數(shù)列的簡單應(yīng)用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學校?？计谥校亩寥掌?，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【分析】根據(jù)題意，分別設(shè)十二個節(jié)氣為，再運用等差中項求解.【詳解】設(shè)冬至，小寒，大寒，立春，雨水，驚蟄，春分，清明，谷雨，立夏，小滿，芒種這十二個節(jié)氣為：，且其公差為，依題意有：，，，公差，則，所以谷雨這一天的日影長度為尺，故選：A例16．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300~500年之間的古樹為二級，樹齡100~299年的古樹為三級，樹齡低于100年不稱為古樹．林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計算年輪個數(shù)，由經(jīng)驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構(gòu)成等差數(shù)列．現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14米，靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4cm，靠近樹皮的第5個年輪寬度為0.2cm，則估計該大樹屬于（

）A．一級 B．二級 C．三級 D．不是古樹【答案】C【分析】由條件抽象出等差數(shù)列的基本量，再結(jié)合等差數(shù)列的前項和，求.【詳解】設(shè)樹干的截面圓的半徑為，