海南省?？谑心承?024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

2024年高二年級10月?？紨?shù)學(xué)試卷一、單選題1．設(shè)全集，集合，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．23．已知，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．24．在下列四個正方體中，為正方體的兩個頂點(diǎn)，為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個正方體中，直線與平面不平行的是（）A． B．C． D．5．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的方差為0.01，則數(shù)據(jù)的方差為（）A．0.01 B．0.1 C．1 D．106．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件“出現(xiàn)3點(diǎn)或4點(diǎn)”，則事件與的關(guān)系為（）A．相互獨(dú)立事件 B．相互互斥事件C．即相互獨(dú)立又相互互斥事件 D．既不互斥又不相互獨(dú)立事件7．已知，且與夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，在四面體中，，點(diǎn)在上，且為的中點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．二、多選題9．如圖是函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．在上單調(diào)遞減 B．在上單調(diào)遞增C．在區(qū)間上的最大值為3，最小值為 D．在上有最大值3，有最小值10．已知向量，則下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（）A．向量與向量的夾角為 B．C．向量在向量上的投影向量為 D．向量與向量共面三、填空題12．已知空間向量，且，則______．13．已知，其中，則______．14．如圖，三棱錐中，平面，且．若是棱上的點(diǎn)，滿足，且，則______．四、解答題15．已知函數(shù)．（1）求的值；（2）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．16．某高校承辦了成都世乒賽志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求的值；（2）估計(jì)這100名候選者面試成績的眾數(shù)、平均數(shù)和分位數(shù)（分位數(shù)精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．17．已知的三個內(nèi)角所對的邊分別是，且．（1）求；（2）若，求外接圓的半徑．18．如圖，已知三棱柱中，平面為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．19．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，底面，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出求線段的長；若不存在，說明理由．

2024年10月?？紨?shù)學(xué)參考答案題號1234567891011答案CCCACADBBDACABD1．C【難度】0.94【知識點(diǎn)】交并補(bǔ)混合運(yùn)算【詳解】先由補(bǔ)集的定義求出，然后根據(jù)交集的定義可得，故選C．考點(diǎn)：集合交集、并集和補(bǔ)集．2．C【難度】0.94【知識點(diǎn)】求復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算【分析】計(jì)算出，利用復(fù)數(shù)模長公式求出答案．【詳解】，故．故選：C3．C【難度】0.94【知識點(diǎn)】空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】利用兩個向量垂直的性質(zhì)，數(shù)量積公式即求得的值．【詳解】向量若，則，．故選：C．4．A【難度】0.94【知識點(diǎn)】判斷線面平行【分析】根據(jù)線線平行證明線面平行．【詳解】A選項(xiàng)：如圖所示，由中位線性質(zhì)可知，且平面，則與平面不平行，A選項(xiàng)滿足題意；B選項(xiàng)：由正方體結(jié)構(gòu)特征，易得，結(jié)合線面平行的判定定理，知B不滿足題意；C選項(xiàng)，由正方體結(jié)構(gòu)特征，易得，結(jié)合線面平行的判定定理，知C不滿足題意；D選項(xiàng)，由正方體結(jié)構(gòu)特征，易得，結(jié)合線面平行的判定定理，知D不滿足題意，故選：A．5．C【難度】0.85【知識點(diǎn)】計(jì)算幾個數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差【分析】根據(jù)新數(shù)據(jù)與原數(shù)據(jù)關(guān)系確定方差關(guān)系，即得結(jié)果．【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)的方差是數(shù)據(jù)的方差的倍，所以所求數(shù)據(jù)方差為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查方差，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題．6．A【難度】0.85【知識點(diǎn)】判斷所給事件是否是互斥關(guān)系、獨(dú)立事件的判斷【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件、互斥事件的定義確定正確選項(xiàng)．【詳解】由于表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為4”，所以事件與不是互斥事件，由，有，所以事件與是相互獨(dú)立事件，不是互斥事件．故選：A7．D【難度】0.85【知識點(diǎn)】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量平行的坐標(biāo)表示【分析】由題意且與不共線，利用向量共線和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【詳解】，當(dāng)時，有，解得，此時與夾角為，所以與夾角不可能為，與夾角為銳角時，有，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．8．B【難度】0.65【知識點(diǎn)】用空間基底表示向量【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件求解【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)樵诰€段上，且，所以，所以，故選：B9．BD【難度】0.94【知識點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、函數(shù)圖象的應(yīng)用【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果．【詳解】對于選項(xiàng)，由函數(shù)圖象可得，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故A錯誤，B正確；對于C選項(xiàng)，由圖象可得，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為3，無最小值，故C錯誤；對于D選項(xiàng)，由圖象可得，函數(shù)在上有最大值3，有最小值-2，故D正確；故選：BD．10．AC【難度】0.85【知識點(diǎn)】由向量共線（平行）求參數(shù)、坐標(biāo)計(jì)算向量的模、向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】根據(jù)向量平行，垂直及模長的坐標(biāo)表示可得解．【詳解】A，B選項(xiàng)：，則，即，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯誤；C選項(xiàng)：由已知，又，即，即，C選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)：，解得，D選項(xiàng)錯誤；故選：AC．11．ABD【難度】0.65【知識點(diǎn)】判定空間向量共面、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出向量夾角可判斷A；由向量相乘為0可得向量垂直B正確；根據(jù)投影向量的定義可計(jì)算出投影向量為所以C錯誤，得出向量共面判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以，可得，則向量與向量的夾角為，故A正確；因?yàn)椋?，即B正確；根據(jù)投影向量的定義可知，向量在向量上的投影向量為，所以C錯誤；由向量，可知，向量與向量共面，所以D正確．故選：ABD12．【難度】0.85【知識點(diǎn)】空間向量模長的坐標(biāo)表示、空間向量垂直的坐標(biāo)表示【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示及模長公式計(jì)算即可．【詳解】由題意可知，所以．故答案為：．13．1【難度】0.85【知識點(diǎn)】誘導(dǎo)公式二、三、四、坐標(biāo)計(jì)算向量的模【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式及向量的平方等于模的平方即可求．【詳解】，則．故答案為：114．【難度】0.85【知識點(diǎn)】線面垂直證明線線垂直、空間位置關(guān)系的向量證明【分析】證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，從而由垂直關(guān)系得到方程，求出的值．【詳解】因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又，故兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，故，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，解得，?fù)值舍去．故答案為：15．（1）；（2）最小正周期為，遞增區(qū)間為．【難度】0.85【知識點(diǎn)】求正弦（型）函數(shù)的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、求型三角函數(shù)的單調(diào)性【分析】（1）利用倍角公式化簡函數(shù)式，將自變量代入求值即可；（2）根據(jù)（1）所得解析式及正弦型函數(shù)性質(zhì)求周期，整體法求遞增區(qū)間即可．【詳解】（1）由與，得，所以；（2）的最小正周期是由，解得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是．16．（1）（2）眾數(shù)為70，平均數(shù)為分位數(shù)為71.7（3）【難度】0.85【知識點(diǎn)】補(bǔ)全頻率分布直方圖、由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、計(jì)算古典概型問題的概率、總體百分位數(shù)的估計(jì)【分析】（1）由第三?四?五組的頻率之和為0.7，所有組頻率之和為1，列方程求的值；（2）由頻率分布直方圖中眾數(shù)?平均數(shù)和百分位數(shù)的定義公式計(jì)算；（3）根據(jù)分層抽樣確定的人數(shù)，解決古典概型概率問題．【詳解】（1）因?yàn)榈谌?四?五組的頻率之和為0.7，所以，解得，所以前兩組的頻率之和為，即，所以．（2）眾數(shù)為70，平均數(shù)為，前兩個分組頻率之和為0.3，前三個分組頻率之和為0.75，所以分位數(shù)在第三組，且為．（3）第四、第五兩組志愿者分別有20人，5人，采用分層抽樣的方法從中抽取5人，則第四組抽4人，記為，第五組抽1人，記為A，則從這5人中選出2人，有共10種結(jié)果，兩人來自不同組有共4種結(jié)果，所以兩人來自不同組的概率為．17．（1）（2）2【難度】0.85【知識點(diǎn)】用和、差角的正弦公式化簡、求值、三角恒等變換的化簡問題、正弦定理求外接圓半徑、余弦定理解三角形【分析】（1）根據(jù)題意由三角恒等變換化簡即可得，所以；（2）利用余弦定理可得，再由正弦定理可得外接圓半徑．【詳解】（1）由題意得，又，，化簡得，又，（2）在中由余弦定理得，，設(shè)的外接圓半徑為，故，∴外接圓的半徑為2．18．（1）證明見解析（2）【難度】0.65【知識點(diǎn)】證明線面垂直、面面角的向量求法【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理進(jìn)行判斷．（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦．【詳解】（1）平面，又平面，為的中點(diǎn)，，又平面，平面．（2）以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．設(shè)平面的一個法向量為，則即，令，則．由（1）知是平面的一個法向量，．平面與平面所成角的余弦值為．19．（1）證明見解析（2）（3）存在；的長為或【難度】0.65【知識點(diǎn)】證明線面平行、已知線面角求其他量、面面角的向量求法【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量數(shù)量積公式求解二面角；（3）假設(shè)棱PB存在一點(diǎn)F使得，且，即可