人教版九年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提升精講精練第二十一章一元二次方程基礎(chǔ)?？?0題(15個考點(diǎn))專練(原卷版+解析)

第二十一章一元二次方程基礎(chǔ)?？?0題（15個考點(diǎn)）專練【精選2023年最新題型訓(xùn)練】基礎(chǔ)?？碱}一、一元二次方程的定義1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）關(guān)于的方程．(1)當(dāng)取何值時，方程為一元二次方程？(2)當(dāng)取何值時，方程為一元一次方程？基礎(chǔ)常考題二、一元二次方程的一般形式1．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將方程化成的形式，則，，的值分別為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2．（2023秋·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期末）將方程化成一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，則．3．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）將下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)．(1)（、是常數(shù)，且）；(2)；(3)．基礎(chǔ)?？碱}三、一元二次方程的解1．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）若是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．20182．（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，則常數(shù)．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）在一元二次方程中，若，則稱是該方程的中點(diǎn)值．(1)方程的中點(diǎn)值是．(2)已知的中點(diǎn)值是，其中一個根是，求的值．基礎(chǔ)?？碱}四、直接開方法解一元二次方程1．（2023春·福建福州·八年級?？计谀┙庖辉畏匠蹋海?．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）解下列一元二次方程：；基礎(chǔ)?？碱}五、配方法解一元二次方程1．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．3．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學(xué)校校考階段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開平方法）．(2)（配方法）．基礎(chǔ)?？碱}六、公式法解一元二次方程1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧二中校考期末）解方程：．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．基礎(chǔ)?？碱}七、因式分解法解一元二次方程1．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┙夥匠蹋海?．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？计谥校┙夥匠?1)(2)基礎(chǔ)?？碱}八、換元法解一元二次方程1．（2023春·八年級課時練習(xí)）關(guān)于的方程的解是（均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A． B．C． D．2．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤?，則．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知，求的值．基礎(chǔ)?？碱}九、配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程配方后得到方程，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或?qū)⒁粋€式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個整數(shù)能表示成（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．解決問題：已知40是“完美數(shù)”，請將它寫成（a，b為整數(shù)）的形式：．3．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解答問題．【閱讀】例題：求多項(xiàng)式的最小值．解：，∵，∴∴多項(xiàng)式的最小值是4(1)請寫出例題解答過程中把一個三項(xiàng)二次式轉(zhuǎn)化為一個二項(xiàng)式的平方運(yùn)用的公式是______；(2)求多項(xiàng)式的最大值．基礎(chǔ)?？碱}十、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．根的情況與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)2．（2023春·八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)解，則m取到的最小正整數(shù)值是．3．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個根小于0，求的取值范圍．基礎(chǔ)常考題十一、根據(jù)一元二次方程的情況求參數(shù)1．（2023春·湖南郴州·八年級?？计谀┮阎P(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且2．（2023春·重慶南岸·八年級?？计谀┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解．基礎(chǔ)?？碱}十二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C．1 D．72．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個根是、，則的值是3．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程，(1)求證：無論取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個實(shí)數(shù)根，，且，求的值．基礎(chǔ)?？碱}十三、用一元二次方程解決問題——增長率問題1．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┠硻C(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度共生產(chǎn)零件196萬個．設(shè)該廠八，九月份平均每月的增長率為x，則可以得到關(guān)于x的方程是（）A． B．C． D．2．（2023春·安徽滁州·八年級統(tǒng)考期末）某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2020年該類服裝出廠價為200元/件，2021年、2022年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2022年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．若這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率相同，則2021年此類服裝的出廠價為元/件．3．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）2023年元宵節(jié)，某電影院開展“弘揚(yáng)家國情懷，彰顯中華氣魄”系列活動，對團(tuán)體購買《流浪地球2》電影票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定零售票價基礎(chǔ)上每張降價20元，這樣按原定零售票價需花費(fèi)3000元購買的門票，現(xiàn)在只花費(fèi)了1800元．(1)求每張電影票的原定零售票價；(2)為了促進(jìn)消費(fèi)，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32元，求平均每次降價的百分率．基礎(chǔ)?？碱}十四、用一元二次方程解決問題——營銷問題1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，商品銷售單價每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤，每件商品應(yīng)降價（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）深秋時節(jié)，甜糯的板栗深受人們的喜愛，某商販購進(jìn)時的價格是40元/千克．根據(jù)調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價（元/千克）與銷售量（千克）之間滿足的關(guān)系如圖所示．（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使該商店銷售這種板栗獲得8000元的銷售利潤且讓利于顧客，則該板栗的銷售單價應(yīng)定為．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價降低1元，則平均每月可多賣出20本．設(shè)每本科普讀物的售價降低元．(1)小宇說：“既然降價銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請判斷小宇的說法是否正確，并說明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤為2860元，銷售經(jīng)理甲說：“在原售價的基礎(chǔ)上降低3元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說：“在原售價的基礎(chǔ)上降低1元即可”，請判斷甲、乙兩人的說法是否正確并指出應(yīng)采取誰的意見．基礎(chǔ)常考題十五、用一元二次方程解決問題——圖形有關(guān)的問題1．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為．設(shè)剪去小正方形的邊長為，則可列方程為（

）

A． B．C． D．2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計(jì)劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，則該矩形荒地的長為．

3．（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，公園里有兩塊邊長分別為a，b的正方形區(qū)域A、B，其中陰影部分M為雕塑區(qū)，面積為m，其他部分種植花草．

(1)用含a，b，m的代數(shù)式表示種植花草的面積______；(2)若正方形A的一個頂點(diǎn)恰為正方形B的中心，a比b大20，M的面積是A的，求a的值．基礎(chǔ)?？碱}十六、一元二次方程的基礎(chǔ)題型匯總（共15道題）1．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，配方后得到的方程是（

）A． B．C． D．2．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±13．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）對于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．4．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．5．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于的方程，，則下列說法正確的是(

)A．不存在的值，使得方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解B．至少存在一個的值，使得方程沒有實(shí)數(shù)解C．無論為何值，方程總有一個固定不變的實(shí)數(shù)根D．無論為何值，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根6．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程的解的解為．7．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則．8．（2023春·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）公園里有一個邊長為6米的正方形花壇，現(xiàn)在想擴(kuò)大花壇的面積．要使花壇的面積增加28平方米后仍然是正方形，設(shè)邊長延長米，則可列方程為．

9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．11．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┙夥匠蹋?1)；(2)．12．（2023春·江西撫州·八年級校考階段練習(xí)）如圖，用1張邊長為的正方形紙片，2張邊長為的正方形紙片，3張長、寬分別為b，a的長方形紙片拼成新的長方形（無縫隙），通過不同的方法計(jì)算面積，探求相應(yīng)的等式．(1)你得到的等式是______；(2)借助拼圖的方法，將多項(xiàng)式因式分解．13．（2023春·重慶渝北·八年級禮嘉中學(xué)?？计谀┙衲甏杭臼羌琢鞑《镜母甙l(fā)期．為了遏制甲流病毒的傳播，建議市民朋友們在公共場合要佩戴口罩，現(xiàn)在，有一個人患了甲流，經(jīng)過兩輪傳染后共有個人患了甲流．(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)某藥房最近售出了盒口罩．已知售出的醫(yī)用口罩的數(shù)量不超過普通醫(yī)用口罩的4倍，每盒醫(yī)用口罩的單價為元，每盒普通醫(yī)用口罩的價格為元，則售出醫(yī)用口罩和普通醫(yī)用各多少盒時，總銷售額最多？請說明理由．14．（2023春·山東濟(jì)寧·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根，(1)求k的取值范圍；(2)若，滿足，求k的值．15．（2023春·安徽六安·八年級統(tǒng)考期末）利用完全平方公式，可以將多項(xiàng)式變形為的形式，我們把這樣的變形方法叫做配方法．我們已學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，除此之外，利用配方法還能解決二次三項(xiàng)式的最值問題．閱讀如下材料，完成下列問題：材料：對于二次三項(xiàng)式求最值問題，有如下示例：．因?yàn)?，所以，所以，?dāng)時，原式的最小值為2．完成問題：(1)求的最小值；(2)若實(shí)數(shù)滿足．求的最大值．

第二十一章一元二次方程基礎(chǔ)常考60題（15個考點(diǎn)）專練【精選2023年最新題型訓(xùn)練】基礎(chǔ)?？碱}一、一元二次方程的定義1．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期末）下列方程中，關(guān)于的一元二次方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義解答即可．【詳解】解：A.該方程化簡后為，是一元一次方程，不符合題意；B.當(dāng)時，不是一元二次方程，不符合題意；C.該方程化簡后為，是一元二次方程，符合題意；D.該方程是分式方程，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足四個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2，②二次項(xiàng)系數(shù)不為0，③是整式方程，④含有一個未知數(shù)，熟練掌握一元二次方程必須滿足的四個條件，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北黃岡·九年級統(tǒng)考期末）關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵的方程是一元二次方程，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵：含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）關(guān)于的方程．(1)當(dāng)取何值時，方程為一元二次方程？(2)當(dāng)取何值時，方程為一元一次方程？【答案】(1)(2)【分析】（1）令二次項(xiàng)系數(shù)不為零即可求解；（2）令二次項(xiàng)系數(shù)為零且一次項(xiàng)系數(shù)不為0即可求解．【詳解】（1）要使方程為一元二次方程，則，即時，原方程是一元二次方程；（2）要使方程為一元一次方程，則，，即且，可知時，原方程是一元一次方程．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程和一元一次方程的概念，解題關(guān)鍵是掌握它們的概念，將一個方程化簡后如果形如，則它為一元二次方程，而一元一次方程則應(yīng)抓住兩個關(guān)鍵：①只含有一個未知數(shù)，②未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程．基礎(chǔ)?？碱}二、一元二次方程的一般形式1．（2023·廣東東莞·東莞市東華初級中學(xué)?？寄M預(yù)測）將方程化成的形式，則，，的值分別為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】將原方程化為一般形式，進(jìn)而可得出，，的值．【詳解】解：將原方程化為一般形式得：，∴，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，牢記“一般地，任何一個關(guān)于的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式，這種形式叫一元二次方程的一般形式”是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北廊坊·九年級統(tǒng)考期末）將方程化成一元二次方程的一般形式后，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為，常數(shù)項(xiàng)為，則．【答案】【分析】先化為一般形式，根據(jù)一元二次方程的一般形式，得出的值，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：整理得，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．一元二次方程的一般形式是：（，，是常數(shù)且）．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）將下列一元二次方程化成一般式，并寫出方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)系數(shù)．(1)（、是常數(shù)，且）；(2)；(3)．【答案】(1)方程一般形式為；方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為0；常數(shù)項(xiàng)為；(2)方程一般形式為；方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為(3)一般形式即為；方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為6【分析】（1）移項(xiàng)，將方程化為一般性質(zhì)，即可得解；（2）移項(xiàng)，將方程化為一般性質(zhì)，即可得解；（3）利用平方差公式，方程左邊為，由此方程即為，方程展開化為一般形式即為，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵，∴方程一般形式為；∴方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為0；常數(shù)項(xiàng)為；（2）解：∵，∴方程一般形式為；∴方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為；（3）解：∵，∴∴，∴；方程二次項(xiàng)為，二次項(xiàng)系數(shù)為2；一次項(xiàng)為，一次項(xiàng)系數(shù)為；常數(shù)項(xiàng)為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的一般形式，關(guān)于x的方程，（，a，b，c，為常數(shù)）稱為一元二次方程的一般形式，叫二次項(xiàng)，是一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)，熟練掌握一元二次方程的一般形式是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}三、一元二次方程的解1．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）若是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．2021 B．2020 C．2019 D．2018【答案】C【分析】把方程的根代入方程，得到m的代數(shù)式，變形計(jì)算即可．【詳解】解：∵是一元二次方程的一個實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根即使得方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，變形計(jì)算是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江溫州·八年級蒼南縣金鄉(xiāng)鎮(zhèn)第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，則常數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的一個根是1，∴把代入方程，得，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解的含義．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）在一元二次方程中，若，則稱是該方程的中點(diǎn)值．(1)方程的中點(diǎn)值是．(2)已知的中點(diǎn)值是，其中一個根是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)方程的中點(diǎn)值的定義計(jì)算；（2）利用方程的中點(diǎn)值的定義得到，再把把代入計(jì)算出的值，然后計(jì)算．【詳解】（1）解：∵，∴方程的中點(diǎn)值為；故答案為：；（2）∵，∴，把代入得，解得，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．基礎(chǔ)?？碱}四、直接開方法解一元二次方程1．（2023春·福建福州·八年級?？计谀┙庖辉畏匠蹋海敬鸢浮?，【分析】根據(jù)直接開平方的方法解方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用開平方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先方程兩邊同時乘以3，變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．（2）先把方程變形為，再開平方得，再解一元一次方程即可求解．【詳解】（1）解：或，，；（2）解：或，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開平方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）解下列一元二次方程：；【答案】【分析】使用完全平方公式對方程進(jìn)行變形，再求得結(jié)果．【詳解】解：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，其中準(zhǔn)確使用完全平方公式進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}五、配方法解一元二次方程1．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用配方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程無解(2)方程無解【分析】根據(jù)完全平方公式將方程的左邊配成完全平方，右邊為常數(shù)，再利用平方根的定義解方程即可.【詳解】（1）解：化簡得：，，，∵，∴原方程無解；（2）解：化簡得：，，，∵，∴原方程無解；【點(diǎn)睛】本題考查了用配方法求一元二次方程的解，掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．2．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）配方法解方程：．【答案】，【分析】方程移項(xiàng)變形后，利用完全平方公式化簡，開方即可求出解．【詳解】解：，∴，∴，∴，∴，解得：，．【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程配方法，熟練掌握配方法的依據(jù)：完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·四川廣安·九年級四川省武勝烈面中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）根據(jù)要求解下列方程：(1)（直接開平方法）．(2)（配方法）．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）根據(jù)平方根的定義，原方程變形求解；（2）根據(jù)完全平方公式，將原方程變形為形式，開方求解．【詳解】（1）解：∴，（2）解：∴或∴，【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方法，配方法求解一元二次方程，熟練完全平方公式是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}六、公式法解一元二次方程1．（2023春·廣西南寧·八年級南寧二中校考期末）解方程：．【答案】，．【分析】先計(jì)算，再利用求根公式求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用公式法解一元二次方程，熟記求根公式是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·上海·八年級假期作業(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)方程無解(2)方程無解【分析】先把原方程化為一般式，然后判斷的符號，如果，則用公式法求解即可，如果，則原方程無解．【詳解】（1）解：化為一般式得：，∴，∴，∴原方程無解；（2）解：，化為一般式得，∴，∴，∴原方程無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用公式法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)方程無實(shí)數(shù)解【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；（2）用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，則，∴，∴；（2）解：，，則，∴此方程無實(shí)數(shù)解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了公式法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程求根公式．基礎(chǔ)?？碱}七、因式分解法解一元二次方程1．（2023秋·山西大同·九年級大同一中?？计谀┙夥匠蹋海敬鸢浮?，【分析】將方程整理一般形式，再利用因式分解法解方程即可．【詳解】解：，整理得：，，或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，首先要將原方程整理為一般形式，再根據(jù)方程特點(diǎn)選擇合適方法求解．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴或，解得；（2）解：∵，∴，即，∴或，解得．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知因式分解法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校校考期中）解方程(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，∴，∴或，解得：，；（2），∴，∴或，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握因式分解法解一元二次方程．基礎(chǔ)?？碱}八、換元法解一元二次方程1．（2023春·八年級課時練習(xí)）關(guān)于的方程的解是（均為常數(shù)，），則方程的解是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)關(guān)于的方程的解是，可知或，進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于的方程的解是（均為常數(shù)，），∴在方程中，可有或，解得．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用換元法解一元二次方程，找出兩方程之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·安徽合肥·八年級合肥壽春中學(xué)?？计谥校┤簦瑒t．【答案】4【分析】令，得到一個關(guān)于m的一元二次方程，解此一元二次方程即可得出答案．【詳解】解：設(shè)，則有，即，．∴，．∵，∴不合題意，舍去．∴．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握換元法解一元二次方程的方法，需要注意不能是負(fù)數(shù)．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知，求的值．【答案】3【分析】先用換元法令，再解關(guān)于的一元二次方程即可．【詳解】解：令，則原等式可化為：，解得：，，，即．的值為3．【點(diǎn)睛】本題考查了換元法、一元二次方程的解法，注意為非負(fù)數(shù)是本題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}九、配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期末）若關(guān)于的一元二次方程配方后得到方程，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)完全平方式的特征對配方可得，通過變形可得的值.【詳解】解：∵對配方可得到∴變形可得∴∴故選：【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和一元二次方程的綜合運(yùn)用，熟練完全平方式的配方是解題的關(guān)鍵.2．（2023春·河北石家莊·七年級統(tǒng)考期中）配方法是數(shù)學(xué)中非常重要的一種思想方法，它是指將一個式子或?qū)⒁粋€式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決問題．定義：若一個整數(shù)能表示成（a，b為整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”，理由：因?yàn)椋?是“完美數(shù)”．解決問題：已知40是“完美數(shù)”，請將它寫成（a，b為整數(shù)）的形式：．【答案】【分析】根據(jù)題中的新定義確定出所求即可．【詳解】∵，∴是“完美數(shù)”，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·陜西咸陽·八年級統(tǒng)考期末）先閱讀下面的內(nèi)容，再解答問題．【閱讀】例題：求多項(xiàng)式的最小值．解：，∵，∴∴多項(xiàng)式的最小值是4(1)請寫出例題解答過程中把一個三項(xiàng)二次式轉(zhuǎn)化為一個二項(xiàng)式的平方運(yùn)用的公式是______；(2)求多項(xiàng)式的最大值．【答案】(1)完全平方公式(2)30【分析】（1）根據(jù)完全平方公式的含義可得答案；（2）把原式化為，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：公式為：，即：完全平方公式，故答案為：完全平方公式；（2）；∵，∴，∴的最大值是．【點(diǎn)睛】本題考查的是利用完全平方公式分解因式，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握利用完全平方公式求解代數(shù)式的最值是解本題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十、根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．根的情況與實(shí)數(shù)m的取值有關(guān)【答案】B【分析】把方程化為一般式，然后計(jì)算判別式的值，即可得到解答.【詳解】解：∵方程化為一般式為，則，∴方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程根的判別式的求法及應(yīng)用是解題關(guān)鍵．2．（2023春·八年級單元測試）已知關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)解，則m取到的最小正整數(shù)值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式列出不等式，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)解，當(dāng)時，原方程為一元一次方程，有解，當(dāng)時，原方程為一元二次方程，∴，解得：，∴則m取到的最小正整數(shù)值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．3．（2023·北京昌平·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個實(shí)數(shù)根；(2)若方程有一個根小于0，求的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先求出判別式，利用配方法變?yōu)橥耆椒绞郊纯?，?）利用求根公式，先求一元二次方程含k的根，讓其一根小于0，求出范圍即可．【詳解】（1）解：，，，方程總有兩個實(shí)數(shù)根；（2）解：，，，方程有一根小于0，，．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的范圍問題，掌握根的判別式的用途，會用根的判別式解決方程根的情況，會利用求根公式解方程，會用條件利用不等式，會解不等式是關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十一、根據(jù)一元二次方程的情況求參數(shù)1．（2023春·湖南郴州·八年級?？计谀┮阎P(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)解，求k的取值范圍（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式以及二次根式有意義的條件，即可得出關(guān)于k的一元一次不等式組，然后求解即可解答．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個實(shí)數(shù)解，∴且，解得：且．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根的判別式、一元二次方程的定義、二次根式有意義的條件等知識點(diǎn)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，列出關(guān)于k的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·重慶南岸·八年級?？计谀┤絷P(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可求解．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，，即，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時，一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)當(dāng)取滿足要求的最小正整數(shù)時，求方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則根的判別式，且，求出的取值范圍即可；（2）得到的最小整數(shù)，利用公式法解一元二次方程即可．【詳解】（1）一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，，且，即，且，解得：且；（2）滿足條件的最小正整數(shù)是，此時方程為，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，公式法解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)常考題十二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023春·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）若，是一元二次方程的兩個根，則的值是（

）A． B． C．1 D．7【答案】D【分析】利用兩根之和為，兩根之積為，計(jì)算即可．【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個根，∴，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系的公式．2．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級統(tǒng)考期末）若一元二次方程的兩個根是、，則的值是【答案】【分析】根據(jù)、是一元二次方程的兩個根，則有，求解即可．【詳解】解：由題意得，，故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·黑龍江綏化·八年級校聯(lián)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程，(1)求證：無論取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程有兩個實(shí)數(shù)根，，且，求的值．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）直接根據(jù)根的判別式計(jì)算即可；（2），根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，代入，得到關(guān)于m的方程，然后解方程即可．【詳解】（1）解：∵關(guān)于的一元二次方程，∴判別式，∴無論取何值，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；（2）∵方程有兩個實(shí)數(shù)根，，∴，∵∴解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十三、用一元二次方程解決問題——增長率問題1．（2023春·黑龍江大慶·九年級?？计谀┠硻C(jī)械廠七月份生產(chǎn)零件50萬個，第三季度共生產(chǎn)零件196萬個．設(shè)該廠八，九月份平均每月的增長率為x，則可以得到關(guān)于x的方程是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用分別表示八、九月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意第三季度共生產(chǎn)零件196萬個可得出方程．【詳解】解：依題意得八、九月份的產(chǎn)量為、，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，增長率問題，解題的關(guān)鍵是掌握一般形式為，為起始時間的有關(guān)數(shù)量，為終止時間的有關(guān)數(shù)量．2．（2023春·安徽滁州·八年級統(tǒng)考期末）某服裝廠生產(chǎn)一批服裝，2020年該類服裝出廠價為200元/件，2021年、2022年連續(xù)兩年改進(jìn)技術(shù)，降低成本，2022年該類服裝的出廠價調(diào)整為162元/件．若這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率相同，則2021年此類服裝的出廠價為元/件．【答案】【分析】設(shè)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率為，根據(jù)題意，列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這兩年此類服裝的出廠價下降的百分率為，由題意可得：解得：或（舍去）2021年此類服裝的出廠價為（元）故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確列出方程．3．（2023春·江蘇鹽城·八年級?？茧A段練習(xí)）2023年元宵節(jié)，某電影院開展“弘揚(yáng)家國情懷，彰顯中華氣魄”系列活動，對團(tuán)體購買《流浪地球2》電影票實(shí)行優(yōu)惠，決定在原定零售票價基礎(chǔ)上每張降價20元，這樣按原定零售票價需花費(fèi)3000元購買的門票，現(xiàn)在只花費(fèi)了1800元．(1)求每張電影票的原定零售票價；(2)為了促進(jìn)消費(fèi)，該影院決定對網(wǎng)上購票的個人也采取優(yōu)惠，原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32元，求平均每次降價的百分率．【答案】(1)每張門票的原定票價為50元(2)原定票價平均每次的降價率為【分析】（1）設(shè)每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，根據(jù)按原定零售票價需花費(fèi)3000元購買的門票，現(xiàn)在只花費(fèi)了1800元，列出方程，解方程即可；（2）設(shè)原定票價平均每次的降價率為，根據(jù)原定零售票價經(jīng)過連續(xù)兩次降價后票價為每張32元，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)每張門票的原定票價為元，則降價后的價格為元，依題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：每張門票的原定票價為50元．（2）解：設(shè)原定票價平均每次的降價率為，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：原定票價平均每次的降價率為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程和分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，注意要對分式方程的解進(jìn)行檢驗(yàn)．基礎(chǔ)?？碱}十四、用一元二次方程解決問題——營銷問題1．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，商品銷售單價每降1元，平均每天可多售出2件．在每件盈利不少于25元的前提下，要獲利1200元利潤，每件商品應(yīng)降價（

）A．10元 B．20元 C．10元或20元 D．13元【答案】A【分析】根據(jù)題意設(shè)每件商品降價元，則平均每天可售出件，根據(jù)每日的總利潤每件商品的利潤每日的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出的值，再結(jié)合即可確定的值．【詳解】解：設(shè)每件商品降價元，則平均每天可售出件，依題意得：，整理得：，解得：，，又，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）深秋時節(jié)，甜糯的板栗深受人們的喜愛，某商販購進(jìn)時的價格是40元/千克．根據(jù)調(diào)查：在一段時間內(nèi)，銷售單價（元/千克）與銷售量（千克）之間滿足的關(guān)系如圖所示．（1）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使該商店銷售這種板栗獲得8000元的銷售利潤且讓利于顧客，則該板栗的銷售單價應(yīng)定為．【答案】60【分析】（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，用待定系數(shù)法列方程組求解即可；（2）根據(jù)利潤＝（售價－進(jìn)價）×銷量，列出方程求解即可得到答案．【詳解】解：（1）設(shè)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，由圖可知，點(diǎn)，在，，解得，關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為；（2）根據(jù)題意可得：，解得：或，讓利于顧客，，板栗的銷售單價應(yīng)定為60元，故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式和方程解決問題．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）某書店銷售一本科普讀物，進(jìn)價為每本16元，若按每本30元銷售，平均每月能賣出200本．經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)，在不虧本的情況下，為減少庫存，若每本售價降低1元，則平均每月可多賣出20本．設(shè)每本科普讀物的售價降低元．(1)小宇說：“既然降價銷售，薄利多銷，那么就有可能賣出600本．”請判斷小宇的說法是否正確，并說明理由；(2)若該書店銷售此科普讀物想平均每月的銷售利潤為2860元，銷售經(jīng)理甲說：“在原售價的基礎(chǔ)上降低3元，可以完成任務(wù)”，銷售經(jīng)理乙說：“在原售價的基礎(chǔ)上降低1元即可”，請判斷甲、乙兩人的說法是否正確并指出應(yīng)采取誰的意見．【答案】(1)不正確，理由見解析(2)甲、乙兩人的說法都正確，應(yīng)采取銷售經(jīng)理甲的意見【分析】（1）根據(jù)題意賣出600本得到銷售價格，發(fā)現(xiàn)低于成本則不能獲利，故不正確；（2）據(jù)題意列出一元二次方程，解出結(jié)果后得出結(jié)論．【詳解】（1）解：小宇的說法不正確，理由是：根據(jù)小宇的說法可列方程，解得，∵售價為，∴此時虧本銷售，與題意不符，∴小宇的說法不正確．（2）解：由題意得解得，，∴兩人的說法都正確．∵由于增加銷售量可以減少庫存，∴應(yīng)采取銷售經(jīng)理甲的意見．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，其中根據(jù)題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．基礎(chǔ)?？碱}十五、用一元二次方程解決問題——圖形有關(guān)的問題1．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學(xué)?？计谀┤鐖D，把一塊長為，寬為的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為．設(shè)剪去小正方形的邊長為，則可列方程為（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)剪去小正方形的邊長為，由題意易得該無蓋紙盒的底面長為，寬為，再根據(jù)等量關(guān)系“該無蓋紙盒的底面積為”即可解答．【詳解】解：設(shè)剪去小正方形的邊長為，則由題意可列方程為．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，審清題意、正確找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）如圖，有一塊寬為16m的矩形荒地，某公園計(jì)劃將其分為A、B、C三部分，分別種植不同的植物．若已知A、B地塊為正方形，C地塊的面積比B地塊的面積少40m2，則該矩形荒地的長為．

【答案】【分析】設(shè)B地塊的邊長為xm，根據(jù)“C地塊的面積比B地塊的面積少40m2”列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)B地塊的邊長為xm，根據(jù)題意得：，解得：（不符題意，舍去），∴m，故答案為：26m．【點(diǎn)睛】考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找到題目中的等量關(guān)系，難度不大．3．（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，公園里有兩塊邊長分別為a，b的正方形區(qū)域A、B，其中陰影部分M為雕塑區(qū)，面積為m，其他部分種植花草．

(1)用含a，b，m的代數(shù)式表示種植花草的面積______；(2)若正方形A的一個頂點(diǎn)恰為正方形B的中心，a比b大20，M的面積是A的，求a的值．【答案】(1)(2)60【分析】（1）根據(jù)兩個正方形區(qū)域的面積和雕塑區(qū)的面積之間的關(guān)系求解即可；（2）根據(jù)M的面積是A的列方程求解即可．【詳解】（1）解：種植花草的面積；（2）依題意得，，，．列方程得，，解得，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了列代數(shù)式，一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)．基礎(chǔ)?？碱}十六、一元二次方程的基礎(chǔ)題型匯總（共15道題）1．（2023春·北京房山·八年級統(tǒng)考期末）用配方法解方程，配方后得到的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先移項(xiàng)，再配方，即可得出選項(xiàng)；【詳解】解：，，配方得：，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能正確的配方是解答該題的關(guān)鍵．2．（2023春·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程，若，則此方程必有一個根為（

）A．0 B．1 C．-1 D．±1【答案】B【分析】將代入方程中的左邊，得到，由得到方程左右兩邊相等，即是方程的解．【詳解】將代入方程中的左邊得：，∵，∴是方程的根．即方程的一個根為．故選：B【點(diǎn)睛】題考查了一元二次方程的解的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．掌握方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·河南許昌·九年級許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）對于實(shí)數(shù)a，b，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)新定義得到，再把方程化為一般式，然后根據(jù)根的判別式的意義得到，再解方程即可．【詳解】解：∵，∴，整理得，而關(guān)于x的方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時，方程無實(shí)數(shù)根．4．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）若一元二次方程的兩個根分別為，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得兩根互為相反數(shù)，進(jìn)而得到，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個根分別是與，∴，解得，∴方程的兩根為、，∴，∴，則，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．熟練掌握直接開方法解一元二次方程，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0，是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·浙江杭州·八年級校聯(lián)考期中）已知關(guān)于的方程，，則下列說法正確的是(

)A．不存在的值，使得方程有兩個相等的實(shí)數(shù)解B．至少存在一個的值，使得方程沒有實(shí)數(shù)解C．無論為何值，方程總有一個固定不變的實(shí)數(shù)根D．無論為何值，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：，A．存在k的值，使得方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根；故錯誤，不符合題意；B．無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；故錯誤，不符合題意；C．∵，∴，∴，∴無論k為何值，方程總有一個固定不變的實(shí)數(shù)根，正確，符合題意；D．無論k為何值，方程總有實(shí)數(shù)根；故錯誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）關(guān)于x的一元二次方程的解的解為．【答案】，【分析】利用因式分解法解方程即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．7．（2023秋·江西贛州·九年級統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程的一個根為，則．【答案】【分析】把代入方程得到關(guān)于的一元一次方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·北京平谷·八年級統(tǒng)考期末）公園里有一個邊長為6米的正方形花壇，現(xiàn)在想擴(kuò)大花壇的面積．要使花壇的面積增加28平方米后仍然是正方形，設(shè)邊長延長米，則可列方程為．

【答案】/【分析】設(shè)邊長應(yīng)該延長x米，根據(jù)題意得到改造后花壇的邊長為米，則其面積為平方米，然后根據(jù)正方形的面積為平方米可得到答案．【詳解】解：設(shè)邊長應(yīng)該延長x米，根據(jù)題意，得，整理得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題，解題的關(guān)鍵是能夠找到等量關(guān)系．9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是．【答案】/【分析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，故答