材料力學(xué)：應(yīng)力狀態(tài)

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論概述平面應(yīng)力狀態(tài)的分析

主應(yīng)力空間應(yīng)力狀態(tài)的概念應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系空間應(yīng)力狀態(tài)下的比能強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用2§7-1概述§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)的分析

主應(yīng)力§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的比能§7-6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§7-8各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用32.受力構(gòu)件內(nèi)應(yīng)力特征

一、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài):1.受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處不同方位的截面上應(yīng)力的集合,稱為

一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。（1）構(gòu)件不同截面上的應(yīng)力狀況一般是不同的；（2）構(gòu)件同一截面上不同點(diǎn)處的應(yīng)力狀況一般是不同的；（3）構(gòu)件同一點(diǎn)處，在不同方位截面上應(yīng)力狀況一般是不同的?！?-1概述4FAabcdA二、原始單元體法

1.從受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處切出的單元體，如果各側(cè)面（一般為橫截面）的上的應(yīng)力均為已知，則這樣的單元體稱為原始單元體法。5FAabcdA

A62.單元體特征（1）單元體的尺寸無限小，每個(gè)面上應(yīng)力均勻分布；（2）任意一對(duì)平行平面上的應(yīng)力相等。三、主應(yīng)力和應(yīng)力狀態(tài)的分類從一點(diǎn)處以不同方位截取的諸單元體中，有一個(gè)特殊的單元體，在這個(gè)單元體側(cè)面上只有正應(yīng)力而無切應(yīng)力。這樣的單元體稱為該點(diǎn)處的

主單元體。7主單元體的側(cè)面稱為

主平面（通過該點(diǎn)處所取的諸截面中沒有切應(yīng)力的那個(gè)截面即是該點(diǎn)處的

主平面）主平面上的正應(yīng)力稱為

主應(yīng)力主平面的法線方向叫

主方向，即主應(yīng)力的方向8

說明:一點(diǎn)處必定存在這樣的一個(gè)單元體，三個(gè)相互垂直的面均為主平面，三個(gè)互相垂直的主應(yīng)力分別記為

1

，

2

，

3

且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列，即9（1）單軸應(yīng)力狀態(tài)：只有一個(gè)主應(yīng)力不為零（2）平面應(yīng)力狀態(tài)：有個(gè)二主應(yīng)力不等于零。10（3）空間應(yīng)力狀態(tài)：主單元體上的三個(gè)應(yīng)力均不等于零平面和空間應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)11

梁上取單元體p（a）Dyzt（b）圖（a）為汽包的剖面圖。內(nèi)壁受壓強(qiáng)p的作用。圖（b）給出尺寸。解：包圍內(nèi)壁任一點(diǎn)，沿直徑方向取一單元體，單元體的側(cè)面為橫截面，上，下面為含直徑的縱向截面，前面為內(nèi)表面。包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面（1）橫截面上的應(yīng)力假想地，用一垂直于軸線的平面將汽包分成兩部分，取右邊為研究對(duì)象。n—

n面為橫截面。pnnn(d)nnp(C)nn研究對(duì)象圖（d）研究對(duì)象的剖面圖，其上的外力為壓強(qiáng)p。n(d)nnpF(C)nn研究對(duì)象壓強(qiáng)p的合力為F

。則橫截面上只有正應(yīng)力

。

假設(shè)

正應(yīng)力沿壁厚均勻分布。

n(d)nnp

nnFD

(因?yàn)閠?D,所以ADt)18（2）包含直徑的縱向截面上的應(yīng)力pmmnn1用兩個(gè)橫截面mm,nn從圓筒部分

取出單位長(zhǎng)的圓筒研究。直徑平面由截面法，假想地用直徑平面將取出的單位長(zhǎng)度的圓筒分成兩部分。取下半部分為研究對(duì)象。研究對(duì)象包含直徑的縱向平面

FNFNltpyOR該截面上的應(yīng)力為正應(yīng)力

”，且假設(shè)為均勻分布。包含直徑的縱截面上的內(nèi)力為軸力FN

。R

是外力在y軸上的投影，yORFNFN取圓心角為d

的微元面積，其弧上為ds微元面積上，壓強(qiáng)的合力為d

dsp.1.dsp.1.ds微元面積為dS.1p.1.ds在y

方向的投影為yORFNFNd

p.1.dsds

外力在y

方向的投影為yORFNFNd

p.1.ds

yORFNFNtp1（3）內(nèi)表面的應(yīng)力內(nèi)表面只有壓強(qiáng)p,且為壓應(yīng)力包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面包含直徑的縱向截面橫截面內(nèi)表面=

1=

2=

3=

1=

2=

3單元體為空間應(yīng)力狀態(tài)

，三個(gè)正應(yīng)力為主應(yīng)力。=

1=

2=

3由于內(nèi)壁的壓強(qiáng)

=p

遠(yuǎn)小于

和

，所以可忽略不計(jì)。=

1=

2=

3單元體看作平面應(yīng)力狀態(tài)

1

2從構(gòu)件的扭轉(zhuǎn)和彎曲問題看最大應(yīng)力往往發(fā)生在的外表面。因?yàn)闃?gòu)件的外表面一般為自由表面，即有一主應(yīng)力為零。因而從構(gòu)件表層取出的微分單元體就接近二向應(yīng)力狀態(tài)。這是最有實(shí)際意義的。注意F例：分析滾珠軸承中滾珠與外圈接觸點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。A包圍點(diǎn)A

,以垂直和平行于壓力F

的平面截取單元體。AF單元體三個(gè)互相垂直的面皆為主平面，且三個(gè)主應(yīng)力皆不為零，于是得到三向應(yīng)力狀態(tài)。A

3

1

233xyzbacd平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)的分析

主應(yīng)力單元體上有

x

，

xy

和

y

，

y

。34xyb1.斜截面上的應(yīng)力

nef（1）截面法:

假想地沿斜截面ef

將單元體截分為二,留下左邊部分的單體元ebf

作為研究對(duì)象。efb一、解析法35

：從x

軸到外法線n

逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。正應(yīng)力

：拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。切應(yīng)力

：對(duì)單元體任一點(diǎn)的矩順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，反之為負(fù)。xyb

nefefb36ebf

設(shè)斜截面的面積為dA,eb

的面積為dAcos

，

bf

的面積為dAsin

efb37對(duì)研究對(duì)象列

和t

方向的平衡方程并解之得：（2）平面應(yīng)力狀態(tài)下,任一斜截面(

截面)上的應(yīng)力

?

的計(jì)算公式ebf

t38392.主應(yīng)力和主平面求正應(yīng)力的極值令：40

1

和

2

確定兩個(gè)互相垂直的平面，一個(gè)是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個(gè)是最小正應(yīng)力所在的平面。41正應(yīng)力達(dá)到極值的面上，切應(yīng)力必等于零。此平面為主平面,正應(yīng)力的極值為主應(yīng)力。42由公式求出

0

就可確定主平面的位置。43將

0代入公式得到

max

和

min

(主應(yīng)力）（1）主應(yīng)力}44（2）主平面的位置以

1

代表

max作用面的方位角，

2

代表

min

作用面的方位角。}45（1）若

x

y

，（

1

在

900

范圍內(nèi)取值）則，

1450(2)若

x

y

，則，

1450(3)若

x=y

，則，{

x0，

1=-450

x0，

1=45046應(yīng)力圓畫法47例題：簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知m-n

截面上A

點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa

。確定A點(diǎn)的主應(yīng)力及主平面的方位。mnaA

A

l48解：A

因?yàn)?/p>

x<y

，所以

1=-62.50

與

max

（

1）對(duì)應(yīng)x62.5049

x62.50A}{26-96MPa50例題：圖示單元體，已知

x

=-40MPa，y=60MPa，

xy

=-50MPa。試求ef截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位。

x

y

xy

yx300nef51

x

=-40MPa，

y=60MPa，

x=-50MPa。

=-300(1)求ef截面上的應(yīng)力

x

y

xy

yx300nef52

x

=-40MPa，

y=60MPa，

xy

=-50MPa。

=-300(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位{因?yàn)?/p>

x<y

，所以對(duì)應(yīng)于

1{53

x

y

xy

yx}{-60.780.7

3

154例題：求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位。

55

解：（1）求主平面方位{900-900{56

因?yàn)?/p>

x

=y，且

xy>0，所以{45057

450（2）求主應(yīng)力}

1=，2=0，3=-

1

358三、平面應(yīng)力分析的圖解法1.應(yīng)力圓的概念59作

—

直角坐標(biāo)系0

60當(dāng)斜截面隨方位角

變化時(shí),其上的應(yīng)力

，

在

-

直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個(gè)圓。圓心位于橫坐標(biāo)軸(

軸)上，離原點(diǎn)的距離為61半徑為此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓

,或稱為莫爾圓62

oC632.應(yīng)力圓作法64（1）在

-

坐標(biāo)系內(nèi),

選定比例尺o

65o

D1

xyB1

x（2）量取OB1=xB1D1=xy得D1點(diǎn)。66o

D2

yxD1

xB1

x（3）量取OB2=yB2D2=

yx得D2點(diǎn)

yB267o

D2

yxD1

xB1

x

yB2（4）連接D1D2兩點(diǎn)的直線與

軸相交于C

點(diǎn),68o

D2

yxD1

xB1

x

yB2以C

為圓心,CD1

或CD2為半徑作圓

69該圓的圓心C點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

o

D2

yxD1

xy

x

yB2CB170o

D2

yxD1

xy

x

yB2CB1半徑為該圓就是相應(yīng)于該單元體應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓。71因而D1點(diǎn)代表單元體

x平面（即橫截面）上的應(yīng)力。D1點(diǎn)的坐標(biāo)為(

x,x

)o

D2

yx

x

yB2CB1

xyD1(

x,x)723.利用應(yīng)力圓求單元體上任一

截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑

CD1

按方位角

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動(dòng)

2

,得到半徑

CE。ef

2Eo

D2

yxB2CB1

xyD1(

x,x)73ef

2Eo

D2

yxB2CB1

xyD1(

x,x)圓周上E點(diǎn)的?坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力

，切應(yīng)力

。（證明略）74（1）點(diǎn)面之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：?jiǎn)卧w某一面上的應(yīng)力，必對(duì)

應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點(diǎn)的坐標(biāo)。說明（2）夾角關(guān)系：圓周上任意兩點(diǎn)所引半徑的夾角等于單元體上對(duì)應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。752

AB

oc764.利用應(yīng)力圓求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置（1）主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和A2兩點(diǎn)為與主平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)

為主應(yīng)力

1

，

2。o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

77o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

78o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

79o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

80（2）主平面方位由

CD1

順時(shí)針轉(zhuǎn)2

0

到CA1。所以單元體上從x

軸順時(shí)針轉(zhuǎn)

0（負(fù)值）即到

1對(duì)應(yīng)的主平面的外法線。

0確定后，

1

對(duì)應(yīng)的主平面方位即確定。o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)81o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)82o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0由此可定出主應(yīng)力

1

所在平面的位置。由于A1，A2為應(yīng)力圓的直徑，則

2

所在的另一主平面與

1

所在的主平面垂直。(

x,x)83o

D2

yxD1

xyB1

x

yB2CA1A2

1

2

2

0(

x,x)84例題：從水壩體內(nèi)某點(diǎn)處取出的單元體如圖所示,

x=-1MPa,

y=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,

（1）繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓（2）確定此單元體在=30°和=-40°兩斜面上的應(yīng)力。x解：85

oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C解:(1)畫應(yīng)力圓OB2=y=-0.4MPa和B2D2=yx

=0.2MPa,定出D2點(diǎn).

OB1=x=-1MPa,B1D1=xy=-0.2MPa,定出D1點(diǎn);以D1D2為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。86

o將半徑CD1逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)2=60°到半徑CE,E點(diǎn)的坐標(biāo)就代表=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定

=30°斜截面上的應(yīng)力B1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)CE87

oB1D1(-1,-0.2)D2(-0.4,0.2)C(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑CD1順時(shí)針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F點(diǎn)的坐標(biāo)就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F88xy89例題：兩端簡(jiǎn)支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出C左截面上a,b兩點(diǎn)處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點(diǎn)處的主應(yīng)力。12015152709zab250kN1.6m2mABC90+200kN50kN+80kN.m解:

首先計(jì)算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax=MC=80kN.mFs，max=Fs，C左

=200kN250kN1.6m2mABC911201515270a9z92橫截面C左上a

點(diǎn)的應(yīng)力為12015152709za93a94由

x，

xy定出

D1點(diǎn)由

y，

yx定出D2點(diǎn)以D1D2為直徑作應(yīng)力圓。o

C(122.5,64.6)(0,-64.6)95o

A1，A2兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別代表a

點(diǎn)的兩個(gè)主應(yīng)力C(122.5,64.6)(0,-64.6)A1A296o

C(122.5,64.6)(0,-64.6)A1A2A1

點(diǎn)對(duì)應(yīng)于單圓體上

1

所在的主平面。9798bb點(diǎn)的單元體如圖所示。12015152709zb99

bB

點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力為100

1

所在的主平面就是x平面,即梁的橫截面C

。b101a解析法求a

點(diǎn)的主平面和主應(yīng)力

0=因?yàn)?/p>

x>y

，所以

1=-22.50102a150-27=103例題：?jiǎn)卧w應(yīng)力狀態(tài)如圖。用解析法求：主應(yīng)力，并在單元體中畫出主應(yīng)力方向。5020

解：=57-7104因?yàn)?/p>

x

y，所以5020105xyzo前面右側(cè)面上面一、空間應(yīng)力狀態(tài)的概念y,z

平面的定義類似。X平面：法線與X

軸平行的平面?！?-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念106xyzo第一下標(biāo)第二下標(biāo)

xy表示x

平面上，沿y方向的切應(yīng)力。第一下標(biāo)表示切應(yīng)力所在的平面。第二下標(biāo)表示切應(yīng)力的方向。107因而獨(dú)立的應(yīng)力分量是6個(gè)根據(jù)切應(yīng)力互等定理，在數(shù)值上有xyzo108利用應(yīng)力圓確定該點(diǎn)的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。已知：受力物體內(nèi)某一點(diǎn)處三個(gè)主應(yīng)力

1、

2、

3

。二、空間應(yīng)力狀態(tài)分析109首先研究與其中一個(gè)主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力。例如：與主應(yīng)力

3所在的平面垂直的斜截面110用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對(duì)象。111主應(yīng)力

3

所在的兩平面上是一對(duì)自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力

,

與

3

無關(guān),只由主應(yīng)力

1,

2

決定。與

3

垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,

2

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。112

113與

3

垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,

2

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。

1

1

2

2

114

1

1

2

2115116該應(yīng)力圓周上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于與

3

垂直的所有斜截面上的應(yīng)力。

117與主應(yīng)力

2

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

1,

3

作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。118與主應(yīng)力

１

所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

2,3作出的應(yīng)力圓上的點(diǎn)來表示。119該截面上應(yīng)力

和

對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)必位于上述三個(gè)應(yīng)力圓所圍成

的陰影內(nèi)。abc

截面表示與三個(gè)主平面斜交的任意斜截面abc120結(jié)論三個(gè)應(yīng)力圓周上的點(diǎn)及由它們圍成的陰影部分上的點(diǎn)的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力。D121122該點(diǎn)處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點(diǎn)的橫坐標(biāo)

1A123A最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓上B

點(diǎn)的縱坐標(biāo)。B124AB最大切應(yīng)力所在的截面與

2所在的主平面垂直，并與

1和

3所在的主平面成450角。125上述兩

公式同樣適用于平面應(yīng)力狀態(tài)或單軸應(yīng)力狀態(tài)，

只需將具體問題的主應(yīng)力求出，并按代數(shù)值

1

2

3

的順序排列。126例題：?jiǎn)卧w的應(yīng)力如圖所示

,作應(yīng)力圓,并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力值及其作用面方位。127因此與該主平面正交的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力

z

無關(guān),依據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出應(yīng)力圓.

求另外兩個(gè)主應(yīng)力。解:

該單元體有一個(gè)已知主應(yīng)力128

o

A1A246MP-26MP量得另外兩個(gè)主應(yīng)力為c129該單元體的三個(gè)主應(yīng)力按其代數(shù)值的大小順序排列為

o

A1A2c130

ocA1A2B根據(jù)上述主應(yīng)力，作出三個(gè)應(yīng)力圓。131例題:已知某結(jié)構(gòu)物中一點(diǎn)處為平面應(yīng)力狀態(tài),

x

=-180MPa,y=-90MPa,x

=y=0,

試求此點(diǎn)處的最大切應(yīng)力。

3=x

=-180MPa解:

主應(yīng)力

2=y=-90MPa

1=z=0132例題：用圖解法求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位。

133

o

1

3900D1D2A1A2450

1

3134§7-4應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系一、各向同性材料的廣義胡克定律三個(gè)正應(yīng)力分量:

拉應(yīng)力為正壓應(yīng)力為負(fù)1.符號(hào)規(guī)定xyzo135三個(gè)切應(yīng)力分量:

若正面(外法線與坐標(biāo)軸正向一致的平面),切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸正向一致,或負(fù)面(外法線與坐標(biāo)軸負(fù)向一致的平面)上切應(yīng)力矢的指向與坐標(biāo)軸負(fù)向一致,則該切應(yīng)力為正,反之為負(fù)。xyzo136

線應(yīng)變:以伸長(zhǎng)為正,縮短為負(fù)；切應(yīng)變:使直角減者為正,增大者為負(fù)；用疊加原理，分別計(jì)算出

x

,

y

,

z

分別單獨(dú)存在時(shí),x

（y，z）方向的線應(yīng)變

x

（

y，

z），然后代數(shù)相加。2.各向同性材料的廣義胡克定律137

x

單獨(dú)存在時(shí)

y

單獨(dú)存在時(shí)

Z單獨(dú)存在時(shí)一、x

方向的線應(yīng)變yZyZyZ138在

x

y

z同時(shí)存在時(shí),x方向的線應(yīng)變x為在

x

y

z同時(shí)存在時(shí),y,z方向的線應(yīng)變?yōu)?39二、廣義胡克定律140

平面應(yīng)力狀態(tài)下(假設(shè)

Z=0,xz=0,yz=0)xyz

xy

x

y

x

y

xy141廣義虎克定律（已知

1，2，3）

1

，

2

，

3

為主應(yīng)變。在線彈性范圍內(nèi)，任一點(diǎn)處的主應(yīng)力指向與主應(yīng)變方向是一致的。142平面應(yīng)力狀態(tài)下,設(shè)

3=0143例題：已知一受力構(gòu)件自由表面上的兩個(gè)主應(yīng)變數(shù)值為。構(gòu)件材料為Q235鋼，其彈性模量E=210GPa，泊松比ν=0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值，并求該點(diǎn)處另一主應(yīng)變

2的數(shù)值和方向。解；一、一對(duì)應(yīng)。由于構(gòu)件自由表面，所以主應(yīng)力

2=0。該點(diǎn)為平面應(yīng)力狀態(tài)。144該點(diǎn)處另一主應(yīng)變

2的數(shù)值為145三、各向同性材料的體應(yīng)變

1

2

3a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體應(yīng)變用θ

表示。各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變146

1

2

3a1a2a3單元體的三對(duì)平面為主平面三個(gè)邊長(zhǎng)為a1,a2,a3變形后的邊長(zhǎng)分別為

a1(1+

,a2(1+

2,a3(1+

3

變形后單元體的體積為147體應(yīng)變?yōu)?48體應(yīng)變?yōu)?49在平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)下：材料的體積應(yīng)變等于零。即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。150假設(shè)一單元體承受三向等值應(yīng)力，它的三個(gè)主應(yīng)力為

m

m

m單元體的體應(yīng)變是151

m

m

m

1

2

3a1a2a3152

m

m

m

1

2

3a1a2a3這兩個(gè)單元體的體積應(yīng)變相同153

m

m

m圖式單元體的三個(gè)主應(yīng)變?yōu)?54

m

m

m如果變形前單元體的三個(gè)棱邊成某種比例，由于三個(gè)棱邊應(yīng)變相同，則變形后的三個(gè)棱邊的長(zhǎng)度仍保持這種比例。155

m

m

m

在三向等值應(yīng)力

m

的作用下，單元體變形后的形狀和變形前的相似。稱這樣的單元體是形狀不變的。156在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性材料內(nèi)一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與通過該點(diǎn)的任意三個(gè)相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比，而與切應(yīng)力無關(guān)。在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體應(yīng)變只與三個(gè)線應(yīng)變

x

，

y，

z

有關(guān)。仿照上述推導(dǎo)有157例題:

邊長(zhǎng)a=0.1m的銅立方塊,無間隙地放入體積較大,

變形可略去不計(jì)的鋼凹槽中,如圖a

所示。已知銅的彈性模量E=100GPa,泊松比

=0.34,當(dāng)受到

F=300kN的均布?jí)毫ψ饔脮r(shí),求該銅塊的主應(yīng)力。體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。158解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為(a)aaaF159變形條件為Zyx

z

x

y160解得銅塊的主應(yīng)力為161體應(yīng)變和最大切應(yīng)力分別為162例題：一直徑d=20mm的實(shí)心圓軸，在軸的的兩端加轉(zhuǎn)矩m=126N.m。在軸的表面上某一點(diǎn)A處用變形儀測(cè)出與軸線成-450方向的應(yīng)變

=5.010-4。試求此圓軸材料的剪切彈性模量G。mmA450x163mmA450x解：包圍A點(diǎn)取一單元體A164mmA450xA165mmA450xA166Dtmk例題：壁厚t=10mm,外徑D=60mm的薄壁圓筒,在表面上k點(diǎn)處與其軸線成45°和135°角即x,y兩方向分別貼上應(yīng)變片,然后在圓筒兩端作用矩為m的扭轉(zhuǎn)力偶,如圖所示，已知圓筒材料的彈性常數(shù)為E=200GPa和

=0.3,若該圓筒的變形在彈性范圍內(nèi),且

max=80MPa,試求k點(diǎn)處的線應(yīng)變

x,

y以及變形后的筒壁厚度。xy167Dtmkxy解:從圓筒表面k點(diǎn)處取出單元體,其各面上的應(yīng)力分量如圖所示xyk

2=0450=

y=

x=

z該為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，所以168Dtmkxyxyk450

y=80

x=-80

z=0K

點(diǎn)處的線應(yīng)變

x,

y

為=-5.210-4（壓應(yīng)變）169Dtmkxyxyk450

y=80

x=-80

z=0=5.210-4（拉應(yīng)變）170圓筒表面上k點(diǎn)處沿徑向

(z軸

)的應(yīng)變?yōu)镈tmkxyxyk450=0

y=80

x=-80

z=0171同理可得圓筒中任一點(diǎn)(該點(diǎn)到圓筒橫截面中心的距離為

)處的徑向應(yīng)變?yōu)橐虼?該圓筒變形后的厚度并無變化,仍然為t=10mm.Dtmkxyxyk450172bhzb=50mmh=100mm例題：已知矩形外伸梁受力P1，P2作用。彈性模量E=200GPa，泊松比ν=0.3,P1=100KN，P2=100KN。求：（1）A點(diǎn)處的主應(yīng)變

1，

2，3（2）A點(diǎn)處的線應(yīng)變

x，

y，zxyzaA173bhzb=50mmh=100mmxyzaA解：梁為拉伸