專(zhuān)題31數(shù)列第七緝（解析版）-備戰(zhàn)2025年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類(lèi)匯編

1/3備戰(zhàn)2025年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題31數(shù)列第七緝1．【2024年內(nèi)蒙古預(yù)賽】已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列ak的前k項(xiàng)和為SkN+),其中a(1)求數(shù)列ak(2)對(duì)任意給定的正整數(shù)nn≥2,數(shù)列bk滿足：【答案】(1)ak=【解析】(1)當(dāng)k=1時(shí),由a1=s當(dāng)k≥2時(shí),由a因?yàn)閍k≠0,所以故ak所以ak綜上所述ak(2)因?yàn)閍k=k,所以所以bk所以b=12．【2024年福建預(yù)賽】已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=2an-2(n∈Z+).（1）求通項(xiàng)公式an；（2）設(shè)bn=1an?1n(n+1)，Tn為數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和，求正整數(shù)k，使得對(duì)任意的（3）設(shè)cn=an+1(1+an)(1+an+1)，Rn為數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意的n【答案】(1)an=2n.(2)k=4.(3)2【解析】（1）由Sn=2an-2，得5n+1=2n+1-2.兩式相減得an+1=2an+1-2an?an+1=2an.于是，{an}為等比數(shù)列，公比q=2.由S1=2a1-2?a1=2al-2?a1=2.從而，an=2n.（2）由（1）知bn計(jì)算知b1=0，b2>0，b3>0，b4>0.當(dāng)n≥5時(shí)，由n(n+1)2知當(dāng)n≥5時(shí)，{n(n+1)于是，n≥5時(shí)，n(n+1)則n≥5時(shí)，b故T1<T2<T3<T4，T4>T5>….從而，對(duì)任意的n∈Z+，均有T4≥Tn.因此，k=4.（3）由（1）知c?又對(duì)任意的n∈Z+，均有Rn<λ，知A≥23從而，λ的最小值為233．【2024年山東預(yù)賽】已知數(shù)列{xn}滿足x【答案】672【解析】由歸納知{xn?x類(lèi)似地，xn+2兩式相減得x??x于是，xn從而，x1,x2,?,設(shè)x2ka1a2k其中，k∈Z則xn、x4．【2024年安徽預(yù)賽】已知數(shù)列{an}滿足a【答案】a【解析】由a0=2當(dāng)n≥2時(shí)，假設(shè)an?2由遞推公式有a=4×2因此，an5．【2024年全國(guó)】設(shè)p與p+2均為素?cái)?shù)，p>3.定義數(shù)列{an}：a1=【答案】見(jiàn)解析【解析】首先注意，{a對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=3時(shí)，由條件知a2因?yàn)閜與p+2均為素?cái)?shù)，且p>3，所以3p+1因此，3pa2當(dāng)3<n≤p?1時(shí)，設(shè)對(duì)k=3,?,n?1，均有kppa故pa從而，對(duì)3<n≤p?1，有pa?pa又Cp+nnp+np+2因?yàn)閚<p（p為素?cái)?shù)），所以，n,n+p=又p+2為大于n的素?cái)?shù)，故p+np+2=1，從而，n與于是，由式①知np由數(shù)學(xué)歸納法知本題得證.6．【2024年浙江預(yù)賽】給定數(shù)列xn。證明：存在唯一分解xn=yn?z【答案】見(jiàn)解析【解析】用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)n=1時(shí)，y1z1?z0=y1z1假設(shè)當(dāng)n=kk≥1時(shí)，命題成立.則當(dāng)n=k+1時(shí)，題設(shè)等價(jià)于yk+1?zk+1?zk=xk+1由數(shù)學(xué)歸納法，知對(duì)于任意的自然數(shù)n，命題均成立.7．【2024年上海預(yù)賽】已知數(shù)列an滿足an+1=?12an【答案】見(jiàn)解析【解析】依題意得an+1于是，en+1an+1=??a若a1?25≠0又25?2當(dāng)a1=28．【2024年四川預(yù)賽】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=（1）求數(shù)列anbn（2）若對(duì)于任意的正整數(shù)n，均有1+b【答案】（1）Tn=【解析】（1）由條件易知a1代入a2于是，S則anan故T?2T以上兩式相減得??從而，數(shù)列anb（2）注意到，k≤1構(gòu)造fn則fn+1于是，數(shù)列fn從而，fn的最小值為f1=9．【2024年遼寧預(yù)賽】已知數(shù)列an滿足a0=1k,an=【答案】見(jiàn)解析【解析】當(dāng)k=1,即a0=1時(shí),由數(shù)學(xué)歸納法知a當(dāng)k=2時(shí),由an顯然,an故a?a當(dāng)916n+1<132由a???k?2+?因此,當(dāng)k≥3時(shí),有a10．【2024年江蘇預(yù)賽】在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，這樣的操作稱(chēng)為該數(shù)列的一次“Z擴(kuò)展”．已知數(shù)列1，2，3第一次Z擴(kuò)展后得到數(shù)列1，3，2，5，3；第二次Z擴(kuò)展后得到數(shù)列1，4，3，5，2，7，5，8，3；……設(shè)第n次Z擴(kuò)展后所得數(shù)列1，x1，x2，…，（1）求a1（2）若bn=an?2【答案】a【解析】設(shè)x0則an+1由a1=1+3+2+5+3=14，得于是，bn+1又b1=12≠0，故bn從而，an11．【2024年江蘇預(yù)賽】設(shè)數(shù)列an滿足a是否存在正整數(shù)n，使得22016an【答案】3×【解析】存在無(wú)窮多個(gè)正數(shù)n，使得22016an若2am，則記因此，v2mn=若v2m≠由an=3a因此，當(dāng)3?n時(shí)，v2令n=3kk≥1．顯然，?=20≤i≤又2i+1C故v2a3k=2016當(dāng)且僅當(dāng)因此，22016an當(dāng)且僅當(dāng)n=3×綜上，最小的正整數(shù)n為3×212．【2024年湖北預(yù)賽】已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f1=103，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y，恒有fx（1）求數(shù)列an（2）令bn=24an【答案】（1）an【解析】（1）在式①中，令x＝1，y＝0，得f1又f1=10在在式①中，令x＝n，y＝1，得f?f?=9f=33f由a?a（2）由（1）知bn容易證明：對(duì)一切k∈Z3k故b≤?≤2=2=1?213．【2024年河南預(yù)賽】定義數(shù)列an證明：（1）an（2）2a【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）定義a0則當(dāng)n≥1時(shí)，an兩式相減并整理得an+2故an+2由此遞推式及a1=1，（2）當(dāng)n≥1時(shí)，0=a因此，2a故命題得證.14．【2024年甘肅預(yù)賽】設(shè)數(shù)列{an}n∈Z（1）求數(shù)列{a（2）求c1=0，且對(duì)任意的正整數(shù)n，均有cn+1?c【答案】（1）an【解析】（1）易知Sn當(dāng)n≥2時(shí)，an又S1（2）又注意到，cn+1當(dāng)n≥2時(shí)，c=?==1=3又1c15．【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第02試）】設(shè)實(shí)數(shù)a1,a2,?,求a1【答案】1【解析】令p=a由已知得，對(duì)i=1，2，…，2015，均有ai若a2016?a以下考慮a2016?a由平均不等式得P=?=1所以P?1當(dāng)a1且有9ai>11綜上所述，所求最大值為1416．【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第02試）】設(shè)p與p+2均是素?cái)?shù)，p>3.數(shù)列{an}定義為a1=2，an=an?1+pa證明:對(duì)n=3，4，…，p－1均有n|pa【答案】證明見(jiàn)解析【解析】首先注意，{an}是整數(shù)數(shù)列.對(duì)n用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=3時(shí)，由條件知a2=2+p，故pa2+1=(p+1)2.因?yàn)閜因此3|pa2+1對(duì)3<n≤p－1，設(shè)對(duì)k=3，…，n－1成立k|pa此時(shí)pa故pa故對(duì)3<n≤p1，有pa=?=p+n?1因此pa由此知(注意Cn+pn|(p+n)(p+2)pan?1+1因?yàn)閚<p，p是素?cái)?shù)，故(n,n+p)=(n,p)=1，又p+2是大于n的素?cái)?shù)，故(n，p+2)=1，從而n與(p+n)(p+2)互素，故由①知n|pa由數(shù)學(xué)歸納法知，本題得證.17．【2015年浙江預(yù)賽】已知數(shù)列an、bn滿足【答案】見(jiàn)解析【解析】由題意得an+1則a=>≥4+4×49=200.又an+1a>98+a故a50因此，a5018．【2015年浙江預(yù)賽】已知數(shù)列an滿足a（1）證明：an（2）是否存在m∈Z+，使得【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）不存在【解析】（1）由an+1an+12類(lèi)似地，an+12由式①、②，知an、an+2為方程故an因?yàn)閍1=1，（2）不存在m∈Z+，使得假設(shè)存在m∈Z+，使得2015a一方面，am于是，am+1由費(fèi)馬小定理知230所以，am+1另一方面，am+1,31=1.否則，31am+1因此，由費(fèi)馬小定理得am+1從而，1≡?1mod綜上，不存在m∈Z+，使得19．【2015年浙江預(yù)賽】設(shè)k為正整數(shù).若數(shù)字1,2,???,3k+1構(gòu)成的排列x1（1）x1（2）xk+1（3）x2k+1則稱(chēng)此排列為“N型”的.記dk（1）求d1（2）證明：對(duì)任意正整數(shù)k，【答案】（1）d1【解析】注意到，xk+1的值只能取3k+1，3k，…，2k+1這些數(shù)字，這是因?yàn)楸仨氂?k個(gè)值比它??；而x2k+1的值只能取記xk+1=3k+2?j，x2k+1則dk（1）計(jì)算得d1（2）易知dkdki,i=當(dāng)k>1時(shí)，對(duì)于所有i=1,2事實(shí)上，對(duì)于x2k+1=i，xk+1=3k+2?ii=3k+2?i?1，3k+2?i?2，…，3k+2?1只能放在x3k+2?i?1，x3k+2?i?2，…，故dk20．【2015年上海預(yù)賽】設(shè)n∈Z+,A={a1（1）若n≥3，由數(shù)列A定義另一個(gè)數(shù)列A'={a1',a2'（2）求使得a1+a【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）數(shù)列A={1,1當(dāng)n為3的倍數(shù)時(shí)，數(shù)列A還有如下三個(gè)解：A={0,1A={0,0A={1,0（2）設(shè)xn、yn、zn、un分別表示a1類(lèi)似地，ynzn由1+i=x1?in知yn又yn+u注意到，1+i?1+i21+i31+i41+i=?41+i則1+i其中，k=1,2故A21．【2015年上海預(yù)賽】已知數(shù)列{an}滿足a1=（1）若某一項(xiàng)amm≥4為奇數(shù)，且不為3的倍數(shù)，證明：（2）證明：n=12013（3）若在{a【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）1343【解析】（1）由am不為偶數(shù)，知am于是，am假如am?1=2a從而，只能是am?1故am（2）由遞推關(guān)系，易知數(shù)列{a因此，當(dāng)n≥3時(shí)，2a從而，an≥a由此，an?2故n=1≤=（3）一方面，數(shù)列{a事實(shí)上，假如am、am?1、因此，在a3再考慮到a1=1為奇數(shù)，a2=2為偶數(shù)，故至多有另一方面，當(dāng)數(shù)列{an}總滿足an=an?1+an?2n≥3時(shí)，注意到，a綜上，t的最大值1343.22．【2015年新疆預(yù)賽】已知數(shù)列{an}滿足an+1+?1n【答案】S【解析】當(dāng)n=2k?1,2a2k?a2k+1+a2k+2?②-①、②+③分別得a2k?1以上兩式相加得a2k?1故S=k=1令bkS4n又因?yàn)閧b2k?1}是以b23．【2015年天津預(yù)賽】設(shè)a1證明：（1）存在常數(shù)C>0，使得對(duì)任意正整數(shù)n，有an（2）對(duì)任意正整數(shù)n，有an+1【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）記bn=abn+1下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，有bn當(dāng)n=1,2時(shí)，b設(shè)bk≤2k=結(jié)論成立.于是，取C=2，對(duì)任意正整數(shù)n，有an（2）由（1）得n+1=?n?1記cn=b于是，對(duì)任意的正整數(shù)n，c=?1因此，當(dāng)n>1時(shí)，a==≤1+2n+1又當(dāng)n=1時(shí)，a2故對(duì)任意的正整數(shù)n，有an+124．【2015年四川預(yù)賽】已知數(shù)列an滿足a1、a2+1、（1）a1（2）數(shù)列an【答案】（1）a1=?1【解析】（1）由a1、a2對(duì)Sna1=a1+聯(lián)立式①、②、③解得a1（2）當(dāng)n≥2時(shí)，由SnSn?1知an于是，當(dāng)n≥2時(shí)，有an又a1=?1也滿足故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a25．【2015年陜西預(yù)賽】設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且（1）求數(shù)列an（2）在an與an+1之間插入n個(gè)實(shí)數(shù)，使這n+2個(gè)數(shù)依次組成公差為dn的等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列1dn【答案】（1）an【解析】（1）因?yàn)閍n+1=2S兩式相減得an+1而an為等比數(shù)列，則對(duì)任意n∈Z+又由a2=2a故an（2）由題設(shè)得an+1?1則Tn故13以上兩式相減得：23從而，Tn26．【2015年陜西預(yù)賽】設(shè)x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù).已知ak=i=【答案】見(jiàn)解析【解析】先證明：對(duì)任意的x∈R，有：x+x+事實(shí)上，當(dāng)0≤x?x<1則x+當(dāng)12≤x?x則x+再證明：對(duì)任意的k∈Z+，有2事實(shí)上，ak的表達(dá)式共有2k+1項(xiàng)，將其按前k項(xiàng)與后k+1項(xiàng)分成兩部分和，記作ak=由1k+11k+1知2k+1由式②得k<2ak又由式①得：1a故k=1n27．【2015年山東預(yù)賽】已知數(shù)列an滿足a(1)證明:當(dāng)n≥2時(shí),an(2)當(dāng)n≥4時(shí),求a9【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】(1)等式an+1=a當(dāng)n=2時(shí),a2=2,假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即ak則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1由數(shù)學(xué)歸納法,知結(jié)論成立.(2)由(1)知當(dāng)n≥2時(shí),a9當(dāng)n≥4時(shí),1an+13故a<1+3n+3k=1<1+3n+3+1<1+3n++4+n由此得當(dāng)n≥4時(shí),an<27n?3n<a28．【2015年遼寧預(yù)賽】在數(shù)列an中,a1=1,關(guān)于x(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(3)設(shè)cn=n2【答案】（1）an=【解析】(1)設(shè)fx則fx由關(guān)于x的方程x2?有唯一解,知x=0是方程①的唯一解于是,an+1又an+1(2)由(1)知bn=1+c則S記S=i=1n故2S=i=1n②-①得S=n2?2S=2n2④-③得S=n故Sn29．【2015年江西預(yù)賽】正整數(shù)數(shù)列an滿足a【答案】見(jiàn)解析【解析】改寫(xiě)條件為an+1據(jù)此迭代得an+1故an因此，當(dāng)k＜n時(shí)，a30．【2015年江蘇預(yù)賽】設(shè)等比數(shù)列a1,a（1）寫(xiě)出一組a1、a（2）當(dāng)k≥4時(shí)，證明：cn【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）a1=4、（2）設(shè)an=a假設(shè)cn則由2cn+1=當(dāng)k≥4時(shí)，n可取1、2.故app?1解得p=q.于是，當(dāng)p=q≠1時(shí)，則a=b,從而，c1當(dāng)p=q=1時(shí)，則c1又?jǐn)?shù)列cn因此，命題成立.31．【2015年湖南預(yù)賽】已知數(shù)列an、bn滿足an+1=an+1，b【答案】見(jiàn)解析【解析】由題設(shè)，知函數(shù)fkx的判別式不妨設(shè)Δ又Δk+1?Δ又由題意，知?ak±m(xù)又ak+2m+1故fk+2m+1x=由正整數(shù)m的任意性，知有無(wú)窮多個(gè)fn32．【2015年湖北預(yù)賽】設(shè)Tn為數(shù)列an的前n（1）求數(shù)列an（2）設(shè)Sn=T【答案】（1）an【解析】（1）易知，T1由T?a?1?1?a（2）由（1）得TnSn另一方面，Sn故an+133．【2015年河南預(yù)賽】數(shù)列an、bn【答