第06講比例線段（5種題型）

第06講比例線段（5種題型）【知識(shí)梳理】一．相似圖形（1）相似圖形我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形．（2）相似圖形在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用非常廣泛，對(duì)于相似圖形，應(yīng)注意：①相似圖形的形狀必須完全相同；②相似圖形的大小不一定相同；③兩個(gè)物體形狀相同、大小相同時(shí)它們是全等的，全等是相似的一種特殊情況．（3）相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形．二．比例的性質(zhì)（1）比例的基本性質(zhì)：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)．兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)．（2）常用的性質(zhì)有：①內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積．若＝，則ad＝bc．②合比性質(zhì)．若＝，則＝．③分比性質(zhì)．若＝，則＝．④合分比性質(zhì)．若＝，則＝．⑤等比性質(zhì)．若＝＝…＝（b+d+…+n≠0），則＝．三．比例線段（1）對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如ab＝cd（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．（2）判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時(shí)，要先統(tǒng)一線段的長(zhǎng)度單位，最后的結(jié)果與所選取的單位無關(guān)系．四．黃金分割（1）黃金分割的定義：如圖所示，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC＝AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC＝AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．（2）黃金三角形：黃金三角形是一個(gè)等腰三角形，其腰與底的長(zhǎng)度比為黃金比值．黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個(gè)底角為72°，頂角為36°．這樣的三角形的底與一腰之長(zhǎng)之比為黃金比：；②等腰三角形，兩個(gè)底角為36°，頂角為108°；這種三角形一腰與底邊之長(zhǎng)之比為黃金比：．（3）黃金矩形：黃金矩形的寬與長(zhǎng)之比確切值為．五．平行線分線段成比例（1）定理1：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．（2）推論1：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．（3）推論2：平行于三角形的一邊，并且和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例．【考點(diǎn)剖析】一．相似圖形（共2小題）1．（2022秋?埇橋區(qū)期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．任意兩個(gè)正方形 B．任意兩個(gè)平行四邊形 C．任意兩個(gè)菱形 D．任意兩個(gè)矩形【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；B、任意兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，對(duì)應(yīng)角也不一定相等，故不一定相似，不符合題意；C、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋?泗縣期中）下列各組圖形中，一定相似的是（）A．兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)菱形 C．兩個(gè)等腰三角形 D．兩個(gè)正方形【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：A、任意兩個(gè)矩形對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故不一定相似，不符合題意，B、任意兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；C、任意兩個(gè)等腰三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、任意兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比也相等，故一定相似，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似圖形的概念，掌握對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等的多邊形，叫做相似多邊形是解題的關(guān)鍵．二．比例的性質(zhì)（共8小題）3．（2023?無為市一模）若3a＝4b（ab≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出正確選項(xiàng)．【解答】解：∵3a＝4b（ab≠0），∴a：4＝b：3，∴，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，熟記比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2022秋?蒙城縣期末）已知，求的值．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)化簡(jiǎn)得y＝2x，即可得出答案．【解答】解：由，得3y＝2（2y﹣x），化簡(jiǎn)，得y＝2x，∴．【點(diǎn)評(píng)】本題考查比例的性質(zhì)，正確變形是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋?寧國市期末）已知：，求的值．【分析】直接利用已知設(shè)x＝2a，y＝3a，z＝4a，進(jìn)而代入得出答案．【解答】解：∵，∴設(shè)x＝2a，y＝3a，z＝4a，∴＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確用同一未知數(shù)表示出各數(shù)是解題關(guān)鍵．6．（2023?合肥一模）若，那么的值等于（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】把化成1﹣＝，即可求出的值．【解答】解：∵，∴1﹣＝，∴＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的運(yùn)算，掌握分式的運(yùn)算法則是關(guān)鍵．7．（2022秋?安徽期中）若＝，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用比例的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵＝，∴＝，∴＝2+＝2+＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2022秋?迎江區(qū)期中）已知線段a、b、c滿足，且a+2b+c＝26．（1）求a、b、c的值；（2）若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，求x．【分析】（1）設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求解得到k，然后求解即可；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)＝＝＝k，則a＝3k，b＝2k，c＝6k，所以，3k+2×2k+6k＝26，解得k＝2，所以，a＝3×2＝6，b＝2×2＝4，c＝6×2＝12；（2）∵線段x是線段a、b的比例中項(xiàng)，∴x2＝ab＝6×4＝24，∴線段x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，比例線段，利用“設(shè)k法”用k表示出a、b、c可以使計(jì)算更加簡(jiǎn)便．9．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知＝＝＝2，且b+d+f≠0．（1）求的值；（2）若b﹣2d+3f＝5，求a﹣2c+3e的值．【分析】（1）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用等比性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）∵＝＝＝2，且b+d+f≠0，∴＝2，∴的值為2；（2）∵＝＝＝2，∴＝＝＝2，∴＝2，∵b﹣2d+3f＝5，∴a﹣2c+3e＝2×5＝10，∴a﹣2c+3e的值為10．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握等比性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?宣州區(qū)期末）（1）若，求的值；（2）若，且2a﹣b+3c＝21，求a：b：c．【分析】（1）設(shè)比值為k，然后用k表示出x、y、z，再代入代數(shù)式即可解答；（2）設(shè)比值為k，然后用k表示出a、b、c，再代入等式求出k值，然后相比即可．【解答】解：（1）設(shè)，∴x＝3k，y＝5k，z＝7k，∴＝5；（2）設(shè)＝k，則a＝3k﹣2，b＝4k，c＝6k﹣5，所以，2（3k﹣2）﹣4k+3（6k﹣5）＝21，解得k＝2，所以a＝6﹣2＝4，b＝8，c＝7，所以a：b：c＝4：8：7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設(shè)k法”表示出a、b、c是解決本題的關(guān)鍵．三．比例線段（共7小題）11．（2023?廬陽區(qū)校級(jí)一模）已知線段a＝9，b＝4，則線段a和b的比例中項(xiàng)為6．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的概念，當(dāng)兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相同時(shí)，就叫比例中項(xiàng)，再列出比例式即可得出結(jié)果．【解答】解：設(shè)線段a和b的比例中項(xiàng)為c，∵a＝9，b＝4，∴＝，∴c2＝ab＝4×9＝36，解得：c＝±6，又∵線段不能是負(fù)數(shù)，∴﹣6舍去，∴c＝6，故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】考查了比例中項(xiàng)的概念，掌握比例中項(xiàng)的概念是解決問題的關(guān)鍵．12．（2023?定遠(yuǎn)縣校級(jí)一模）已知三條線段a、b、c，其中a＝1cm，b＝4cm，c是a、b的比例中項(xiàng)，則c＝2cm．【分析】由c是a、b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段c的長(zhǎng)，注意線段不能為負(fù)．【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．所以c2＝4×1，解得：c＝±2（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．則c＝2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了比例線段；理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．13．（2022秋?金安區(qū)校級(jí)月考）已知線段a，b，c滿足a：b：c＝2：3：4，且a+b﹣c＝3．（1）求線段a，b，c的長(zhǎng)．（2）若線段m是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段m的長(zhǎng)．【分析】（1）利用a：b：c＝2：3：4，可設(shè)a＝2k，b＝3k，c＝4k，由a+b﹣c＝3得2k+3k﹣4k＝3，然后解出k的值即可得到a、b、c的值；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義得到m2＝ab，即m2＝6×9，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：4，∴a＝2k，b＝3k，c＝4k，∵a+b﹣c＝3，∴2k+3k﹣4k＝3，解得k＝3，∴a＝6，b＝9，c＝12；（2）∵m是a、b的比例中項(xiàng)，∴m2＝ab，∴m2＝6×9，∴x＝3或x＝﹣3（舍去），即線段m的長(zhǎng)為3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如a：b＝c：d（即ad＝bc），我們就說這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段．注意利用代數(shù)的方法解決較為簡(jiǎn)便．14．（2022秋?宣城月考）若a：b＝1：2，且b是a，c的比例中項(xiàng)，則b：c等于（）A．1：3 B．1：2 C．2：3 D．2：1【分析】由b是a，c的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可得：，再結(jié)合a：b＝1：2即可解答．【解答】解：∵b是a，c的比例中項(xiàng)，∴，∵a：b＝1：2，∴，即b：c＝1：2，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了比例線段、比例中項(xiàng)的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記比例中項(xiàng)的定義及其變形是解題關(guān)鍵．15．（2023?亳州模擬）如圖，點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)．如果AB＝2，那么AP＝3﹣．【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條件得BP＝AB，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵點(diǎn)P把線段AB分成兩部分，且BP為AP與AB的比例中項(xiàng)，∴BP2＝AB?AP，∴BP＝AB＝＝﹣1，∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（﹣1）＝3﹣，故答案為：3﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念，把一條線段分成兩部分，使其中較長(zhǎng)的線段為全線段與較短線段的比例中項(xiàng)，這樣的線段分割叫做黃金分割．16．（2022秋?埇橋區(qū)期中）求證：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．【分析】過C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，AD即為所求，已知：△ABC中，∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，求證：＝．證明：過C作CE∥DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．∵AD是角平分線，∴∠1＝∠2．∴∠3＝∠E，∴AC＝AE，又∵AD∥CE，．∴＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查比例線段，關(guān)鍵是正確畫出圖形，理清圖中角之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．17．（2022秋?無為市期中）（1）已知，且a+b﹣2c＝6，求a的值．（2）已知線段a＝4cm，線段b＝9cm，線段c是線段a，b的比例中項(xiàng)，求線段c的長(zhǎng)．【分析】（1）利用設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算即可解答；根據(jù)線段比例中項(xiàng)的概念得出a：c＝c：b，再根據(jù)a＝4cm，b＝9cm，求出c的值，注意把負(fù)值舍去．【解答】解：（1）設(shè)＝k，∴a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a+b﹣2c＝6，∴6k+5k﹣8k＝6，∴k＝2，∴a＝6k＝12，∴a的值為12；（2）∵線段c是線段a和b的比例中項(xiàng)，a＝4cm，b＝9cm，∴c2＝ab＝36，解得：c＝±6，又∵線段長(zhǎng)是正數(shù)，∴c＝6cm．【點(diǎn)評(píng)】（1）考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握設(shè)k法進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（2）考查了比例線段，寫比例式的時(shí)候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．四．黃金分割（共7小題）18．（2023?濉溪縣模擬）如圖，在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，若AB＝AC＝CD＝2，∠ADB＝108°，則AD的值為（）A． B． C． D．【分析】先證明AD＝BD，設(shè)AD＝BD＝x，則BC＝2+x．作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2列方程求解即可．【解答】解：∵∠ADB＝108°，∴∠CDA＝180°﹣108°＝72°．∵AB＝AC＝CD＝2，∴∠CAD＝∠CDA＝72°，∴∠B＝∠C＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠BAD＝∠CDA﹣∠B＝36°，∴AD＝BD．設(shè)AD＝BD＝x，則BC＝2+x．如圖，作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵AB＝AC＝CD＝2，∴，∴．∵AD2﹣DE2＝AC2﹣CE2，∴，解得，（舍去）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．19．（2022秋?安徽期中）若線段MN的長(zhǎng)為2cm，點(diǎn)P是線段MN的黃金分割點(diǎn)，則最短的線段MP的長(zhǎng)為（）A．（﹣1）cm B．cm C．（3﹣）cm D．cm【分析】較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)為xcm，則較短的線段長(zhǎng)是（2﹣x）cm．根據(jù)黃金分割的定義即可列方程求解．【解答】解：較長(zhǎng)的線段MP的長(zhǎng)為xcm，則較短的線段長(zhǎng)是（2﹣x）cm．則x2＝2（2﹣x），解得x＝﹣1或﹣﹣1（舍去）．較短的線段長(zhǎng)是2﹣（﹣1）＝3﹣（cm）故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，與一元二次方程的解法，正確理解黃金分割的定義是關(guān)鍵．20．（2022秋?宣城期末）如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），那么下列結(jié)論正確的為（）A． B． C．BC2＝AC?AB D．AC2＝BC?AB【分析】根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，∴AC是BC和AB的比例中項(xiàng)，即，∴AC2＝AB?BC，∴選項(xiàng)A、B、C結(jié)論錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)D結(jié)論正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．21．（2022秋?埇橋區(qū)期中）若線段AB＝2cm，C是AB的黃金分割點(diǎn)，且BC＞AC，則BC的長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．cm D．cm【分析】利用黃金分割的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，且BC＞AC，AB＝2cm，∴BC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．22．（2023?雨山區(qū)一模）數(shù)學(xué)中，把這個(gè)比例稱為黃金分割比例．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），若線段AB的長(zhǎng)為8cm，則BP的長(zhǎng)為（12﹣4）cm．【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)（AP＞BP），線段AB的長(zhǎng)為8cm，∴，∴AP＝cm，BP＝AB﹣AP＝12﹣4．故答案為：（12﹣4）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的比例線段，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．23．（2022秋?霍邱縣期中）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB（AP＞BP）上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走多少米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上？（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】根據(jù)黃金分割的概念，可求出AP，BP，即可求解．【解答】解：由題意知AB＝20米，，∴米，∴米，答：主持人從舞臺(tái)一側(cè)點(diǎn)B進(jìn)入，則他至少走米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．24．（2023?合肥一模）設(shè)點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC的長(zhǎng)為4﹣4cm．【分析】根據(jù)黃金比值為計(jì)算即可．【解答】解：∵點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC＞BC，∴AC＝AB＝4﹣4（cm），故答案為：4﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是黃金分割的概念和黃金比值，把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)，叫做把線段AB黃金分割．五．平行線分線段成比例（共8小題）25．（2023?鏡湖區(qū)校級(jí)一模）如圖，如圖，在△ABC中，D、E分別在邊AB，AC上，DE∥BC，，AE＝9，則EC的長(zhǎng)度為（）A．4 B．6 C．12 D．15【分析】由DE∥BC，得，進(jìn)而即可求解．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∴，∴EC＝6．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線截線段成比例定理，掌握平行線截得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．26．（2023?蕭縣一模）如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C都在橫線上．若線段AB＝5，則線段BC的長(zhǎng)是（）A． B．1 C． D．3【分析】過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計(jì)算即可．【解答】解：過點(diǎn)A作平行橫線的垂線，交點(diǎn)B所在的平行橫線于D，交點(diǎn)C所在的平行橫線于E，則，即＝2，解得：BC＝，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．27．（2022秋?霍邱縣期中）如圖，a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)．若AB：BC＝2：3，DF＝10，求EF的長(zhǎng)．【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例，求解即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴，∵AB：BC＝2：3，DF＝10，∴，∴EF＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．28．（2022秋?潛山市月考）如圖，點(diǎn)F、D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，已知DE∥BC，F(xiàn)E∥CD，AF＝3，AD＝5，求AB的長(zhǎng)．【分析】平行線分線段成比例定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵FE∥CD，AF＝3，AD＝5，∴＝，∴＝，∵DE∥BC，∴＝，∴＝，∴AB＝，故AB的長(zhǎng)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．29．（2022秋?長(zhǎng)豐縣校級(jí)期末）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．30．（2023?蜀山區(qū)二模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分線BE與中線CD交于點(diǎn)F，若AC＝16，BC＝12，則的值為（）A． B． C． D．【分析】作EH⊥AB于H，延長(zhǎng)CD到M，使DM＝CD，連接BM，由勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由三角形面積公式求出CE的長(zhǎng)，由△BDM≌△ADC（SAS），得到BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，得到CE∥MB，推出△CEF∽△MBF，因此＝＝＝．【解答】解：作EH⊥AB于H，延長(zhǎng)CD到M，使DM＝CD，連接BM，∵∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，∴AB＝＝20，∵BF平分∠ABC，∴EH＝EC，∵△ABC的面積＝△ABE的面積+△BCE的面積，∴AC?BC＝AB?EH+BC?CE，∴16×12＝20CE+12CE，∴CE＝6，∵AD＝BD，∠ADC＝∠BDM，∴△BDM≌△ADC（SAS），∴BM＝AC＝16，∠M＝∠ECF，∴CE∥MB，∴△CEF∽△MBF，∴＝＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形，相似三角形．31．（2022秋?固鎮(zhèn)縣校級(jí)期中）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且AG＝4、GD＝2、DF＝8，求BC：CE的值．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算即可．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴＝，∵AG＝4，GD＝2，DF＝8，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．32．（2023?固鎮(zhèn)縣一模）如圖，互相垂直的兩條公路AM、AN旁有一矩形花園ABCD，其中AB＝30米，AD＝20米．現(xiàn)欲將其擴(kuò)建成一個(gè)三角形花園APQ，要求P在射線AM上，Q在射線AN上，且PQ經(jīng)過點(diǎn)C．（1）DQ＝10米時(shí)，求△APQ的面積．（2）當(dāng)DQ的長(zhǎng)為多少米時(shí)，△APQ的面積為1600平方米．【分析】（1）由DC∥AP，得到＝，代入數(shù)據(jù)求得AP＝90，于是得到結(jié)論；（2）設(shè)DQ＝x米，則AQ＝x+20，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝，得到方程＝，求出AP＝，解一元二次方程即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝90，∴S△APQ＝AQ?AP＝1350米2；（2）設(shè)DQ＝x米，則AQ＝x+20，∵DC∥AP，∴＝，∴＝，∴AP＝，由題意得××（x+20）＝1600，化簡(jiǎn)得3x2﹣200x+1200＝0，解x＝60或．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝60或是原方程的根，∴DQ的長(zhǎng)應(yīng)設(shè)計(jì)為60或米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例，求三角形的面積，一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)統(tǒng)考期末）生活中到處可見黃金分割的美，如上圖,在設(shè)計(jì)人體雕像時(shí)：使雕像的腰部以下a與全身b的高度比值接近0.618，可以增加視覺美感，若圖中b為2米，則a約為（

）．A．1.52米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.24米【答案】D【分析】根據(jù)線段比例的定義列出a，b的比例關(guān)系，再代入b的值求a即可；【詳解】解：∵雕像的腰部以下與全身的高度比值接近0.618，∴，∵b為2米，∴a≈2×0.618=1.236≈1.24（米）；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的比例：若a∶b=k，說明a是b的k倍；掌握線段比例的概念是解題關(guān)鍵．2．（2023春·安徽安慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，則（

）A．?3 B．3 C． D．【答案】C【分析】由，可得，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵∴，∴；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是比例的基本性質(zhì)，熟練地把比例式化為等積式是解本題的關(guān)鍵．3．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若，則的值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，，故將等式兩邊都除以，得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了等式的性質(zhì)，熟練掌握等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·安徽蚌埠·校聯(lián)考一模）主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上（BP長(zhǎng)為x），則x滿足的方程是（）A． B．C． D．以上都不對(duì)【答案】A【分析】點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，且，，則，則，即可求解．【詳解】解：由題意知，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，且，，則，，，．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對(duì)應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)黃金分割的定義即可解答．【詳解】解：∵點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，且，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了黃金分割，應(yīng)該熟記黃金分割的公式：較長(zhǎng)線段=原線段長(zhǎng)的倍，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·安徽六安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，兩條直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和D、E、F．已知，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，設(shè)則，根據(jù)平行線分線段成比例得，代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，設(shè)則，，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵是找到對(duì)應(yīng)線段成比例．7．（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；C．∵，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵，∴，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解此題的關(guān)鍵．8．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列各組線段中，成比例的是（）A．2cm，3cm，4cm，5cm B．2cm，4cm，6cm，8cmC．3cm，6cm，8cm，12cm D．1cm，3cm，5cm，15cm【答案】D【分析】分別計(jì)算各組數(shù)中最大與最小數(shù)的積和另外兩數(shù)的積，然后根據(jù)比例線段的定義進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：A、∵，∴選項(xiàng)A不成比例；B、∵，∴選項(xiàng)B不成比例；C、∵，∴選項(xiàng)C不成比例；D、∵，∴選項(xiàng)D成比例．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段，解題關(guān)鍵是掌握判斷四條線段是否成比例的方法．9．（2022秋·安徽蕪湖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，若等于，則線段的長(zhǎng)為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】已知直線，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得到一個(gè)含有與已知線段的比例式，從而可求得的長(zhǎng)．【詳解】解：∵直線，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理，掌握三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋·安徽滁州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在中，，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線所截線段成比例可知，則有，然后問題可求解．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線所截線段成比例，熟練掌握平行線所截線段成比例是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．（2022秋·安徽宿州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若a＝4cm，b＝9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)是______cm．【答案】6【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義可求得c的值．【詳解】解：設(shè)線段a，b的比例中項(xiàng)是xcm，∵a＝4cm，b＝9cm，∴，∴x=6cm．故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查比例中項(xiàng)的定義，掌握若c為a、b的比例中項(xiàng)，則有是解題的關(guān)鍵．12．（2023·安徽滁州·?？家荒＃┮阎龡l線段、、，其中，，是、的比例中項(xiàng)，則_____．【答案】【分析】由是、的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出線段的長(zhǎng)，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積，∴，解得：或（線段長(zhǎng)度是正數(shù)，負(fù)值舍去），∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查比例線段，注意線段長(zhǎng)度不能是負(fù)數(shù)．理解比例中項(xiàng)的概念是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·安徽合肥·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若線段、、、成比例，其中，，，則____．【答案】4cm【分析】根據(jù)成比例線段的概念，得．再根據(jù)比例的基本性質(zhì)，求得的值．【詳解】解：∵四條線段成比例，，，，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例線段的定義，注意根據(jù)已知條件寫比例式的時(shí)候，一定要注意順序．然后根據(jù)比例的基本性質(zhì)進(jìn)行求解．14．（2023春·安徽淮北·九年級(jí)淮北一中校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則________．【答案】【分析】根據(jù)比例性質(zhì)把豎式化為等積式，恒等變形，得到a與b的關(guān)系式，再把等積式化為比例式即可．【詳解】∵，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了比例性質(zhì)，熟練掌握比例性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．（2023秋·安徽池州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）若，則________．【答案】5【分析】先求出，再根據(jù)比例的性質(zhì)即可得．【詳解】解：，，，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2023·安徽安慶·統(tǒng)考二模）如圖，在中，平分，交于點(diǎn)，若，，則為__________．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線分線段成比例得到即可解答．【詳解】解：∵平分，∴，∵交于點(diǎn)，∴，∴，∵交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．17．（2023·安徽合肥·校考一模）設(shè)點(diǎn)C是長(zhǎng)度為8cm的線段的黃金分割點(diǎn)（），則的長(zhǎng)為___________cm．【答案】【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，得：，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查黃金分割點(diǎn)．熟練掌握黃金分割點(diǎn)的定義，是解題的關(guān)鍵．18．（2023·安徽亳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，點(diǎn)P把線段分成兩部分，且為與的比例中項(xiàng)．如果，那么_____．【答案】/【分析】根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合已知條