第一次月考押題預測卷（考試范圍第十一十二章）

第一次月考押題預測卷（考試范圍：第十一、十二章）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分120分，考試時間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·四川涼山·八年級期末）下列命題是真命題的是（

）A．等底等高的兩個三角形全等 B．周長相等的直角三角形都全等C．有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等 D．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等【答案】D【分析】根據全等三角形的判定方法對各選項分析判斷利用排除法求解．【詳解】解：A、等底等高的兩個三角形全等，是假命題，故本選項錯誤；B、周長相等的直角三角形都全等，是假命題，故本選項錯誤；C、有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等，是假命題，因為一角沒有說明是兩邊的夾角，故本選項錯誤；D、有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等是真命題，故本選項正確．故選：D．【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．2．（2022·四川成都·八年級期末）生活中常用各種正多邊形地磚鋪砌成美麗的圖案．用形狀、大小完全相同的一種或幾種平面圖形進行拼接，彼此之間不留空隙、不重疊地鋪成一片，就是平面圖形的鑲嵌．下列圖形中不能與正三角形鑲嵌整個平面的是（）A．正方形 B．正五邊形 C．正六邊形 D．正十二邊形【答案】B【分析】判斷一種或幾種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構成周角，若能構成360°，則說明能夠進行平面鑲嵌，反之則不能．【詳解】A選項，2個正方形與3個正三角形能進行平面鑲嵌，因為2×90°+3×60°＝360°，不符合題意；B選項，正五邊形不能與正三角形進行平面鑲嵌，因為正五邊形的內角和108°．108°的整數倍與60°的整數倍的和不等于360°，符合題意；C選項，2個正六邊形與2個三角形能進行平面鑲嵌，因為2×120°+2×60°＝360°，不符合題意；D選項，2個正十二邊形與1個正三角形能進行平面鑲嵌，因為2×150°+1×60°＝360°，不符合題意；選：B．【點睛】本題考查了平面鑲嵌，掌握平面鑲嵌的條件是解題的關鍵．3．（2022·四川省成都市七中育才學校七年級期中）如圖，在ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是ABD中AD邊上的中線，若=24，則ABE的面積是（

）A．4 B．12 C．6 D．8【答案】C【分析】根據三角形的中線的性質，得的面積是的面積的一半，的面積是的面積的一半，由此即可解決問題；【詳解】解：是的中線，．是的中線，．故選：C．【點睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線的性質等知識，解題的關鍵是掌握三角形的中線把三角形的面積分成了相等的兩部分．4．（2022·江蘇南京·七年級期中）如圖，用四顆螺絲將不能彎曲的木條圍成一個木框，不計螺絲大小，其中相鄰兩顆螺絲的距離依次為3、4、6、8，且相鄰兩根木條的夾角均可以調整，若調整木條的夾角時不破壞此木框，則任意兩顆螺絲的距離的最大值是(

)A．7 B．10 C．11 D．14【答案】B【分析】若兩個螺絲的距離最大，則此時這個木框的形狀為三角形，可根據三條木棍的長來判斷有幾種三角形的組合，然后分別找出這些三角形的最長邊即可．【詳解】已知4條木棍的四邊長為3、4、6、8；選3+4、6、8作為三角形，則三邊長為7、6、8；，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為8；選4+6、8、3作為三角形，則三邊長為10、8、3，，能構成三角形，此時兩個螺絲間的最長距離為10；選6+8、3、4作為三角形，則三邊長為14、3、4；，不能構成三角形，此種情況不成立；選3+8、4、6作為三角形，則三邊長為11、4、6；，不能構成三角形，此種情況不成立；綜上所述，任兩螺絲的距離之最大值為10；故選：B．【點睛】本題實際考查的是三角形的三邊關系定理，能夠正確的判斷出調整角度后三角形木框的組合方法是解答的關鍵．5．（2022·浙江·八年級期中）如圖，已知CD＝CA，∠D＝∠A，添加下列條件中的（）仍不能證明△ABC≌△DEC．A．∠DEC＝∠B B．∠ACD＝∠BCE C．CE＝CB D．DE＝AB【答案】C【分析】結合題意，根據全等三角形的性質，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】增加∠DEC＝∠B，得：∴△DEC≌△ABC，即選項A可以證明；∵∠ACD＝∠BCE∴，即∴∴△DEC≌△ABC，即選項B可以證明；增加∠DEC＝∠B，得：∴不能證明△DEC≌△ABC，即選項C不可以證明；增加DE＝AB，得：∴△DEC≌△ABC，即選項D可以證明；故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定性質，從而完成求解．6．（2022·巴中·八年級期末）如圖，在△ABC中，E為BC延長線上一點，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，∠D＝15°，則∠A的度數為（）A．30° B．45° C．20° D．22.5°【答案】A【分析】由三角形的外角的性質可得再結合角平分線的性質進行等量代換可得從而可得答案.【詳解】解：∠ABC與∠ACE的平分線相交于點D，故選A【點睛】本題考查的是三角形的角平分線的性質，三角形的外角的性質，熟練的利用三角形的外角的性質結合等量代換得到是解本題的關鍵.7．（2022·四川成都·七年級期中）如圖，中，，為中點，延長交于，為上一點，且于，下列判斷，其中正確的個數是（

）①是中邊上的中線；②既是中的角平分線，也是中的角平分線；③既是中邊上的高線，也是中邊上的高線．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形的高，中線，角平分線的定義可知．【詳解】解：①G為中點，所以是邊上的中線，故正確；②因為，所以是中的角平分線，是中的角平分線，故錯誤；③因為于，所以既是中邊上的高線，也是中邊上的高線，故正確．故選：C．【點睛】熟記三角形的高，中線，角平分線是解決此類問題的關鍵．8．（2022·四川·廣漢市八年級期中）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質、折疊變換等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，靈活應用所學知識，屬于中考常考題型．9．（2022·廣東·八年級月考）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，下列結論：①；②；③∠BDE＝∠BAC；④BE＝DE；⑤，其中正確的個數為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】根據角平分線的性質，可得CD＝ED，易證得△ADC≌△ADE，可得AC＋BE＝AB；由等角的余角相等，可證得∠BDE＝∠BAC；然后由∠B的度數不確定，可得BE不一定等于DE；又由CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．【詳解】解：①正確，∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，∴CD＝ED；②正確，因為由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC＝AE，即AC＋BE＝AB；③正確，因為∠BDE和∠BAC都與∠B互余，根據同角的余角相等，所以∠BDE＝∠BAC；④錯誤，因為∠B的度數不確定，故BE不一定等于DE；⑤正確，因為CD＝ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△BDE：S△ACD＝BE：AC．故正確的個數為4個.故選：B．【點睛】此題考查了角平分線的性質以及全等三角形的判定與性質．此題比較適中，注意掌握數形結合思想的應用．10．（2022·四川·江油八年級階段練習）如圖，已知等邊和等邊，點P在的延長線上，的延長線交于點M，連接；下列結論：①；②；③平分；④，其中正確的有（

）．A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】證明△APB≌△CEB得到AP＝CE，即可判斷①；由△APB≌△CEB，得到∠APB＝∠CEB，再由∠MCP＝∠BCE，推出∠PME＝∠PBE＝60°，即可判斷②；過點B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，證明△BNP≌△BFE得到BN＝BF，得到BM平分∠AME，即可判定③；在BM上截取BK＝CM，連接AK，先證明∠ACM＝∠ABK，即可證明△ACM≌△ABK得到AK＝AM，推出△AMK為等邊三角形，則AM＝MK，AM+MC＝BM，即可判斷④．【詳解】證明：①∵等邊△ABC和等邊△BPE，∴AB＝BC，∠ABC＝∠PBE＝60°，BP＝BE，在△APB和△CEB中，∴△APB≌△CEB（SAS），∴AP＝CE，故此選項正確；②∵△APB≌△CEB，∴∠APB＝∠CEB，∵∠MCP＝∠BCE，則∠PME＝∠PBE＝60°，故此選項正確；③過點B作BN⊥AM于N，BF⊥ME于F，∵△APB≌△CEB，∴∠BPN＝∠FEB，在△BNP和△BFE中，，∴△BNP≌△BFE（AAS），∴BN＝BF，∴BM平分∠AME，故此選項正確；④在BM上截取BK＝CM，連接AK，由②知∠PME＝60°，∴∠AMC＝120°，由③知：BM平分∠AME，∴∠BMC＝∠AMK＝60°，∴∠AMK=∠ACB=60°，又∵∠AHM=∠BHC，∴∠∠CAM=∠CBH，∵∠CAM+∠ACM=∠EMP=60°，∴∠CBH+∠ACM=60°，∴∠ABK+∠PBM＝60°＝∠PBM+∠ACM，∴∠ACM＝∠ABK，在△ABK和△ACM中

∴△ACM≌△ABK（SAS），∴AK＝AM，∴△AMK為等邊三角形，則AM＝MK，故AM+MC＝BM，故此選項正確；故選D．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質與判定，角平分線的判定等知識，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2022·巴中·七年級期末）如圖所示，王師傅做完門框為防止變形，在門上釘上AB、CD兩條斜拉的木條，其中的數學原理是________．【答案】三角形具有穩(wěn)定性【分析】三角形具有穩(wěn)定性，其它多邊形不具有穩(wěn)定性，把多邊形分割成三角形則多邊形的形狀就不會改變．【詳解】解：趙師傅這樣做是運用了三角形的穩(wěn)定性．故答案為：三角形的穩(wěn)定性．【點睛】本題考查三角形穩(wěn)定性的實際應用．三角形的穩(wěn)定性在實際生活中有著廣泛的應用，如鋼架橋、房屋架梁等，因此要使一些圖形具有穩(wěn)定的結構，往往通過連接輔助線轉化為三角形而獲得．12．（2022·河北邯鄲·七年級期末）如圖是可調躺椅示意圖（數據如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使，則圖中∠D應___（填“增加”或“減少”）___度．【答案】

增加

20【分析】延長EF交BD于H，利用“8”字形求出∠EHC，利用外角的性質得到∠EFD=∠D+∠DHF，由此求出∠D的度數，進而得到答案．【詳解】解：延長EF交BD于H，∵∠A+∠B=∠E+∠EHC，∴∠EHC=，∴，∵∠EFD=∠D+∠DHF，∴∠D=∠EFD∠DHF=，∵，∴∠D的度數應增加，增加，故答案為：增加，20．【點睛】此題考查了三角形外角的性質，三角形的內角和定理，熟練掌握三角形各角的關系是解題的關鍵．13．（2022·河北·八年級專題練習）如圖，銳角△ABC中，D，E分別是AB，AC邊上的點，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′，BE，CD交于點F．若∠BAC＝40°，則∠BFC的度數為_____．【答案】100°##100度【分析】延長C′D交AC于M，如圖，根據全等的性質得∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=×40°，再利用三角形外角性質得∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，接著利用C′D∥B′E得到∠AEB=∠C′MC，而根據三角形內角和得到∠AEB′=180°∠B′40°，則∠C′+2×40°=180°∠B′40°，所以∠C′+∠B′=180°3×40°，利用三角形外角性質和等角代換得到∠BFC=∠C=40°+∠C′+∠B′，所以∠BFC=180°2×40°=100°．【詳解】延長C′D交AC于M，如圖，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′=∠ACD，∠C′AD=∠CAD=∠B′AE=40°，∴∠C′MC=∠C′+∠C′AM=∠C′+2×40°，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′=∠C′MC，∵∠AEB′=180°?∠B′?∠B′AE=180°?∠B′?40°，∴∠C′+2×40°=180°?∠B′?×40°，∴∠C′+∠B′=180°?3×40°，∵∠BFC=∠BDF+∠DBF=∠DAC+∠B′+∠ACD=40°+∠ACD+∠B′=40°+∠C′+∠B′=40°+180°?3×40°=180°?2×40°=．故答案為【點睛】本題考查了全等三角形的性質，三角形外角的性質，三角形的內角和，平行線的性質等知識點，作出輔助線是解題的關鍵．14．（2022·山東青島·七年級期末）如圖，已知AD平分∠BAC，要使．只需再添加一個條件就可以了，你選擇的條件是______，理由是_______．【答案】

SAS【分析】添加條件：AE＝AF，再由條件AD是∠BAC的平分線可得∠BAD＝∠CAD，加上公共邊AD可利用SAS定理進行判定．【詳解】解：添加條件：AE＝AF，理由：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（SAS）．故答案為：AE＝AF，SAS．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，掌握三角形全等的判定方法是解題的關鍵．15．（2022·四川·達州中學七年級期中）中，若，為三條內角角平分線的交點，則__________度．【答案】【分析】根據三角形的內角和是，得：；又為三條角平分線的交點，得：；再根據三角形的內角和定理，得：．【詳解】解：如圖：在中，，．又為三條角平分線的交點．在三角形中，，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的概念以及掌握三角形的內角和定理，解題的關鍵是注意公式的總結：．16．（2022·河北廊坊·八年級期末）在方格紙中，每個小方格的頂點叫做格點，以格點的連線為邊的三角形叫做格點三角形，解決下列問題．（1）如圖1，以點D和點E為兩個頂點作格點三角形，使所作的格點三角形與△ABC全等，那么這樣的格點三角形最多可以畫出_______個；（2）如圖2，∠1＋∠2＝_______．【答案】

4

45°##45度【分析】（1）觀察圖形可知：DE與AC是對應邊，B點的對應點在DE上方兩個，在DE下方兩個共有4個滿足要求的點，也就有四個全等三角形；（2）由圖可知∠1=∠3，∠2+∠3=45°，從而可得結論．【詳解】解：（1）根據題意，運用SSS可得與△ABC全等的三角形有4個，線段DE的上方有兩個點，下方也有兩個點．故答案為：4．（2）由圖可知△ABC≌△EDC，∴∠1=∠3，而∠2+∠3=45°，∴∠1+∠2=45°，故答案為：45°．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做題時要做到不重不漏．17．（2022·西安市七年級模擬）如圖，△ABC的面積是21，點D、E、F分別在邊BC、AB、AC上，且AE＝2，EB＝4．若△ABD與四邊形DFEB面積相等，則△ADC的面積＝_____．【答案】7【分析】連接CE，由S△ABD=S四邊形DFEB可得S△AEG=S△DFG，證明S△AEF=S△ADF，進而可證S△AEC=S△ADC，求出△AEC的面積，即可求出△ADC的面積．【詳解】解：連接CE，記AD與EF交于點G，∵S△ABD=S四邊形DFEB，∴S△AEG=S△DFG，∴S△AEG+S△AFG=S△DFG+S△AFG，∴S△AEF=S△ADF，設△ACE的邊AC上的高為h，則，，設△ACD的邊AC上的高為x，則，，∵S△AEF=S△ADF，∴h=x，∴S△AEC=S△ADC，∵AE＝2，EB＝4，∴，∴．故答案為：7．【點睛】本題考查了三角形的面積，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等是解答本題的關鍵．18．（2022·成都市七中育才學校七年級期中）如圖，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，AD與BE交于點O，連接CO并延長交AB于點F，延長AD至點G，若GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，則下列結論：①∠ABE＝∠ACF；②∠GEB＝45°；③EO＝EC；④AE﹣CE＝BF；⑤AG﹣CG＝BC，其中正確的結論有______（寫序號）．【答案】①②③⑤【分析】①先根據銳角三角形的三條高線交于一點，得出，得出，根據同角的余角相等，即可得出∠ABE＝∠ACF；②根據GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，得出，，根據外角性質得出，，即可得出，最后根據；③根據“ASA”證明，即可得出EO=EC；④先證明AE=BE，得出，根據，得出；⑤先根據“ASA”證明，得出，再根據，得出OG=CG，即可證明AG﹣CG＝BC．【詳解】解：①∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴，，∴，∴∠ABE＝∠ACF，故①正確；②∵GE平分∠DGC，CE平分∠DCH，∴，，∵是△DGC的外角，∴，∵為△GEC的外角，∴，，∴，即，∵，，，∴，，故②正確；③∵在△EOG和△ECG中，∴，∴EO=EC，故③正確；④∵EO=EC，∴，，∴，∴，∴，，∵，∴，故④錯誤；⑤∵，∴，∵，，∴，，∵，∴OG=CG，∵，∴，即，故⑤正確；綜上分析可知，正確的是①②③⑤．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形外角的性質，等腰三角形的判定和性質，三角形全等的判定和性質，三角形高線的性質，根據題意證明，，是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022·福建·八年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠BAC是鈍角，完成下列畫圖．（不必尺規(guī)作圖）（1）∠BAC的平分線AD；（2）AC邊上的中線BE；（3）AC邊上的高BF．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）按角平分線的定義畫圖即可；（2）按中線的定義畫圖即可；（3）按照高的定義畫圖即可．【詳解】解：（1）如圖所示：AD即為所求；（2）如圖所示：BE即為所求；（3）如圖所示：BF即為所求．【點睛】本題考查了三角形的中線、角平分線和高的畫法，解題關鍵是熟練掌握它們的畫法，準確畫圖．20．（2022·江西上饒·八年級期末）如圖，已知五邊形ABCDE的各邊都相等，各內角也都相等，點F、G分別在邊BC、CD上，且FC=GD．(1)求證：ΔCDF≌ΔDEG；(2)求∠EHF的大?。敬鸢浮?1)見解析(2)108°【分析】（1）由五邊形ABCDE的各邊都相等，各內角也都相等知CD＝DE，∠FCD＝∠GDE，再結合FC＝GD，利用“SAS”即可證明△CDF≌△DEG；（2）由△CDF≌△DEG知∠FDC＝∠GED，據此得∠EHF＝∠GED+∠HDE＝∠FDC+∠HDE＝∠CDE，從而得出答案．(1)證明：在ΔCDF與ΔDEG中∵五邊形ABCDE的各邊都相等，各內角也都相等，∴CD=DE，∠FCD=∠GDE又∵FC=GD在△CDF和△DEG中，，∴ΔCDF≌ΔDEG（SAS）；(2)解：∵ΔCDF≌ΔDEG；∴∠FDC=∠GED∴∠EHF=∠GED+∠HDE=∠FDC+∠HDE=∠CDE=【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握正多邊形的性質和全等三角形的判定與性質．21．（2022·湖南·八年級階段練習）如圖，在△ABD中，∠ABC=45°，AC，BF為△ABD的兩條高，CM//AB，交AD于點M；求證：BE=AM+EM．【答案】見解析【分析】求出∠CAD＝∠EBC，∠ACD＝∠BCE，AC＝BC，證出△BCE≌△ACD，求出CE＝CD，∠ECM＝∠DCM，證△ECM≌△DCM，推出DM＝ME，即可得出答案．【詳解】∵AC、BF是高，∴∠BCE＝∠ACD＝∠AFE＝90°，∵∠AEF＝∠BEC，∠CAD＋∠AFE＋∠AEF＝180°，∠EBC＋∠BCE＋∠BEC＝180°，∴∠DAC＝∠EBC，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝45°＝∠ABC，∴BC＝AC，在△BCE和△ACD中∴△BCE≌△ACD（ASA），∴BE＝AD．∵CM∥AB，∴∠MCE＝∠BAC＝45°，∵∠ACD＝90°，∴∠MCD＝45°＝∠MCE，∵△BCE≌△ACD，∴CE＝CD，在△CEM和△CDM中∴△CEM≌△CDM（SAS），∴ME＝MD，∴BE＝AD＝AM＋DM＝AM＋ME，即BE＝AM＋EM．【點睛】本題考查了全等三角形的性質和判定，平行線性質，三角形的內角和定理，垂直定義，等腰三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．22．（2022·成都·八年級期末）如圖，在中，，，將點沿著線段翻折，使點落在邊上的點處．(1)求的度數；(2)求的度數．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用三角形內角和求出，再根據折疊的性質以及外角的性質得：，求出的值即可求出；（2）由折疊的性質可得：，再求出，利用補角的關系即可求出．（1）解：∵，，∴，由折疊的性質可得：，，設，則，，∵，∴，解得：，∴（2）解：由折疊的性質可得：，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查折疊的性質，三角形內角和定理，外角的性質，補角，解題的關鍵是掌握折疊的性質，準確找出角之間的關系．23．（2022·湖北）（1）模型：如圖1，在中，平分，，，求證：．（2）模型應用：如圖2，平分交的延長線于點，求證：．（3）類比應用：如圖3，平分，，，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析；【分析】（1）由題意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；（2）在AB上取點E，使得AE=AC，根據題意可證△ACD≌△AED，從而可求出，，即可求解；（3）延長BE至M，使EM=DC，連接AM，根據題意可證△ADC≌△AEM，故而得出AE為∠BAM的角平分線，即，即可得出答案；【詳解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，∴DE=DF，∵，，∴：=AB：AC；（2）如圖，在AB上取點E，使得AE=AC，連接DE又∵AD平分∠CAE，∴∠CAD=∠DAE，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（SAS），∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，∴，∴，∴AB：AC=BD：CD；（3）如圖延長BE至M，使EM=DC，連接AM，∵∠D+∠AEB=180°，又∵∠AEB+∠AEM=180°，∴∠D=∠AEM，在△ADC與△AEM中，，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，∴AE為∠BAM的角平分線，故，∴BE：CD=AB：AC；【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、以及三角形的面積的應用，正確掌握知識點是解題的關鍵；24．（2022·陜西渭南·七年級期末）問題情境：（1）如圖1，，OC平分∠AOB，把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，并使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F，過點P作于點N，作于點M，請寫出PE與PF的數量關系______．變式拓展：（2）如圖2，已知OC平分∠AOB，P是OC上一點，過點P作于M，于N，PE邊與OA邊相交于點E，PF邊與射線OB的反向延長線相交于點F，．試解決下列問題：①PE與PF之間的數量關系還成立嗎？為什么？②若，試判斷OE、OF、OP三條線段之間的數量關系，并說明理由．【答案】（1）；（2）①還成立，理由見解析；②，理由見解析【分析】（1）證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結論；（2）①證明△PMF≌△PNE（ASA），可得結論；②結論：OEOF=OP．證明△POM≌△PON（AAS），推出OM=ON，再由△PMF≌△PNE（ASA），推出FM=EN，可得結論．【詳解】解：（1）∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，PN⊥OA，∴PM=PN，∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴∠MPN=360°3×90°=90°，∵∠MPN=∠EPF=90°，∴∠MPF=∠NPE，在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PF=PE，故答案為：PF=PE；（2）①結論：還成立．理由：∵OC平分∠AOB，，，∴．∵∠MPN＝∠EPF，∴∠MPF＝∠NPE，在和中,∴，∴；②解：結論：．理由：在△OPM和△OPN中，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∵，∴．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了角平分線的性質定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．25．（2022·遂寧·八年級期末）問題情境：如圖①,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于點D,可知：∠BAD=∠C(不需要證明)；(1)特例探究：如圖②,∠MAN=90°,射線AE在這個角的內部,點B．C在∠MAN的邊AM、AN上,且AB=AC,CF⊥AE于點F,BD⊥AE于點D．證明：△ABD≌△CAF；(2)歸納證明：如圖③,點B,C在∠MAN的邊AM、AN上,點E,F在∠MAN內部的射線AD上,∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC．求證：△ABE≌△CAF；(3)拓展應用：如圖④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．點D在邊BC上，CD=2BD，點E.F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為18，求△ACF與△BDE的面積之和是多少?【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）6.【分析】（1）求出∠BDA=∠AFC=90°，∠ABD=∠CAF，根據AAS證△ABD≌△CAF即可；（2）根據題意和三角形外角性質求出∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠FCA，根據ASA證△BAE≌△CAF即可；（3）求出△ABD的面積，根據△ABE≌△CAF得出△ACF與△BDE的面積之和等于△ABD的面積，即可得出答案.【詳解】（1）證明：如圖②,∵CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN=90°，∴∠BDA=∠AFC=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°,∠BAD+∠CAF=90°，∴∠ABD=∠CAF，在△ABD和△CAF中，∴△ABD≌△CAF(AAS)；（2）證明：如圖③，∵∠1=∠2=∠BAC，∠1=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠CAF，∠2=∠FCA+∠CAF，∴∠A