第四講 二次函數（專項練習）（解析版）

2023年中考數學典型例題系列之函數篇第四講二次函數專項練習（解析版）單選題。1．（2022·內蒙古錫林郭勒盟·?？寄M預測）下列函數中，不是二次函數的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】二次函數要求化簡后有二次項，根據二次函數的定義回答即可．【詳解】A、函數化簡為，是二次函數，本選項不符合題意；B、是二次函數，本選項不符合題意；C、是二次函數，本選項不符合題意；D、函數化簡為，沒有二次項，不是二次函數，本選項符合題意．故選D．【點睛】本題考查二次函數的定義，掌握二次函數的定義是解題的關鍵．2．（2018·浙江杭州·中考真題）拋物線的頂點坐標是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接根據頂點式的特點寫出頂點坐標．【詳解】解：∵為拋物線的頂點式，∴根據頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為，故A正確．故選：A．【點睛】本題考查了求拋物線的頂點坐標，掌握拋物線頂點式的特點是解題的關鍵．3．（2022·山東菏澤·菏澤一中校考模擬預測）關于拋物線，下列說法錯誤的是（）A．頂點坐標為 B．函數有最小值為C．開口方向向上 D．當時，隨的增大而減小【答案】D【分析】已知拋物線解析式為頂點式，根據頂點式的特點判斷頂點坐標，開口方向，最值及增減性．【詳解】解：由拋物線可知，頂點坐標為，拋物線開口向上，函數有最小值為，時y隨x增大而增大，∴A、B、C判斷正確，D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的性質．關鍵是熟練掌握頂點式與拋物線開口方向，增減性，頂點坐標及最大（?。┲抵g的聯(lián)系．4．（2022·浙江湖州·統(tǒng)考中考真題）將拋物線向上平移3個單位長度得到的拋物線是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據拋物線的平移規(guī)律：上加下減，左加右減解答即可．【詳解】解：將拋物線向上平移3個單位長度得到的拋物線是．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象的平移，理解平移規(guī)律是解題的關鍵．5．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學?？级＃┒魏瘮档膱D象如圖所示，其對稱軸是直線，點的坐標為，垂直于軸，連接，則下列說法一定正確的是（）A．如圖①，四邊形是矩形B．在同一平面直角坐標系中，二次函數，一次函數和反比例函數的圖象大致如圖②所示C．在同一平面直角坐標系中，二次函數與反比例函數的圖象大致如圖③所示D．在同一平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數在的圖象大致如圖④所示【答案】A【分析】根據二次函數、反比例函數與一次函數的圖象和性質即可求解．【詳解】根據圖①可知，，，所以，A.二次函數的圖象的對稱軸是直線，點與點關于對稱軸對稱，垂直于軸，與也關于對稱軸對稱，四邊形是矩形，故選項符合題意；B.，，一次函數的圖象過第一、三、四象限，故選項不符合題意；C.，二次函數的圖象不經過原點，故選項不符合題意；D.，，一次函數的圖象過第一、二、四象限，故選項不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查二次函數、反比例函數與一次函數的圖象和性質，解題的關鍵是掌握函數的性質，靈活應用．6．（2021秋·北京西城·九年級北師大實驗中學?？茧A段練習）已知二次函數，關于該函數在的取值范圍內，下列說法正確的是（

）A．有最大值5，有最小值 B．有最大值0，有最小值C．有最大值4，有最小值 D．有最大值4，有最小值0【答案】A【分析】根據題目中的函數解析式和二次函數的性質，可以得到該函數的對稱軸和開口方向，然后根據，即可得到相應的最大值和最小值，從而可以解答本題．【詳解】解：∵，∴二次函數圖像的對稱軸為：，拋物線開口向下，∴在的取值范圍內，當時，函數取最大值，當時，函數取最小值，故選A．【點睛】本題考查了二次函數的最值問題，解題的關鍵是熟練掌握二次函數圖像的性質．7．（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學校?？寄M預測）二次函數的圖象大致如圖所示，關于二次函數，下列說法錯誤的是（

）A．B．對稱軸是C．當，隨的增大而減小D．當時，【答案】D【分析】觀察圖象得：二次函數的圖象開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸位于y軸的右側，從而得到，，進而得到，故A選項正確；再由拋物線與x軸交于，可得對稱軸為直線，故B選項正確；再根據二次函數的圖象和性質可得當時，y隨x的增大而減小，故選項C正確；再觀察圖象得：當時，，故D選項不正確，即可求解．【詳解】解：觀察圖象得：二次函數的圖象開口向上，與y軸交于負半軸，對稱軸位于y軸的右側，∴，，∴，∴，故A選項正確，不符合題意；觀察圖象得：拋物線與x軸交于，∴對稱軸為直線，故B選項正確，不符合題意；∵，拋物線開口向上，對稱軸為，∴當時，y隨x的增大而減小，故選項C正確，不符合題意；觀察圖象得：當時，，故D選項不正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，解題的關鍵是利用數形結合思想解題．8．（2022·山東濟寧·?？级＃┤鐖D，二次函數的圖像與反比例函數的圖像交于，，三點．若，則的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【分析】直接利用函數圖像結合其交點橫坐標得出的求值范圍．【詳解】如圖所示：當時，即反比例函數圖像在二次函數圖像下方部分，故的取值范圍是：或，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數與不等式，正確數形結合是解題的關鍵．9．（2022·內蒙古錫林郭勒盟·?？寄M預測）二次函數的圖象上有兩點，，當時，則，的大小關系是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據的對稱軸為直線，，開口向下，當時，隨的增大而減小，即可求解．【詳解】解：∵的對稱軸為直線，，開口向下，∴當時，隨的增大而減小，∵二次函數的圖象上有兩點，，∴，又∵當時，的值有正有負，故C錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數圖象的性質，掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵．10．（2022·遼寧盤錦·統(tǒng)考二模）如圖，直線的解析式為，它與軸和軸分別相交于，兩點，點為線段上一動點，過點作直線的平行線，交軸于點，點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，以為斜邊作等腰直角三角形（，兩點分別在兩側）．若和的重合部分的面積為，則與之間的函數關系圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，則；根據點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，則，；根據題意可知，；當時，和的重合部分的面積：；當時，和的重合部分的面積：，即可．【詳解】如圖：∵直線，它與軸和軸分別相交于，兩點，∴，∵點從原點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，∴，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，當，；∴當，；當，．故選：C．【點睛】本題考查函數的知識，解題的關鍵是理解題意，得到函數關系式．11．（2022·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D是二次函數的圖象，對稱軸是直線，則以下說法：①；②；③；④，其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由圖象可知當時，，即，即可判斷①；由圖象可知該拋物線對稱軸為直線，即得出，可判斷②；由圖象可知，，即得出，進而可得出，可判斷③；由圖象可知當時，，即，從而即可得出，可判斷④．【詳解】由圖象可知當時，，即，故①正確；由圖象可知該拋物線對稱軸為直線，即，則，故②正確；∵拋物線開口向上，∴，∴．由圖象可知該拋物線與y軸交于x軸下方，∴，∴，故③正確；由圖象可知當時，，即，∴，即，故④錯誤．綜上可知正確的個數是3個．故選：C．【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質．熟練掌握二次函數的圖象和性質是解題關鍵．12．（2021·遼寧丹東·?？寄M預測）如圖是二次函數（a，b，c是常數，）圖象的一部分，與x軸的交點A在點之間，對稱軸是直線．對于下列說法：①；②；③；④當時，；⑤（m為實數）．其中正確的是（）A．①②③ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤【答案】B【分析】根據題意和函數圖象，可以判斷各個小題中的結論是否成立，本題得以解決．【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴，∵對稱軸，∴，∵拋物線與y軸的交點在y軸正半軸，∴，∴，故①正確；∵拋物線與x軸的交點A在點之間，對稱軸為，∴拋物線x軸的另一個交點在和之間，∴當時，，即，即②正確，④錯誤；∵，且，∴，故③錯誤；由圖可知，當時，函數有最大值，∴對于任意實數m，有，即，故⑤正確．綜上，正確的有①②⑤．故選：B．【點睛】本題考查二次函數圖象與系數的關系、二次函數圖象上點的坐標特征、拋物線與x軸的交點，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和數形結合的思想解答．二、填空題。13．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）請寫出一個以直線為對稱軸，且在對稱軸左側部分是下降的拋物線，這條拋物線的表達式可以是_________．（只要寫出一個符合條件的拋物線表達式）【答案】，答案不唯一【分析】本題答案不唯一，根據頂點式寫拋物線的解析式，只需要對稱軸為，開口向上即可．【詳解】解：根據題意可得滿足條件拋物線解析式可為：故答案為：，答案不唯一【點睛】此題考查了二次函數的性質，當拋物線開口向上時，在對稱軸左側，隨增大而減小，根據二次函數性質解答是關鍵．14．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）拋物線與軸的交點坐標是_________．【答案】【分析】求出時y的值即可得到拋物線與y軸的交點坐標．【詳解】解：當時，，所以拋物線與y軸的交點坐標是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，根據y軸上點的橫坐標為0求出交點的縱坐標是解題的關鍵．15．（2022·福建福州·校考一模）如圖，已知拋物線與直線交于、兩點，則關于的不等式的解集是______．【答案】【分析】根據圖象，寫出拋物線在直線上方部分的x的取值范圍即可．【詳解】由圖象可知，當時，拋物線在直線的上方，關于的不等式的解集是，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數與不等式的關系，主要利用了數形結合的思想，解題關鍵在于對圖象的理解，題目中的不等式的含義為：二次函數的圖象在一次函數圖象上方時，自變量x的取值范圍．16．（2023·上海靜安·統(tǒng)考一模）有一座拱橋的截面圖是拋物線形狀，在正常水位時，橋下水面寬20米，拱橋的最高點O距離水面為3米，如圖建立直角坐標平面，那么此拋物線的表達式為_________．【答案】##【分析】設拋物線解析式為，由圖象可知，點的坐標，利用待定系數法求解即可．【詳解】設拋物線解析式為，由圖象可知，點的坐標為，代入解析式得，解得，∴該拋物線的解析式為，故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數的應用，準確理解題意，并能夠用待定系數法求二次函數解析式是解題的關鍵．17．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學?？寄M預測）已知點均在拋物線上，則的大小關系是______．（用“＜”連接）【答案】【分析】先求出對稱軸，再依據開口方向和與對稱軸的距離判斷函數值的大小．【詳解】解：對稱軸是∵函數開口向下，距離對稱軸越遠，函數值越小點A到對稱軸的距離是2，點B到對稱軸的距離是1，點C到對稱軸的距離是3∴．故答案為：【點睛】本題考查二次函數的圖象與性質，正確理解數形結合思想是關鍵．18．（2022·四川瀘州·?？寄M預測）已知拋物線上部分點的橫坐標x縱坐標y的對應值如下表：x…-10123…y…30-103…①拋物線的開口向下；②拋物線的對稱軸為直線；③方程的根為；④當時，x的取值范圍是或．以上結論中，其中正確的有______．【答案】②③④【分析】從表格可以看出，函數的對稱軸是直線，頂點坐標為，函數與x軸的交點為，即可求解．【詳解】從表格可以看出，函數的對稱軸是直線，頂點坐標為，函數與x軸的交點為，①拋物線的開口向上，錯誤；②拋物的對稱軸為直線，正確；③方程的根為，正確；④當時，x的取值范圍是或，正確．故答案為：②③④．【點睛】本題考查的是二次函數的基本性質，涉及函數與坐標軸的交點、對稱軸等，此類表格題目通常先確定函數的對稱軸．三、解答題。19．（2022·模擬預測）已知二次函數．(1)用配方法將此函數化為的形式，并直接寫出該函數圖象的頂點坐標；(2)畫出此函數的圖象，并結合圖象直接寫出時的取值范圍．【答案】(1)，頂點坐標為(2)圖象見解析，【分析】（1）根據題意，化為頂點式即可求解；（2）根據頂點以及軸的交點，利用函數對稱性畫出函數圖象，結合函數圖象即可求解．【詳解】（1）解：即∴頂點坐標為（2）令，，解得：令，解得：如圖所示，根據函數圖象可知，當時，．【點睛】本題考查了畫二次函數圖象，頂點式，根據圖象求不等式的解集，掌握二次函數的性質是解題的關鍵．20．（2022·山東青島·山東省青島第二十六中學?？级＃┮阎P于的二次函數為常數，，當時，該函數有兩個相等的實數根．(1)判斷該函數與軸交點的個數并說明理由；(2)請對配此函數進行配方，并說明其開口方向、對稱軸、最值．【答案】(1)兩個交點，見解析(2)開口向下，對稱軸為直線，函數最大值為【分析】（1）由時，該函數有兩個相等的實數根求解．（2）根據二次函數解析式可得拋物線頂點坐標，進而求解．【詳解】（1）時，該函數有兩個相等的實數根，拋物線與軸有兩個交點．（2），拋物線頂點坐標為，，，拋物線開口向下，對稱軸為直線，函數最大值為．【點睛】本題考查二次函數的性質，解題關鍵是掌握二次函數圖象與系數的關系，掌握二次函數與方程的關系．21．（2023·陜西西安·交大附中分校校考一模）卡塔爾世界杯完美落幕．在一場比賽中，球員甲在離對方球門30米處的點起腳吊射（把球高高地挑過守門員的頭頂，射入球門），假如球飛行的路線是一條拋物線，在離球門14米時，足球達到最大高度8米．如圖所示，以球員甲所在位置點為原點，球員甲與對方球門所在直線為軸，建立平面直角坐標系．(1)求滿足條件的拋物線的函數表達式；(2)如果葡萄牙球員羅站在球員甲前3米處，羅跳起后最高能達到米，那么羅能否在空中截住這次吊射？【答案】(1)(2)能【分析】（1）根據題意得出二次函數的頂點坐標，進而求出二次函數解析式；（2）將代入函數表達式，與相比較即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意可得，足球距離點米時，足球達到最大高度8米，設拋物線解析式為：，把代入解析式得：，解得：，故拋物線解析式為：；（2）當時，，故羅能在空中截住這次吊射．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用，正確求出二次函數解析式是解題關鍵．22．（2022·廣東云浮·校聯(lián)考三模）云浮市各級公安交警部門提醒市民，騎車出行必須嚴格遵守“一盔一帶”的規(guī)定，郁南縣某商場同時購進兩種類型的頭盔，已知購進3個類頭盔和4個類頭盔共需288元；購進6個類頭盔和2個類頭盔共需306元．(1)兩類頭盔每個的進價各是多少元？(2)在銷售中，該商場發(fā)現類頭盔每個售價50元時，每個月可售出100個；每個售價提高5元時，每個月少售出10個．設類頭盔每個元（），表示該商家每月銷售類頭盔的利潤（單位：元），求關于的函數解析式并求最大利潤．【答案】(1)類頭盔每個的進價是36元，類頭盔每個的進價是45元(2)，最大利潤為2048元【分析】（1）根據解決實際應用題的步驟，設、列、解、答，列出二元一次方程組求解即可得到答案；（2）根據題意，得到關于的函數解析式，從而利用二次函數的圖像與性質得到，即當時，有最大值，最大值為2048，即可得到答案．【詳解】（1）解：設類頭盔每個的進價是元，類頭盔每個的進價是元，根據題意得：，解得，答：類頭盔每個的進價是36元，類頭盔每個的進價是45元；（2）解：根據題意得：∵，∴當時，有最大值，最大值為2048，∴關于的函數解析式為，最大利潤為2048元．【點睛】本題考查了二元一次方程組和二次函數的實際應用，讀懂題意，根據相應關系得到方程組及函數表達式是解決問題的關鍵．23．（2022秋·山東濱州·九年級?？计谀┠成虉鲣N售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施，經調查發(fā)現，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件．求：(1)若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？(2)每件襯衫降價多少元時，商場平均每天盈利最多？【答案】(1)每件襯衫應降價20元(2)當每件襯衫降價15元時，專賣店每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元【分析】（1）設每件襯衫降價x元，商場平均每天盈利y元，可得每件盈利元，每天可以售出件，進而得到商場平均每天盈利元，依據方程即可得到x的值；（2）用“配方法”即可求出y的最大值，即可得到每件襯衫降價多少元．【詳解】（1）設每件襯衫降價x元，商場平均每天盈利y元，則，當時，，解得，經檢驗，都是原方程的解，但要盡快減少庫存，所以，答：每件襯衫應降價20元；（2）∵，∴當時，y的最大值為1250，答：當每件襯衫降價15元時，專賣店每天獲得的利潤最大，最大利潤是1250元．【點睛】此題主要考查了二次函數的應用以及“配方法”在求函數的最大值的問題中的應用，利用基本數量關系：平均每天售出的件數×每件盈利＝每天銷售的利潤是解題關鍵．24．（2022·北京海淀·中關村中學?？寄M預測）在平面直角坐標系中，設二次函數（）．(1)求二次函數對稱軸；(2)若當時，函數的最大值為4，求此二次函數的頂點坐標；(3)拋物線上兩點，若對于，都有在，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)或．【分析】（1）把函數表達變成頂點式，即可解得．（2）根據函數圖像的性質判斷當當時，取最大值4，即可解得．（3），不關于對稱，可得，列出不等式即可解得．【詳解】（1）對稱軸是：．（2）∵，根據二次函數圖像的性質可得，當時，取最大值4，把代入二次函數可得，，解得：，（舍去），∴頂點坐標為．（3）∵，，對于，都有在，∴，不關于對