專題05 對角互補模型鞏固練習（基礎）-（解析版）

對角互補模型鞏固練習（基礎）1. 如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90o，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當PE＝PF時，AP＝.【解答】3【解析】如圖，作PQ⊥AB于點Q，PR⊥BC于R.∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90o，∴四邊形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90o＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPE，∴△QPE∽△RPF，，，設，則，，，解得，.2. 如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，點E在對角線AC上，連接BE，作EF⊥BE，垂足為E，直線EF交線段DC于點F，則＝.【解答】【解析】如圖，過點E分別作于點G，于點H.∵四邊形ABCD是矩形，∴四邊形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90o，∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90o，∴∠BEG＝∠FEH，又∵∠BGE＝∠FHE＝90o，∴△BEG∽△FEH，，.3. 如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCD頂點A（0，2），B點在軸上，對角線AC、BD交于點M，，則點C的坐標為.【解答】C（6，4）【解析】如圖，過點C作軸于點E，過點M作軸于點F，連接EM.∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90o，AO∥MF∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90o，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位線，，，∴OB＝CE，AO＝BE，，又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，.4. 如圖，在正方形外作直線FE并經(jīng)過正方形的頂點C，分別過點B、D作直線FE的垂線，垂足分別為點E、F，求證：△CBE≌△DCF.【解答】見解析【解析】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∵∠BCE＋∠DCF＝90o，∠BCE＋∠CBE＝90o，∴∠CBE＝∠DCF，在Rt△CBE與Rt△DCF中，，.5. 如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞點O旋轉，求證：無論正方形OMNP旋轉到何種位置，這兩個重疊部分面積總是一個定值，并求這個定值.【解答】25【解析】當OP∥AD或OP經(jīng)過點C時，重疊部分面積為正方形面積的，即25；當點P旋轉到如圖所示位置時，過點O分別作CD、BC的垂線，垂足分別為E、F.在Rt△OEG與Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，.6. 如圖，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，E、F分別為AD、CD上的點，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的長.【解答】5【解析】如圖，連接EF.∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝DO，∠OAE＝∠ODF＝45o，∠ADC＝90o，又∵OE⊥OF，∴∠OFD＋∠EDO＝180o，∵∠AEO＋DEO＝180o，∴∠OFD＝∠AEO，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE＝DE＝4，又∵AD＝CD，∴DE＝CF＝3，在Rt△EOF中，.7. 如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為BC的中點，點E、F分別在AB、AC上，若∠A＝60o，∠EDF＋∠A＝180o，求證：.【解答】見解析【解析】取AB的中點G，連接DG，如圖所示：∵AB＝AC，∠A＝60o，∴△ABC是等邊三角形，∵點D、G分別是AB、BC的中點，∴DG是△ABC的中位線，∴DG＝DC＝BD，∵∠B＝60o，∴△BDG是等邊三角形，∴∠BGD＝∠C，∵∠AED＋∠AFD＝180o，且∠AFD＋∠DFC＝180o，∴∠AED＝∠DFC，∴△GED≌△CFD，∴EG＝FC，∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝.8. 在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點M在AB邊上，點N在AC邊上，且∠MDN＝90o，若，求證：.【解答】見解析【解析】證明：過點B作AC的平行線交ND的延長線于點E，連接ME.∵BD＝DC，∴ED＝DN，在△BED與△CND中，，∴BE＝NC，∵∠MDN＝90o，∴MD為EN的中垂線，∴EM＝MN，∴，∴△BEM為直角三角形，∠MBE＝90o，∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90o，∴∠BAC＝90o，.9．數(shù)學課上，張老師正在上課：同學們，我們學過四個頂點在圓上的四邊形是圓內接四邊形，圓內接四邊形的對角（相對的兩個角）互補．下面我們來研究它外角的性質．（1）在圖①中作出圓內接四邊形ABCD中以點C為頂點的外角∠DCE，并請你探究外角∠DCE與它的相內角的對角（簡稱內對角）∠A的關系，并證明∠DCE與∠A的關系；（2）分別延長BD、AD到點F、E，如圖②，已知四邊形ABCD是圓內接四邊形，如果DE平分∠FDC，請你探索AB與AC有怎樣的數(shù)量關系呢？（3）如圖③，點D是圓上一點，弦AB=3，DC是∠ADB的平分線，∠BAC＝30°．當∠DAC等于多少度時，四邊形DACB【解答】（1）∠DCE＝∠A；（2）AB＝AC；（3）3【解析】（1）畫圖如圖，∠DCE＝∠A．證明：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠DCE+∠BCD＝180°∠DCE＝∠A；（2）AB＝AC，證明：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∴∠2＝∠ABC，∵∠1＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，∴∠1＝∠ACB，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（3）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，又∵∠ADC＝∠ABC，∠BDC＝∠BAC，∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC，∵AB=3，∠BAC∴AC＝BC＝1，∵S四邊形DACB＝S△ABC+S△DABS△ABC為定值，當S△DAB最大時，四邊形DACB面積最大，要使四邊形DACB面積最大，只需求