專題08 全等模型鞏固練習(xí)（提優(yōu)）-（解析版）

全等模型鞏固練習(xí)1． 如圖，△ABC中，AB＝BC＝CA，∠A＝∠ABC＝∠ACB，在△ABC的頂點(diǎn)A，C處各有一只小螞蟻，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過(guò)t（s）后，它們分別爬行到了D，E處，設(shè)DC與BE的交點(diǎn)為F．（1）證明△ACD≌△CBE；（2）小螞蟻在爬行過(guò)程中，DC與BE所成的∠BFC的大小有無(wú)變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】（1）見解析；（2）∠BFC無(wú)變化【解析】（1）證明：∵小螞蟻同時(shí)從A、C出發(fā)，速度相同，∴t（s）后兩只小螞蟻爬行的路程AD＝CE，∵在△ACD和△CBE中，AD=CE∠A=∠ACB∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）∵△ACD≌△CBE，∴∠EBC＝∠ACD，∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，＝180°﹣∠ACB，∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，∴∠ACB＝60°，∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BFC無(wú)變化．2． 如圖，為了測(cè)量出池塘兩端A、B之間的距離，先在地面上取一點(diǎn)C，使∠ACB＝90°，然后延長(zhǎng)BC至D，使CD＝BC，那么只要測(cè)量出AD的長(zhǎng)度就得到A，B兩點(diǎn)之間的距離，你能說(shuō)明其中的道理嗎？【解答】見解析【解析】能，理由是：∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝90°，在△ACD和△ACB中，AC=AC∠ACD=∠ACB∴△ACD≌△ACB（SAS），∴AB＝AD．3． 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，2）．（Ⅰ）若點(diǎn)B（4，2），C（3，5），請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）已知點(diǎn)M（m，0），N（0，n）（n＜0），若∠MAN＝90°，且mn=?157，求m2+【解答】（Ⅰ）△ABC的等腰三角形；（2）142【解析】（Ⅰ）如圖1中，觀察圖形可知CA＝CB，∴△ABC的等腰三角形．（Ⅱ）如圖2中，作AD⊥y軸于D，AE⊥OM于E．∵A（2，2），∴AD＝AE，四邊形ADOE是正方形，∵∠DAE＝∠MAN＝90°，∴∠DAN＝∠MAE，∵∠ADN＝∠MEA＝90°，∴△ADN≌△AEM（ASA），∴DN＝EM，∴2﹣n＝m﹣2，∴m+n＝4，∴m2+2mn+n2＝16，∵mn=?∴m2+n2＝16+304． 如圖：小剛站在河邊的A點(diǎn)處，在河的對(duì)面（小剛的正北方向）的B處有一電線塔，他想知道電線塔離他有多遠(yuǎn)，于是他向正西方向走了20步到達(dá)一棵樹C處，接著再向前走了20步到達(dá)D處，然后他左轉(zhuǎn)90°直行，當(dāng)小剛看到電線塔、樹與自己現(xiàn)處的位置E在一條直線時(shí)，他共走了100步．（1）根據(jù)題意，畫出示意圖；（2）如果小剛一步大約50厘米，估計(jì)小剛在點(diǎn)A處時(shí)他與電線塔的距離，并說(shuō)明理由．【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）所畫示意圖如下：（2）在△ABC和△DEC中，∠D=∠ADC=AC∴△ABC≌△DEC，∴AB＝DE，又∵小剛共走了100步，其中AD走了40步，∴走完DE用了60步，步大約50厘米，即DE＝60×0.5米＝30米．答：小剛在點(diǎn)A處時(shí)他與電線塔的距離為30米．5． 【問(wèn)題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認(rèn)為：延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，∠EAF=12∠【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn)1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離．【解答】見解析【解析】初步探索：EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD，探索延伸：結(jié)論仍然成立，證明：如圖2，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，BE=DG∠B=∠ADG∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF=12∠∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，AE=AG∠EAF=∠GAF∴△AEF≌△GAF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；結(jié)論運(yùn)用：如圖3，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF=12∠∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．6． 如圖：小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，將儀器上的點(diǎn)A與∠PRQ的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整AB與AD，使他們分別落在角的兩邊上，過(guò)點(diǎn)A、C畫一條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．試?yán)萌戎R(shí)，說(shuō)明角平分儀的畫圖原理．【解答】見解析【解析】∵在△ABC和△ADC中AB=ADCB=DC∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BAC＝∠DAC，∴AE平分∠PRQ．7． 如圖，C、D分別位于路段A、B兩點(diǎn)的正北處與正南處，現(xiàn)有兩車分別從E、F兩處出發(fā)，以相同的速度行駛，相同時(shí)間后分別到達(dá)C、D兩地，休整一段時(shí)間后又以原來(lái)的速度行駛最終同時(shí)到達(dá)A、B兩點(diǎn)，那么CE與DF平行嗎？為什么？【解答】見解析【解析】CE∥DF，理由：由題意得，∠A＝∠B＝90°，在Rt△AEC與Rt△BFD中，CE=DFAC=BD∴Rt△AEC≌Rt△BFD，∴∠AEC＝∠BFD，∴CE∥DF．8． 如圖是小磊家的兩個(gè)房間甲與乙，他將一個(gè)梯子斜靠在墻上，梯子頂端距離地面的垂直距離記作MA，如果梯子的底端不動(dòng)，頂端靠在對(duì)面墻上，此時(shí)梯子的頂端距離地面的垂直距離記作NB．（1）當(dāng)他在甲房間時(shí)，測(cè)得MA＝a，NB＝b，求甲房間的寬AB；（2）當(dāng)他在乙房間時(shí)，測(cè)得MA＝c，NB＝d，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°①求∠MPN的度數(shù)；②求乙房間的寬AB．【解答】（1）a+b；（2）①60°；②c【解析】（1）∵∠MPN＝180°，∴∠APM+∠BPN＝90°，∵∠APM+∠AMP＝90°，∴∠AMP＝∠BPN．在△AMP與△BPN中，∠AMP=∠BPN∠MAP=∠PBN=90°∴△AMP≌△BPN，∴MA＝PB＝a，PA＝NB＝b，∴AB＝PA+PB＝a+b；（2）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°；②過(guò)N點(diǎn)作MA垂線，垂足點(diǎn)D，連接NM．設(shè)AB＝x，且AB＝ND＝x．∵梯子的傾斜角∠BPN為45°，∴△BNP為等腰直角三角形，△PNM為等邊三角形（180﹣45﹣75＝60°，梯子長(zhǎng)度相同），∠MND＝15°．∵∠APM＝75°，∴∠AMP＝15°．∴cos15°=x∵△PNM為等邊三角形，∴NM＝PM．∴x＝MA＝c．即乙房間的寬AB是c．9． （1）如圖1，已知△ABC，以AB、AC為邊分別向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連結(jié)BE、CD，猜想BE與CD有什么數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；（2）請(qǐng)模仿正方形情景下構(gòu)造全等三角形的思路，利用構(gòu)造全等三角形完成下題：如圖2，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B、E的距離，已經(jīng)測(cè)得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．【解答】（1）CD＝BE；（2）1003米【解析】（1）CD＝BE．理由：如圖①∵四邊形ABFD和四邊形ACGE都是正方形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠CAE＝90°，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）如圖②，在AB的外側(cè)作AD⊥AB，使AD＝AB，連結(jié)CD，BD，∴∠DAB＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°．∵∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠ABC＝45°+45°＝90°，即∠DBC＝90°．∴∠CAE＝90°，∴∠DAB＝∠CAE，∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠DAC＝∠BAE．在△ADC和△ABE中AD=AB∠DAC=∠BAE∴△ADC≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．∵AB＝100m，在直角△ABD中，由勾股定理，得BD＝1002．∴CD=1002∴BE＝CD＝1003，答：BE的長(zhǎng)為1003米．10．如圖，在等邊△ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時(shí)出發(fā)，分別以相同的速度由A向B和由C向A爬行，經(jīng)過(guò)7分鐘后，它們分別爬行到D、E處，設(shè)DC與BE的交點(diǎn)為點(diǎn)F．（1）求證：△ACD≌△CBE；（2）蝸牛在爬行過(guò)程中，DC與BE所成的∠BFC的大小有無(wú)變化？請(qǐng)證明你的結(jié)論．【解答】（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）證明：∵AB＝BC＝CA，兩只蝸牛速度相同，且同時(shí)出發(fā)，∴CE＝AD；∠A＝∠BCE＝60°，在△ACD與△CBE中，AC=CB∠A=∠BCE∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）DC和BE所成的∠BFC的大小不變．理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴∠BFC＝180°﹣∠FBC﹣∠BCD＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD＝120°．11．淇淇同學(xué)沿一段筆直的人行道行走，在由A處步行到達(dá)B處的過(guò)程中，通過(guò)隔離帶的空隙O，剛好瀏覽完對(duì)面人行道宣傳墻上的社會(huì)主義核心價(jià)值觀標(biāo)語(yǔ)，其具體信息匯集如下：如圖，AB∥OH∥CD，相鄰兩平行線間的距離相等，AC，BD相交于O，OD⊥CD．垂足為D，已知AB＝20米，請(qǐng)根據(jù)上述信息求標(biāo)語(yǔ)CD的長(zhǎng)度．【解答】20m【解析】∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∵OD⊥CD，∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即OB⊥AB，∵相鄰兩平行線間的距離相等，∴OD＝OB，在△ABO與△CDO中，∠ABO=∠CDOOB=OD∴△ABO≌△CDO（ASA），∴CD＝AB＝20（m）．12．對(duì)給定的一張矩形紙片ABCD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上（如圖①），再沿CH折疊，這時(shí)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合（如圖②）（1）根據(jù)以上操作和發(fā)現(xiàn)，求CDAD（2）將該矩形紙片展開．①如圖③，折疊該矩形紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)H重合，折痕與AB相交于點(diǎn)P，再將該矩形紙片展開．求證：∠HPC＝90°；②不借助工具，利用圖④探索一種新的折疊方法，找出與圖③中位置相同的P點(diǎn)，要求只有一條折痕，且點(diǎn)P在折痕上，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明折疊方法．（不需說(shuō)明理由）【解答】（1）CDAD【解析】（1）由圖①，可得∠BCE=12∠又∵∠B＝90°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BCEC=cos45°=22，即由圖②，可得CE＝CD，而AD＝BC，∴CD=2AD∴CDAD（2）①設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD=2a，BE＝a∴AE＝（2?1）a如圖③，連接EH，則∠CEH＝∠CDH＝90°，∵∠BEC＝45°，∠A＝90°，∴∠AEH＝45°＝∠AHE，∴AH＝AE＝（2?1）a設(shè)AP＝x，則BP=2a﹣x，由翻折可得，PH＝PC，即PH2＝PC2∴AH2+AP2＝BP2+BC2，即[（2?1）a]2+x2＝（2a﹣x）2+a2解得x＝a，即AP＝BC，又∵PH＝CP，∠A＝∠B＝90°，∴Rt△APH≌Rt△BCP（HL），∴∠APH