專題10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型（原卷版）

專題10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型與三角板模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何導(dǎo)角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題“8”字模型、“A”字模型與三角板模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1、“8”字模型圖1圖28字模型（基礎(chǔ)型）條件：如圖1，AD、BC相交于點(diǎn)O，連接AB、CD；結(jié)論：①；②。8字模型（加角平分線）條件：如圖2，線段AP平分∠BAD，線段CP平分∠BCD；結(jié)論：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖是某工人加工的一個(gè)機(jī)器零件（數(shù)據(jù)如圖），經(jīng)過測(cè)量不符合標(biāo)準(zhǔn)．標(biāo)準(zhǔn)要求是：，且、、保持不變?yōu)榱诉_(dá)到標(biāo)準(zhǔn)，工人在保持不變情況下，應(yīng)將圖中（填“增大”或“減小”）度．例2．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度數(shù)．例3．（2022秋·安徽淮北·八年級(jí)校考期中）“字”的性質(zhì)及應(yīng)用：(1)如圖相交于點(diǎn)，得到一個(gè)“字”，試說明的理由；(2)如圖，以圖中給的字母為頂點(diǎn)的“字”有多少個(gè)；(3)如圖和的平分線相交于點(diǎn)，利用(1)中的結(jié)論試說明的理由．例4．（2023·成都市·八年級(jí)月考）如圖，AC、BD是四邊形ABCD的對(duì)角線，且AC、BD相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．例5．（2023春·廣東深圳·七年級(jí)部?？计谥校┨骄款}(1)如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，則，，，四個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是______；(2)如圖2，若，的角平分線，交于點(diǎn)，則與，的數(shù)量關(guān)系為______；(3)如圖3，，分別平分，，當(dāng)時(shí)，試求的度數(shù)（提醒：解決此問題可以直接利用上述結(jié)論）；(4)如圖4，如果，，當(dāng)時(shí)，則的度數(shù)為______．模型2、“A”字模型結(jié)論：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖是某建筑工地上的人字架，若，那么的度數(shù)為．例2．（2023·重慶·八年級(jí)期中）如圖，在中，，若按圖中虛線剪去，則等于（）A． B． C． D．例3．（2023秋·廣西·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，的兩邊上各有一點(diǎn)，連接，求證．例4．（2023·廣東八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知在中，，現(xiàn)將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經(jīng)過點(diǎn)，直角頂點(diǎn)D落在的內(nèi)部，則（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·新疆阿克蘇·八年級(jí)統(tǒng)考期末）探索歸納：(1)如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如圖2，已知中，，剪去后形成四邊形，則度．(3)如圖2，根據(jù)上面的求解過程，猜想與的關(guān)系是．(4)如圖3，若沒有剪掉，而是把它折成如圖3的形狀，請(qǐng)猜想與的關(guān)系是．例6．（2023春·浙江七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）利用“模型”解決幾何綜合問題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．模型3、三角板模型【模型解讀】由一副三角板拼湊出的幾個(gè)圖形我們稱他們?yōu)槿前迥Ｐ?。圖①中：∠A=30°，∠C=60°，圖②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川成都·七年級(jí)校考期末）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個(gè)銳角為的直角三角形，一個(gè)銳角為的直角三角形）的直角頂點(diǎn)重合并如圖疊放，當(dāng)，則（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)校考期末）將一副三角尺按如圖所示的方式疊放，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）將一副三角板如圖擺放，若，點(diǎn)F在邊上，頂點(diǎn)A，C，D在同一直線上，則下列角的大小為的是（

）A． B． C． D．例4．（2023春·江蘇無(wú)錫·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如圖，將三角板的頂點(diǎn)E放在上，移動(dòng)三角板，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A沿向點(diǎn)B移動(dòng)的過程中，點(diǎn)E、C、D始終保持在一條直線上．下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②逐漸變?。虎廴糁本€與直線交于點(diǎn)M，則為定值；④若的一邊與的某一邊平行，則符合條件的點(diǎn)E的位置有3個(gè)．正確的有．（填序號(hào)）

例5．（2023春·湖南衡陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一副三角板如圖1擺放，，，，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（當(dāng)點(diǎn)落在射線上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)），設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒．

(1)當(dāng)______秒時(shí)，；當(dāng)______秒時(shí)，；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，與的交點(diǎn)記為，如圖2，若有兩個(gè)內(nèi)角相等，求的值；(3)當(dāng)邊與邊、分別交于點(diǎn)、時(shí)，如圖3，連接，設(shè)，，，試問是否為定值？若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022秋·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如果將一副三角板按如圖方式疊放，那么等于（

）A． B． C． D．2．（2023·廣西南寧·七年級(jí)校考階段練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，，，小明得到下列結(jié)論：①如果，則；②；③如果，則；④如果，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．（2023春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一副三角板如圖擺放，且，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．4．（2023·河北邯鄲·統(tǒng)考一模）如圖，已知在中，，若沿圖中虛線剪去，則的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．5．（2022春·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，沿圖中虛線截去，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．6．（2022秋·河南商丘·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖所示，五條線段首尾相連形成的圖形中，，則等于（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·湖北武漢·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在由線段組成的平面圖形中，，則的度數(shù)為（

）．A． B． C． D．8．（2023·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，將一副直角三角板如圖放置，．若邊經(jīng)過點(diǎn)D，則．9．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．10．（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，若，則．11．（2023·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考期末）已知如圖，∠COD＝90°，直線AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線OE與射線AF交于點(diǎn)G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝°．（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，則∠OGA＝°．（3）將（2）中的“∠OBA＝36°”改為“∠OBA＝α”，其它條件不變，求∠OGA的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）（4）若OE將∠BOA分成1：4兩部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度數(shù)．（用含α的代數(shù)式表示）12．（2023春·江西南昌·七年級(jí)南昌二中校考期末）問題情景：如圖1，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別位于一塊直角三角板的兩條直角邊，點(diǎn)A與點(diǎn)P在直線的同側(cè)，若點(diǎn)P在內(nèi)部，與的大小是否滿足某種確定的數(shù)量關(guān)系？

(1)特殊探究：若，則度，度，度；(2)類比探索：請(qǐng)猜想與的關(guān)系，并說明理由；(3)類比延伸：改變點(diǎn)A的位置，使點(diǎn)P在外，其它條件都不變（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說明理由，請(qǐng)直接寫出與滿足的數(shù)量關(guān)系式．13．（2022春·山西晉城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：凸四邊形的性質(zhì)研究如果把某個(gè)四邊形的任何一邊向兩端延長(zhǎng)，其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凸四邊形，凸四邊形是我們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的圖形，它有一個(gè)非常有趣的性質(zhì)：任意凸四邊形被對(duì)角線分成的兩對(duì)對(duì)頂三角形的面積之積相等，例如，在圖①中，凸四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且，的面積分別為則有，證明過程如下：…任務(wù)：(1)請(qǐng)將材料中的證明過程補(bǔ)充完整；(2)如圖②，任意凸四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，分別記的面積為，求證：(3)如圖③，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，則四邊形的面積為___________．14．（2022·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，AB、CD相交于點(diǎn)O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度數(shù)；(2)若直線BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直線BF于M，求∠BMC的度數(shù)．

15．（2023·廣東湛江·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題情景：如圖①，有一塊直角三角板放置在上（點(diǎn)在內(nèi)），三角板的兩條直角邊、恰好分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)．探究與是否存在某種確定的數(shù)量關(guān)系．(1)特殊探究：若，則____度，____度，____度；(2)類比探索：請(qǐng)?zhí)骄颗c的關(guān)系；(3)類比延伸：如圖②，改變直角三角板的位置，使點(diǎn)在外，三角板的兩條直角邊、仍然分別經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，（2）中的結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請(qǐng)直接寫出你的結(jié)論，并說明理由．16．（2023·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）(1)如圖①，已知△ABC為直角三角形，∠A＝90°，若沿圖中虛線剪去∠A，則∠1＋∠2等于()A．90°

B．135°

C．270°

D．315°(2)如圖②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四邊形，則∠1＋∠2＝________°；(3)根據(jù)(1)與(2)的求解過程，請(qǐng)你歸納猜想∠1＋∠2與∠A的關(guān)系是______________．17．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，與的角平分線交于點(diǎn)．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)直接寫出，，的數(shù)量關(guān)系；(3)若與的大小發(fā)生變化，（2）的結(jié)論是否仍然成立？若成立，說明理由，若不成立，寫出成立的式子．18．（2022秋·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示，有一塊直角三角板足夠大，其中，把直角三角板放置在銳角上，三角板的兩邊、恰好分別經(jīng)過、．(1)若，則______，______，______(2)若，則______．（寫出求解過程）(3)請(qǐng)你猜想一下與所滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．19．（2023春·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）如圖①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)；（2）如圖②，求