數(shù)學版知識導航：任意角的三角函數(shù)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。2任意角的三角函數(shù)知識梳理1.任意角的三角函數(shù)（1）定義:如圖1—2-圖1-2-1sinα=，cosα=；tanα=;cotα=;secα=；cscα=。對于每一個確定的α,都分別有唯一確定的正弦值、余弦值、正切值、余切值、正割值、余割值與之對應，所以這六個對應法則都是以角α為自變量的函數(shù)，分別叫做正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)，這六個函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).(2)定義域正弦函數(shù)sinα的定義域是R；余弦函數(shù)cosα的定義域是R;正切函數(shù)tanα的定義域是{α|α≠kπ+,k∈Z}.2。三角函數(shù)值的符號（1)用圖形表示：如圖1—圖1(2）用表格表示x的終邊x軸正半軸第一象限y軸正半軸第二象限x軸負半軸第三象限y軸負半軸第四象限sinα0+++—-—-cosα++0——-0+tanα0+不存在-0+不存在-(3)三角函數(shù)值在各象限的符號的記憶方法：三角函數(shù)值在各象限的符號可用以下口訣記憶：“一全正，二正弦，三兩切，四余弦”。其含義是在第一象限各三角函數(shù)值全為正，在第二象限只有正弦值為正，在第三象限只有正、余切值為正，在第四象限只有余弦值為正(這里說的三角函數(shù)值不指正割和余割函數(shù))。3。單位圓與三角函數(shù)線（1)單位圓：圓心在原點O,半徑等于1的圓稱為單位圓。(2）三角函數(shù)線如圖1—圖1過點P作x軸的垂線PM，垂足為M，過A作單位圓的切線交OP的延長線(或反向延長線)于T點,這樣就有sinα=MP，cosα=OM,tanα=AT。單位圓中的有向線段MP、OM、AT分別叫做角α的正弦線、余弦線、正切線。當角α的終邊落在x軸上時,M與P重合，A與T重合,此時正弦線、正切線分別變成一個點;當角α的終邊在y軸上時，O與M重合，余弦線變成一個點,過A的切線平行于y軸,不能與角α的終邊相交，所以此時正切線不存在。（3)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號：(如圖123)正弦線、正切線的方向同y軸一致,向上為正，向下為負；余弦線的方向同x軸一致，向右為正,向左為負.三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對值.4。同角三角函數(shù)的基本關系（1）基本關系式:sin2α+cos2α=1；tanα=.還可以了解下面關系式(不要求掌握)：1+tan2α=sec2α；1+cot2α=csc2α；cotα=；tanα·cotα=1；sinα·cscα=1;cosα·secα=1。（2)基本關系式成立的條件:當α∈R時，sin2α+cos2α=1成立；當α≠kπ+(k∈Z)時，=tanα成立.(3）基本關系式的變形sin2α+cos2α=1的變形：1=sin2α+cos2α;sin2α=1-cos2α；cos2α=1-sin2α；sinα=±；cosα=±。tanα=的變形：sinα=cosαtanα；cosα=.5。誘導公式（1)α與2kπ+α(k∈Z）的三角函數(shù)間的關系:cos（2kπ+α)=cosα,sin（2kπ+α）=sinα,tan(2kπ+α）=tanα。(2）α與—α的三角函數(shù)間的關系：cos（—α）=cosα,sin（-α)=-sinα，tan（—α)=—tanα。(3)α與(2k+1)π+α（k∈Z）的三角函數(shù)間的關系:cos[(2k+1)π+α]=-cosα,sin［（2k+1）π+α］=-sinα，tan［(2k+1）π+α］=tanα.特別地：cos（π+α)=-cosα,sin（π+α)=-sinα，tan（π+α)=tanα。(4)α與+α的三角函數(shù)間的關系:cos（+α）=—sinα,sin（+α）=cosα，tan（+α)=—cotα.(5)α與—α的三角函數(shù)間的關系：cos（-α）=sinα,sin(-α）=cosα,tan(-α）=cotα。知識導學1。學好本節(jié)要復習初中學過的銳角三角函數(shù)，本節(jié)是銳角三角函數(shù)的補充和延伸。2.善于利用三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的符號規(guī)律解決三角問題.3.在運用誘導公式時,要仔細體會其中的轉化與化歸的數(shù)學思想，并在解題過程中自覺應用。4.誘導公式的記憶方法(1）(2)（3)組可用口訣“函數(shù)名不變,符號看象限”記憶，其中“函數(shù)名改變”是指等式兩邊的三角函數(shù)同名，“符號”是指等號右邊是正號還是負號，“看象限"是指把α看成銳角時原三角函數(shù)值的符號.（4)(5）組可用口訣“函數(shù)名改變,符號看象限”記憶,“函數(shù)名改變”是指把函數(shù)名變?yōu)樵瘮?shù)的余名三角函數(shù),即正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切?！胺柨聪笙蕖蓖?。因為任意一個角都可以表示為k·+α(其中|α|＜)的形式，所以以上五組誘導公式就可以把任意角的三角函數(shù)求值問題轉化為0—之間角的三角函數(shù)求值問題.2kπ+α、-α、（2k+1）π+α、+α、—α(k∈Z)都可以化為k·+α的形式，則這五組誘導公式也可以統(tǒng)一用口訣“奇變偶不變，符號看象限”來記憶，即k·+α(k∈Z）的三角函數(shù)值，當k為偶數(shù)時，得α的同名三角函數(shù)值；當k為奇數(shù)時，得α的余名三角函數(shù)值，然后前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,口訣中的奇偶指k的奇偶.5。誘導公式的選擇方法：先用-α化為正角，再用2kπ+α(k∈Z）化為［0,2π)內的角，然后用π+α，+α化為銳角的三角函數(shù),還可繼續(xù)用—α化為[0，）內的角的三角函數(shù)。由此看,利用誘導公式能將任意角的三角函數(shù)化為銳角（或更小角)的三角函數(shù)，也就是說：誘導公式真是好，負化正后大化小。疑難突破1。在三角函數(shù)定義中,為什么三角函數(shù)值與點P在角α終邊上的位置無關,只依賴于角α的大小？剖析:很多同學對此產生質疑，突破這個疑點的途徑是聯(lián)系相似三角形的知識來分析。設P0（x0、y0)是角α終邊上的另一點，|OP0|=r0，由相似三角形的知識可知，只要點P0在α終邊上,總有=，=，=,=,=，=.因此所得的比值都對應相等，所以三角函數(shù)值只依賴于角α的終邊的位置即α的大小，而與點P在角α終邊上的位置無關.2.三角函數(shù)線有何作用？剖析：難點是學習了三角函數(shù)線后，感到三角函數(shù)線沒有什么用處，其實不然.其突破的路徑是從形的角度看待三角函數(shù)線,三角函數(shù)線是當點P為終邊與單位圓交點時，三角函數(shù)值的直觀表達形式。三角函數(shù)線的方向和長短直觀反映了三角函數(shù)值的符號和絕對值的大小，從三角函數(shù)線的方向可看出三角函數(shù)值的符號，從三角函數(shù)線的長度可看出三角函數(shù)值的絕對值大小.由此可知，三角函數(shù)線的形成反映了由一般到特殊的應用過程；用三角函數(shù)線表示三角函數(shù)反映了變換與轉化、數(shù)形的結合與分離的思想方法。三角函數(shù)在各象限的符號，除從各象限點的坐標的符號及結合三角函數(shù)的定義來記憶之外,也可以根據(jù)畫出的三角函數(shù)線的方向記憶。三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時它也是學習三角函數(shù)的圖象與性質的基礎.例如：求函數(shù)y=log2(sinx）的定義域。思路解析:轉化為解不等式sinx＞0.答案：要使函數(shù)有意義，x的取值需滿足sinx＞0.如圖1—2—圖1則有sinx=MP＞0。∴的