高一數(shù)學(xué)下冊期末考點大串講(人教A版)第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(知識點串講)特訓(xùn)（學(xué)生版+解析）

第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用【知識梳理】一、實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可達∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解兩個直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距離山兩側(cè)∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河兩岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sinα＋β)河對岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sinβ＋δ)；在△ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB2．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖①)．3．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等．【考點精煉】考點一：高度問題（已知仰角或俯角）例1、(2019·山東青島月考)如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB＝________.練習(xí)1、(2019·河北衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為________m.求解高度問題的3個注意點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．考點二：高度問題（已知方位角或方向角）例2、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m.考點三：距離問題例3、(2019·山東臨沂聯(lián)考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)訓(xùn)練3、如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計算AB的長．求解距離問題的一般步驟(1)畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題．(2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形對于解答題，應(yīng)作答．考點四：角度問題例4、如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________.訓(xùn)練4、(2019·山西大同聯(lián)考)在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東________，速度的大小為________km/h.解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．訓(xùn)練5、(2019·河南安陽調(diào)研)如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2nmile的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．第2講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用【知識梳理】一、實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達∠ACB＝α，BC＝a解直角三角形AB＝atanα底部不可達∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a解兩個直角三角形AB＝eq\f(atanαtanβ,tanβ－tanα)求水平距離山兩側(cè)∠ACB＝α，AC＝b，BC＝a用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)河兩岸∠ACB＝α，∠ABC＝β，CB＝a用正弦定理AB＝eq\f(asinα,sinα＋β)河對岸∠ADC＝α，∠BDC＝β，∠BCD＝δ，∠ACD＝γ，CD＝a在△ADC中，AC＝eq\f(asinα,sinα＋γ)在△BDC中，BC＝eq\f(asinβ,sinβ＋δ)；在△ABC中，應(yīng)用余弦定理求AB2．仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方時叫仰角，目標視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖①)．3．方位角和方向角(1)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②)．(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°等．【考點精煉】考點一：高度問題（已知仰角或俯角）例1、(2019·山東青島月考)如圖所示，D，C，B三點在地面的同一條直線上，DC＝a，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60°，30°，則A點離地面的高度AB＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)a[由已知得∠DAC＝30°，△ADC為等腰三角形，AD＝eq\r(3)a，所以在Rt△ADB中，AB＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(3),2)a.]練習(xí)1、(2019·河北衡水模擬)如圖，為了測量河對岸電視塔CD的高度，小王在點A處測得塔頂D的仰角為30°，塔底C與A的連線同河岸成15°角，小王向前走了1200m到達M處，測得塔底C與M的連線同河岸成60°角，則電視塔CD的高度為________m.【答案】600eq\r(2)[在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得eq\f(AM,sin∠MCA)＝eq\f(AC,sin∠AMC)，即eq\f(1200,\f(\r(2),2))＝eq\f(AC,\f(\r(3),2))，解得AC＝600eq\r(6).在△ACD中，∵tan∠DAC＝eq\f(DC,AC)＝eq\f(\r(3),3)，∴DC＝600eq\r(6)×eq\f(\r(3),3)＝600eq\r(2).]求解高度問題的3個注意點(1)在處理有關(guān)高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關(guān)鍵．(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯．(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．考點二：高度問題（已知方位角或方向角）例2、如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝______m.【答案】100eq\r(6)[由題意，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.又AB＝600m，故由正弦定理得eq\f(600,sin45°)＝eq\f(BC,sin30°)，解得BC＝300eq\r(2)m.在Rt△BCD中，CD＝BC·tan30°＝300eq\r(2)×eq\f(\r(3),3)＝100eq\r(6)(m)．]考點三：距離問題例3、(2019·山東臨沂聯(lián)考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為67°，30°，此時氣球的高是46m，則河流的寬度BC約等于________m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位．參考數(shù)據(jù)：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，eq\r(3)≈1.73)【答案】60[如圖，過點A作AD垂直于CB的延長線，垂足為D，則在Rt△ABD中，∠ABD＝67°，AD＝46，AB＝eq\f(46,sin67°).在△ABC中，根據(jù)正弦定理得BC＝eq\f(ABsin37°,sin30°)＝46×eq\f(sin37°,sin67°sin30°)≈60.]訓(xùn)練3、如圖所示，要測量一水塘兩側(cè)A，B兩點間的距離，其方法先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)緯儀測出角α，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離，即AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα).若測得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，試計算AB的長．解在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000，∴AB＝200eq\r(7)(m)，即A，B兩點間的距離為200eq\r(7)m.求解距離問題的一般步驟(1)畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化成三角形問題．(2)明確所求的距離在哪個三角形中，有幾個已知元素．(3)使用正弦定理、余弦定理解三角形對于解答題，應(yīng)作答．考點四：角度問題例4、如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40nmile的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20nmile的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，則cosθ的值為________.【答案】eq\f(\r(21),14)[在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2800，得BC＝20eq\r(7).由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠ACB)＝eq\f(BC,sin∠BAC)，即sin∠ACB＝eq\f(AB,BC)·sin∠BAC＝eq\f(\r(21),7).由∠BAC＝120°，知∠ACB為銳角，則cos∠ACB＝eq\f(2\r(7),7).由θ＝∠ACB＋30°，得cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACBcos30°－sin∠ACBsin30°＝eq\f(\r(21),14).]訓(xùn)練4、(2019·山西大同聯(lián)考)在一次抗洪搶險中，某救生艇發(fā)動機突然發(fā)生故障停止轉(zhuǎn)動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風(fēng)向是北偏東30°，風(fēng)速是20km/h；水的流向是正東，流速是20km/h，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向為北偏東________，速度的大小為________km/h.【答案】60°20eq\r(3)[如圖，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos120°＝1200，故OC＝20eq\r(3)，∠COy＝30°＋30°＝60°.]解決測量角度問題的注意事項(1)首先應(yīng)明確方位角或方向角的含義．(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．(3)將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，注意正弦、余弦定理的“聯(lián)袂”使用．訓(xùn)練5、(2019·河南安陽調(diào)研)如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3)－1)nmile的B處有一艘走私船．在A處北偏西75°方向，距A處2nmile的C處的我方緝私船奉命以10eq\r(3)nmile/h的速度追截走私船，此時走私船正以10nmile/h的速度從B處向北偏東30°方向逃竄．問：緝私船沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間．解設(shè)緝私船應(yīng)沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲(在D點)走私船，則CD＝10eq\r(3)tnmile，BD＝10tnmile，在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝(eq\r(3)－1)2＋22－2(eq\r(3)－1)×2×cos120°＝6，解得BC＝eq\r(6).又∵eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，∴sin∠ABC＝eq\f(AC·sinA,BC)＝eq\f(2×sin120°,\r(6))＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABC＝45°，故