人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)同步專題24.3正多邊形與圓(分層作業(yè))【原卷版+解析】

基礎(chǔ)訓(xùn)練1．如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．2．如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）A．5 B．6 C．30 D．363．如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．4．如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．35．一個(gè)正多邊形的半徑與邊長(zhǎng)相等，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．86．下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最小的是（

）A．B．C．D．7．有一個(gè)正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．108．如圖，將正六邊形放在直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．9．第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為度．（寫出一個(gè)即可）10．一個(gè)圓的半徑為5，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為．11．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為．12．斛是中國(guó)古代的一種量器.據(jù)《漢書.律歷志》記載：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是說(shuō)：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓”.如圖所示，問(wèn)題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的邊長(zhǎng)為尺．13．如圖，正六邊形內(nèi)接于，求的度數(shù)．14．如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6cm，求這個(gè)正六邊形的邊心距r6、面積S6．能力提升1．設(shè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為、、，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．2．連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．四邊形ABCH與四邊形EFGH的周長(zhǎng)相等 B．連接HD，則HD平分∠CHEC．整個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形 D．是等邊三角形3．某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊形，六邊形邊長(zhǎng)為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案，我們以6支彩鉛為例，可以設(shè)計(jì)如圖的兩種收納方案：（1）如果要裝6支彩鉛，在以上兩種方案里，你認(rèn)為更小的底面積是cm.（2）如果你要裝12只彩鉛，要求相鄰彩鉛拼接無(wú)空隙，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最佳的布局，并使用圓形來(lái)設(shè)計(jì)底面，則底面半徑的最小值為cm.拔高拓展1．如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長(zhǎng)為6，將每條邊三等分，沿每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)等分點(diǎn)連線剪下6個(gè)小三角形（如圖1中6個(gè)陰影部分的三角形），把剪下的這6個(gè)小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長(zhǎng)之比為3：2：；③圖3中正六邊形的邊上任意一點(diǎn)到⊙O上任意一點(diǎn)的最大距離為4+．以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①2．如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中∠MON的度數(shù)是（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系是____

基礎(chǔ)訓(xùn)練1．如圖，與正五邊形的兩邊，相切于，兩點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【詳解】解：∵、切于點(diǎn)A、C，∴，，∴正五邊形的每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為：，∴，故選：A．2．如圖，若一個(gè)正六邊形的對(duì)角線的長(zhǎng)為10，則正六邊形的周長(zhǎng)（）A．5 B．6 C．30 D．36【詳解】解：如圖，連接、，交于點(diǎn)，則點(diǎn)是正六邊形的中心，∵六邊形是正六邊形，，∴，，∴是等邊三角形，，∴正六邊形的周長(zhǎng)為，故選：C．3．如圖，正六邊形內(nèi)接于⊙，若⊙的周長(zhǎng)等于，則正六邊形的邊長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．【詳解】解：連接OB，OC，∵⊙O的周長(zhǎng)等于6π，∴⊙O的半徑為：3，∵∠BOC360°＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC＝OB＝3，∴它的內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為3，故選：C．4．如圖，已知⊙O的周長(zhǎng)等于6π，則該圓內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊心距OG為（）A．3 B． C． D．3【詳解】∵圓O的周長(zhǎng)為，設(shè)圓的半徑為R，∴∴R=3連接OC和OD，則OC=OD=3∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠COD=，∴△OCD是等邊三角形，OG垂直平分CD，∴OC=OD=CD，∴故選C5．一個(gè)正多邊形的半徑與邊長(zhǎng)相等，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．8【詳解】解：如圖，由題意得：，是等邊三角形，，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，故選：C．6．下列圖形中，正多邊形內(nèi)接于半徑相等的圓，其中正多邊形周長(zhǎng)最小的是（

）A．B．C．D．【詳解】解：圓的內(nèi)接正多邊形邊數(shù)越多，越接近圓的周長(zhǎng)，正多邊形周長(zhǎng)越長(zhǎng)，故選：A．7．有一個(gè)正n邊形的中心角是36°，則n為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【詳解】解：，故選：D．8．如圖，將正六邊形放在直角坐標(biāo)系中，中心與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B．C． D．【詳解】解：連接，設(shè)交軸于，如圖所示，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，由正六邊形是軸對(duì)稱圖形知：在中，，．，，，故選：A．9．第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素．如圖，這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角后能夠與它本身重合，則角可以為度．（寫出一個(gè)即可）【詳解】解：這個(gè)圖案對(duì)應(yīng)著如圖所示的一個(gè)正六邊形，它的中心角，，角可以為或或或或，故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）．10．一個(gè)圓的半徑為5，則該圓的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)為．【詳解】解：如圖所示：的半徑為5，∵四邊形是正方形，，∴是的直徑，∴，∵，，∴，解得：，即⊙O的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)等于．故答案為．11．如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，連接AC，若正六邊形的邊長(zhǎng)為2，則點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為．【詳解】解：連接OA、OC、OD，如圖所示：∵點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF的中心，邊長(zhǎng)為2，∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD60°，AB＝BC＝CD＝2，∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等邊三角形，∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，∵OG⊥AC，∴OGOC＝1，即點(diǎn)O到AC的距離OG的長(zhǎng)為1，故答案為：1．12．斛是中國(guó)古代的一種量器.據(jù)《漢書.律歷志》記載：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是說(shuō)：“斛的底面為：正方形外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓”.如圖所示，問(wèn)題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸（即2.5尺），“庣旁”為兩寸五分（即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺），則此斛底面的正方形的邊長(zhǎng)為尺．【詳解】解：如圖，∵四邊形CDEF為正方形，∴∠D=90°，CD=DE，∴CE是直徑，∠ECD=45°，根據(jù)題意得：AB=2.5，，∴，∴，即此斛底面的正方形的邊長(zhǎng)為尺．故答案為：13．如圖，正六邊形內(nèi)接于，求的度數(shù)．【詳解】解：正六邊形內(nèi)接于，是直徑，14．如圖，已知⊙O內(nèi)接正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6cm，求這個(gè)正六邊形的邊心距r6、面積S6．【詳解】解：如下圖所示，連接OB，設(shè)OG⊥CB于G，∵六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，∴∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等邊三角形，∴OC＝OB＝6cm，即⊙O的半徑R＝6cm，∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，∴，在Rt△COG中，（cm），∴（cm2）．能力提升1．設(shè)邊長(zhǎng)為的等邊三角形的高、內(nèi)切圓的半徑、外接圓的半徑分別為、、，則下列結(jié)論不正確的是（

）

A． B． C． D．【詳解】

如圖所示,標(biāo)上各點(diǎn)，AO為R，OB為r，AB為h，從圖象可以得出AB=AO+OB，即，A正確；∵三角形為等邊三角形，∴∠CAO=30°，根據(jù)垂徑定理可知∠ACO=90°，∴AO=2OC，即R=2r，B正確；在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即，由B中關(guān)系可得：，解得，則，所以C錯(cuò)誤，D正確；故選：C．2．連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．四邊形ABCH與四邊形EFGH的周長(zhǎng)相等 B．連接HD，則HD平分∠CHEC．整個(gè)圖形不是中心對(duì)稱圖形 D．是等邊三角形【詳解】解：A．∵根據(jù)正八邊形的性質(zhì)，四邊形ABCH與四邊形EFGH能夠完全重合，即四邊形ABCH與四邊形EFGH全等∴四邊形ABCH與四邊形EFGH的周長(zhǎng)相等，故選項(xiàng)正確，不符合題意；B．連接DH，如圖1，∵正八邊形是軸對(duì)稱圖形，直線HD是對(duì)稱軸，∴HD平分∠CHE故選項(xiàng)正確，不符合題意；C．整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)正確，不符合題意；D．∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，設(shè)正八邊形的中心是O，連接EO、DH，如圖2，∠DOE＝∵OE＝OH∴∠OEH＝∠OHE＝∠DOE＝22.5°∴∠CHE＝2∠OHE＝45°∴∠HCE＝∠HEC＝（180°－∠CHE）＝67.5°∴不是等邊三角形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意．故選：D．3．某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊形，六邊形邊長(zhǎng)為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案，我們以6支彩鉛為例，可以設(shè)計(jì)如圖的兩種收納方案：（1）如果要裝6支彩鉛，在以上兩種方案里，你認(rèn)為更小的底面積是cm.（2）如果你要裝12只彩鉛，要求相鄰彩鉛拼接無(wú)空隙，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最佳的布局，并使用圓形來(lái)設(shè)計(jì)底面，則底面半徑的最小值為cm.【詳解】解：（1）如圖1，在正六邊形中，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥OA，過(guò)C作CN⊥OA，∵正六邊形的邊長(zhǎng)為1，∠ABC=∠BCO=，∴∠BAM=，∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，∴AM==，四邊形BMNC是矩形，∴MN=BC=1，同理ON=，∴OA=AM+MN+ON=2，如圖2中，圓的半徑為3，∴底面積為9π（）；如圖3中，連接OA，OD，OB∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°∴OA=OB=2OD=4cm，∴(cm)，∴等邊三角形的邊長(zhǎng)AC=4cm，∴底面積=（）<9π（）∴等邊三角形作為底面積時(shí)，面積較小，底面積為；（2）如圖4中，設(shè)計(jì)方案如圖4所示，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥OE于H，在Rt△GHE中，∠HGE=，GE=1cm∴GH=cm，HE=（cm）∴OE=4（cm）在Rt△OET中，ET=1cm，OE=cm，∴（cm）∴底面半徑的最小值為cm，故答案為：拔高拓展1．如圖1所示的正六邊形（記為“圖形”）邊長(zhǎng)為6，將每條邊三等分，沿每個(gè)頂點(diǎn)相鄰的兩個(gè)等分點(diǎn)連線剪下6個(gè)小三角形（如圖1中6個(gè)陰影部分的三角形），把剪下的這6個(gè)小三角形拼接成圖2外輪廓所示的正六邊形（記為“圖形”），作出圖形的內(nèi)切圓⊙O，如圖3，得到如下結(jié)論：①圖1中剩余的多邊形（即空白部分）為正十二邊形；②把圖2中空白部分記作“圖形”，則圖形的周長(zhǎng)之比為3：2：；③圖3中正六邊形的邊上任意一點(diǎn)到⊙O上任意一點(diǎn)的最大距離為4+．以上結(jié)論正確的是（）A．②③ B．①③ C．② D．①【詳解】解：標(biāo)注字母如圖，過(guò)點(diǎn)作于，為的三等分點(diǎn)，為是三等分點(diǎn)，∵正六邊形的每一個(gè)內(nèi)角為∴中，，在中，，①不正確，圖形，邊長(zhǎng)為6，所以圖形的周長(zhǎng)為如圖，依題意可得則，依題意，是正六邊形，所以圖形的周長(zhǎng)為把圖2中空白部分記作“圖形”，由①可得，是正六邊形，所以圖形的周長(zhǎng)為∴圖形的周長(zhǎng)之比為=3：2：；故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交內(nèi)切圓于點(diǎn)，則即為所求，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得是等邊三角形，，，，，故③正確，故選A．2．如圖M、N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE、…、正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM＝CN，連接OM、ON（1）求圖1中∠MON的度數(shù)（2）圖2中∠MON的度數(shù)是，圖3中