2025屆河南省三門峽市靈寶市實驗高級中學高二數學第一學期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆河南省三門峽市靈寶市實驗高級中學高二數學第一學期期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．德國數學家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.2．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.3．在中，B=60°，，，則AC邊的長等于（）A. B.C. D.4．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間，后為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是（）A. B.C. D.5．紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品,其制作始于明朝正德年間.紫砂壺的壺型眾多,經典的有西施壺、掇球壺、石瓢壺、潘壺等.其中,石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺(即圓錐用平行于底面的平面截去一個錐體得到的).下圖給出了一個石瓢壺的相關數據(單位:cm),那么該壺的容量約為（）A.100 B.C.300 D.4006．已如雙曲線（，）的左、右焦點分別為，，過的直線交雙曲線的右支于A，B兩點，若，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.7．某校開學“迎新”活動中要把3名男生，2名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數為（）A.72 B.56C.48 D.368．已知為偶函數，且，則___________.9．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.10．為調查學生的課外閱讀情況，學校從高二年級四個班的182人中隨機抽取30人了解情況，若用系統抽樣的方法，則抽樣的間隔和隨機剔除的個數分別為（）A.6，2 B.2，3C.2，60 D.60，211．已知數列是等差數列，為數列的前項和，，，則（）A.54 B.71C.81 D.8012．已知拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，則拋物線的準線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．平面直角坐標系內動點M（）與定點F（4，0）的距離和M到定直線的距離之比是常數，則動點M的軌跡是___________14．若滿足約束條件，則的最大值為_________.15．設雙曲線C:的焦點為，點為上一點，，則為_____.16．已知，若共線，m+n＝__.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍18．（12分）已知等比數列{}的各項均為正數，，，成等差數列，，數列{}的前n項和，且.（1）求{}和{}的通項公式；（2）設，記數列{}的前n項和為.求證：.19．（12分）已知數列的前項和（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和20．（12分）已知單調遞增的等比數列滿足：,且是,的等差中項（1）求數列的通項公式；（2）若,,求21．（12分）已知數列的首項為，且滿足.（1）求證：數列為等比數列；（2）設，記數列的前項和為，求，并證明：.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且經過點.（1）求橢圓的方程；（2）經過點的直線與橢圓交于不同的兩點，，為坐標原點，若的面積為，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數學文化為背景，導數的幾何意義，根據函數的單調性比較函數值的大小，屬于中檔題型.2、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.3、B【解析】根據正弦定理直接計算可得答案.【詳解】由正弦定理，,得,故選：B.4、C【解析】先研究四個選項中圖象的特征，再對照小明上學路上的運動特征，兩者對應即可選出正確選項.【詳解】考查四個選項，橫坐標表示時間，縱坐標表示的是離開學校的距離，由此知，此函數圖象一定是下降的，由此排除A；再由小明騎車上學，開始時勻速行駛可得出圖象開始一段是直線下降型，又途中因交通堵塞停留了一段時間，故此時有一段函數圖象與x軸平行，由此排除D，之后為了趕時間加快速度行駛，此一段時間段內函數圖象下降的比較快，由此可確定C正確，B不正確故選C【點睛】本題考查函數的表示方法，關鍵是理解坐標系的度量與小明上學的運動特征，屬于基礎題.5、B【解析】根據圓臺的體積等于兩個圓錐的體積之差，即可求出【詳解】設大圓錐的高為，所以，解得故故選：B【點睛】本題主要考查圓臺體積的求法以及數學在生活中的應用，屬于基礎題6、A【解析】先作輔助線，設出邊長，結合題干條件得到，，利用勾股定理得到關于的等量關系，求出離心率.【詳解】連接，設，則根據可知，，因為，由勾股定理得：，由雙曲線定義可知：，，解得：，，從而，解得：，所以，，由勾股定理得：，從而，即該雙曲線的離心率為.故選：A7、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數為故選：A8、8【解析】由已知條件中的偶函數即可計算出結果，【詳解】為偶函數，且，.故答案為：89、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.10、A【解析】根據系統抽樣的方法即可求解.【詳解】從人中抽取人，除以,商余，故抽樣的間隔為，需要隨機剔除人.故選：A.11、C【解析】利用等差數列的前n項和公式求解.【詳解】∵是等差數列，，∴，得，∴.故選：C.12、D【解析】先求得拋物線的焦點坐標，再根據點F與圓上點的距離的最大值為6求解.【詳解】因為拋物線的焦點為F，且點F與圓上點的距離的最大值為6，所以，解得，所以拋物線準線方程為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據直接法，即可求軌跡.【詳解】解：動點與定點的距離和它到定直線的距離之比是常數，根據題意得，點的軌跡就是集合，由此得．將上式兩邊平方，并化簡，得所以，動點的軌跡是長軸長、短軸長分別為12、的橢圓故答案為：14、7【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象和直線在軸上的截距，確定目標函數的最優(yōu)解，代入即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數可化為，當直線過點點時，此時直線在軸上的截距最大，此時目標函數取得最大值，又由，解得，即,所以目標函數的最大值為.故答案為：.15、14【解析】利用雙曲線的定義求解即可【詳解】由，得，則，因為點為上一點，所以，因為，所以，解得或（舍去），故答案為：1416、【解析】根據空間向量平行的坐標運算求出m,n，進而求得答案.【詳解】由于，因為，所以存在，使得，于是，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求導，由到數值求出斜率，最后根據點斜式求出方程即可；（2）采用分離常數法，轉化為求新函數的值域即可.【小問1詳解】時，，，則，，所以在點處的切線方程為，即【小問2詳解】對任意的，恒成立，即，對任意的，令，即，則，因為，，所以當時，，在區(qū)間上單調遞減，當時，，在區(qū)間上單調遞增，則，所以18、（1）（2）證明見解析【解析】設等比數列的公比為，由，，成等差數列，解得．由，利用通項公式解得，可得．由數列的前項和，且，時，，化簡整理即可得出；（2），利用裂項求和方法、數列的單調性即可證明結論【小問1詳解】設等比數列的公比為，，，成等差數列，，即，化為：，解得，，即，解得，數列的前項和，且，時，，化為：，，數列是每項都為1的常數列，，化為【小問2詳解】證明：，數列的前項和為，19、（1）（2）【解析】（1）利用與的關系求數列的通項公式；（2）利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因為，故當時，，兩式相減得，又由題設可得，從而的通項公式為：；【小問2詳解】因為，，兩式相減得：所以.20、（1）；（2）【解析】（1）將已知條件整理變形為等比數列的首項和公比來表示，解方程組得到基本量，可得到通項公式（2）化簡通項得，根據特點求和時采用錯位相減法求解試題解析：（1）設等比數列的首項為，公比為，依題意，有2（）=+,代入,得=8,2分∴+=20∴解之得或4分又單調遞增，∴="2,"=2,∴=2n6分（2）,∴①8分∴②∴①-②得＝12分考點：1．等比數列通項公式；2．錯位相減求和21、（1）證明見解析（2），證明見解析【解析】（1）根據等比數列的定義證明；（2）由錯位相減法求得和，再由的單調性可證得不等式成立【小問1詳解】由得又，數列是以為首項，以為公比的等比數列.【小問2詳解】由（1）的結論有①②①②得：又為遞增數列，22、（1）；（2）或.【解析】（1）由離心率公式、將點代入橢圓方程得出橢圓的方程；（2）聯立橢圓和直線的方程，由判別式得出的范圍，再由韋達定理結合三角形面積公式得出