2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市二中數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆內(nèi)蒙古自治區(qū)包頭市二中數(shù)學高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，滿足a1=1，－=1，則an=（）A.2n－1 B.nC.2n－1 D.2n-13．已知向量，，且，則的值為（）A. B.C.或 D.或4．已知是橢圓兩個焦點，P在橢圓上，，且當時，的面積最大，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.5．已知直線過點，，則該直線的傾斜角是（）A. B.C. D.6．在等差數(shù)列中，已知，則數(shù)列的前9項和為（）A. B.13C.45 D.1177．已知雙曲線C的離心率為，，是C的兩個焦點，P為C上一點，，若△的面積為，則雙曲線C的實軸長為（）A.1 B.2C.4 D.68．等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.49．拋物線的焦點到準線的距離是A.2 B.4C. D.10．已知雙曲線的離心率為2，則（）A.2 B.C. D.111．直線與圓相交與A，B兩點，則AB的長等于（）A3 B.4C.6 D.112．已知空間向量，，，則（）A.4 B.-4C.0 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.14．無窮數(shù)列滿足：只要必有則稱為“和諧遞進數(shù)列”.已知為“和諧遞進數(shù)列”，且前四項成等比數(shù)列，，則=_________.15．不等式是的解集為______16．如圖，已知橢圓E的方程為(a>b>0)，A為橢圓的左頂點，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB＝30°，則橢圓的離心率等于________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，已知點，軸于點，是線段上的動點，軸于點，于點，與相交于點.（1）判斷點是否在拋物線上，并說明理由；（2）過點作拋物線的切線交軸于點，過拋物線上的點作拋物線的切線交軸于點，……，以此類推，得到數(shù)列，求，及數(shù)列的通項公式.18．（12分）如圖所示，四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離19．（12分）設函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.20．（12分）函數(shù)，.（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）給定函數(shù).（1）判斷函數(shù)f（x）的單調性，并求出f（x）的極值；（2）畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，無須說明理由（要求：坐標系中要標出關鍵點）；（3）求出方程的解的個數(shù).22．（10分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點睛】本題考查直線與圓的位置關系，充分必要條件，重點考查計算，理解能力，屬于基礎題型.2、A【解析】由題可得，利用與的關系即求.【詳解】∵a1=1，－=1，∴是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列，∴，即，∴當時，，當時，也適合上式，所以故選：A.3、C【解析】根據(jù)空間向量平行的性質得，代入數(shù)值解方程組即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.4、A【解析】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，即可解出【詳解】由題意知c＝3，當△F1PF2的面積最大時，點P與橢圓在y軸上的頂點重合，∵時，△F1PF2的面積最大，∴a＝＝，b＝∴橢圓的標準方程為故選：A5、C【解析】根據(jù)直線的斜率公式即可求得答案.【詳解】設該直線的傾斜角為，該直線的斜率，即.故選：C6、C【解析】根據(jù)給定的條件利用等差數(shù)列的性質計算作答【詳解】在等差數(shù)列中，因，所以.故選：C7、C【解析】由已知條件可得，，，再由余弦定理得，進而求其正弦值，最后利用三角形面積公式列方程求參數(shù)a，即可知雙曲線C的實軸長.【詳解】由題意知，點P在右支上，則，又，∴，，又，∴，則在△中，，∴，故，解得，∴實軸長為，故選：C.8、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質直接計算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B9、D【解析】因為拋物線方程可化為，所以拋物線的焦點到準線的距離是，故選D.考點：1、拋物線的標準方程；2、拋物線的幾何性質.10、D【解析】由雙曲線的性質，直接表示離心率，求.【詳解】由雙曲線方程可知，因為，所以，解得：，又，所以.故選：D【點睛】本題考查雙曲線基本性質，意在考查數(shù)形結合分析問題和解決問題能力，屬于中檔題型，一般求雙曲線離心率的方法：

直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.構造法：根據(jù)條件，可構造出的齊次方程，通過等式兩邊同時除以，進而得到關于的方程.11、C【解析】根據(jù)弦長公式即可求出【詳解】因為圓心到直線的距離為，所以AB的長等于故選：C12、A【解析】根據(jù)空間向量平行求出x,y，進而求得答案.【詳解】因為，所以存在實數(shù)，使得，則.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.14、7578【解析】根據(jù)新定義得數(shù)列是周期數(shù)列，從而易求得【詳解】∵成等比數(shù)列，，∴，又，為“和諧遞進數(shù)列”，∴，，，，…，∴數(shù)列是周期數(shù)列，周期為4∴故答案為：757815、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.16、【解析】首先利用橢圓的對稱性和為平行四邊形，可以得出、兩點是關于軸對稱，進而得到；設，，，從而求出，然后由，利用，求得，最后根據(jù)得出離心率【詳解】解：是與軸重合的，且四邊形為平行四邊形，所以、兩點的縱坐標相等，、的橫坐標互為相反數(shù)，、兩點是關于軸對稱的由題知：四邊形為平行四邊形，所以可設，，代入橢圓方程解得：設為橢圓的右頂點，，四邊形為平行四邊形對點：解得：根據(jù)：得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在拋物線上，理由見解析（2）,,.【解析】（1）根據(jù)直線的方程設出點的坐標，利用已知條件求出點的坐標即可判斷點是否在拋物線上；（2）設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令，即可求出，同理可以求出，設出直線的直線方程，與拋物線聯(lián)立，令即可求出的方程，若令，，即，故數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式.【小問1詳解】由已知條件得直線的方程為，設點，則，由直線的方程為可得點的坐標為，點滿足拋物線，則點是否在拋物線上；【小問2詳解】設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知，設的直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，解得，的直線方程為，則，即，由此可知設點，設直線方程為，將直線與拋物線聯(lián)立得，，其中，即，，解得，直線的方程為，即，令得，即直線過點，則直線的斜率為，直線的方程也可以表示為，即，令，，即，則，即數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，故.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）設與交點為，延長交的延長線于點，進而根據(jù)證明，再結合底面得，進而證明平面即可證明結論；（2）由得點到平面的距離等于點到平面的距離的，進而過作，垂足為，結合（1）得點到平面的距離等于，再在中根據(jù)等面積法求解即可.【小問1詳解】證明：設與交點為，延長交的延長線于點，因為四棱錐的底面為直角梯形，，所以，所以，因為為的中點，所以，因為所以，所以，所以，所以，又因為，所以，又因為，所以，所以，所以又因為底面，所以，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】解：由于，所以，點到平面的距離等于點到平面的距離的，因為平面平面，平面平面故過作，垂足為，所以，平面，所以點到平面的距離等于在中，，所以，點到平面的距離等于.19、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當時，，求出，可得答案；（2）設，，，，，設，求出利用單調性可得答案.【小問1詳解】當時，，則，所以單調遞增，又，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以.【小問2詳解】設，若，則，若，則，設，則，所以單調遞增，又，當時，，上單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數(shù)值域或最值的問題，一般都需要通過導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值來處理，特別的要根據(jù)所求問題，適時構造恰當?shù)暮瘮?shù)，再利用所構造函數(shù)的單調性、最值解決問題是常用方法，考查了學生分析問題、解決問題的能力.20、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數(shù)的符號變化，由此可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（2）構造函數(shù)，由題意可知恒成立，對實數(shù)分和兩種情況討論，利用導數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，.（i）當時，，函數(shù)在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數(shù)在上單調遞增；②當時，，當時，，函數(shù)單調遞增；當時，，函數(shù)單調遞減；綜上，可得，當時，函數(shù)在上單調遞增；當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數(shù)在上單調遞增，且.當時，，于是，函數(shù)在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，同時也考查了利用導數(shù)研究函數(shù)不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.21、（1）函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值，無極大值；（2）具體見解析；（3）具體見解析.【解析】（1）對函數(shù)求導，進而求出單調區(qū)間和極值；（2）結合（1），并代入幾個特殊點，再結合函數(shù)的變化趨勢作出圖象；（3）結合（2），采用數(shù)形結合的方法求得答案.【小問1詳解】，時，，單調遞減，時，，單調遞增，故函數(shù)在x=-1處取得極小值為，無極大值.【小問2詳解】作圖說明：由（1）可知函數(shù)先減后增，有極小值；描出極小值點，原點和點（1，e）；當時，函數(shù)增加得越來越快，當時，函數(shù)越來越接近于0.【小問3詳解】結合圖象可知，若，則方程有0個解；若，則方程有2個解；若或，則方程有1個解.22、（1）答案見解析（2）【解析】(1)求函數(shù)的定義域及導函數(shù)，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調性關系判斷函數(shù)的單調性；(2)結合已知條件，根據(jù)函數(shù)的單調性，極值結合零點存在性定理列不等式求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，當時，恒成立，上單調遞增，當時，在遞減，在遞增【小問2詳解】當時，恒成立，上單調遞增，所以至多存一個零點，不符題意，故舍去.當時，在遞減，在遞增；所以有極小值為構造函數(shù)，恒成立，所以在單調遞減，注意到①當時，，則函數(shù)至多只有一個零點，不符題意，舍去.②當時，函數(shù)圖象連續(xù)不間斷，的極小值為，又函數(shù)在單調遞減，所以在上存在唯一一個零點；，令，構造函數(shù)，恒成立.在單調遞增，所以，即，所以