2025屆浙江省寧波市九校數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考模擬試題含解析

2025屆浙江省寧波市九校數(shù)學(xué)高三上期末聯(lián)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若關(guān)于的不等式有正整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的最小值為（）A． B． C． D．2．已知向量與的夾角為，，，則()A． B．0 C．0或 D．3．設(shè)，是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，記（）.下列兩個(gè)命題（）①數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù)；②數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù).A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤4．一個(gè)空間幾何體的正視圖是長(zhǎng)為4，寬為的長(zhǎng)方形，側(cè)視圖是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．5．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．6．已知集合，則全集則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．7．如圖所示的程序框圖，當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí)，則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是（）A． B． C． D．8．“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．11．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．012．在關(guān)于的不等式中，“”是“恒成立”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列遞增的等比數(shù)列，若，，則______.14．已知拋物線，點(diǎn)為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，則線段長(zhǎng)度的取值范圍為__________.15．在中，角的對(duì)邊分別為，且，若外接圓的半徑為，則面積的最大值是______.16．函數(shù)的定義域?yàn)開____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位，建立極坐標(biāo)系，判斷直線為參數(shù)）與圓的位置關(guān)系．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線：交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，拋物線在點(diǎn)處的切線與的準(zhǔn)線交于點(diǎn)，證明：軸.19．（12分）如圖，在平行四邊形中，，，現(xiàn)沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P，點(diǎn)M，N分別在直線，上，且A，B，M，N四點(diǎn)共面.（1）求證：；（2）若平面平面，二面角平面角大小為，求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內(nèi)切圓,在邊AC,BC,AB上的切點(diǎn)分別為P,Q,R,|CP|=2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線G.（1）求曲線G的方程;（2）設(shè)直線l與曲線G交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)D在曲線G上,是坐標(biāo)原點(diǎn),判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）第十三屆全國(guó)人大常委會(huì)第十一次會(huì)議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法（修訂草案）》中，提出推行生活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國(guó)家立法中．為了解某城市居民的垃圾分類意識(shí)與政府相關(guān)法規(guī)宣傳普及的關(guān)系，對(duì)某試點(diǎn)社區(qū)抽取戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的列聯(lián)表．分類意識(shí)強(qiáng)分類意識(shí)弱合計(jì)試點(diǎn)后試點(diǎn)前合計(jì)已知在抽取的戶居民中隨機(jī)抽取戶，抽到分類意識(shí)強(qiáng)的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為居民分類意識(shí)的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有關(guān)？說(shuō)明你的理由；（2）已知在試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，有戶自覺(jué)垃圾分類在年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識(shí)強(qiáng)的戶居民中，隨機(jī)選出戶進(jìn)行自覺(jué)垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺(jué)垃圾分類年限在年以上的戶數(shù)為，求分布列及數(shù)學(xué)期望．參考公式：，其中．下面的臨界值表僅供參考22．（10分）已知函數(shù).（1）解不等式；（2）使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)題意可將轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)，判斷其單調(diào)性即可得到實(shí)數(shù)的最小值．【詳解】因?yàn)椴坏仁接姓麛?shù)解，所以，于是轉(zhuǎn)化為，顯然不是不等式的解，當(dāng)時(shí)，，所以可變形為．令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，，故，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式能成立問(wèn)題的解法，涉及到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)法的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．2、B【解析】

由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為，再由，代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為，得，所以，又，，，，所以，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長(zhǎng)平方等于向量的平方，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

利用韋達(dá)定理可得,,結(jié)合可推出,再計(jì)算出,,從而推出①正確;再利用遞推公式依次計(jì)算數(shù)列中的各項(xiàng),以此判斷②的正誤.【詳解】因?yàn)?是方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,所以,,因?yàn)?所以,即當(dāng)時(shí),數(shù)列中的任一項(xiàng)都等于其前兩項(xiàng)之和,又,,所以,,,以此類推,即可知數(shù)列的任意一項(xiàng)都是正整數(shù),故①正確;若數(shù)列存在某一項(xiàng)是5的倍數(shù),則此項(xiàng)個(gè)位數(shù)字應(yīng)當(dāng)為0或5,由,,依次計(jì)算可知,數(shù)列中各項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字以1,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2為周期,故數(shù)列中不存在個(gè)位數(shù)字為0或5的項(xiàng),故②錯(cuò)誤;故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的推導(dǎo),考查數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用,考查學(xué)生的綜合分析以及計(jì)算能力.4、B【解析】

由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積．【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積．解題關(guān)鍵是由三視圖不愿出原幾何體．5、D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.6、D【解析】

化簡(jiǎn)集合，根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)集合，按照集合交集、并集、補(bǔ)集定義，逐項(xiàng)判斷，即可求出結(jié)論.【詳解】由，則，故，由知，，因此，，，，故選:D【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算以及集合間的關(guān)系，求解不等式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)程序框圖的運(yùn)行，循環(huán)算出當(dāng)時(shí)，結(jié)束運(yùn)行，總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.此時(shí)輸出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu)，已知輸出結(jié)果求條件框，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為，再求出6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.【詳解】解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則基本事件總數(shù)為，則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28不在同一組的概率.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問(wèn)題中組合數(shù)的應(yīng)用.9、D【解析】

將原題等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根，先求導(dǎo)，可判斷時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).因此，再令，求導(dǎo)得，結(jié)合韋達(dá)定理可知，要滿足題意，只能是存在零點(diǎn)，使得在有解，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可判斷當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)；則應(yīng)滿足，再結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)即可求解；【詳解】函數(shù)在內(nèi)都有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，等價(jià)于方程在內(nèi)都有兩個(gè)不同的根.，所以當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù).因此.設(shè)，，若在無(wú)解，則在上是單調(diào)函數(shù)，不合題意；所以在有解，且易知只能有一個(gè)解.設(shè)其解為，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù).因?yàn)椋匠淘趦?nèi)有兩個(gè)不同的根，所以，且.由，即，解得.由，即，所以.因?yàn)椋?，代入，?設(shè)，，所以在上是增函數(shù)，而，由可得，得.由在上是增函數(shù)，得.綜上所述，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)取值范圍問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)法，導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)增減性與最值關(guān)系，轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于難題10、C【解析】略11、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.12、C【解析】

討論當(dāng)時(shí)，是否恒成立；討論當(dāng)恒成立時(shí)，是否成立，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，由開口向上，則恒成立；當(dāng)恒成立時(shí)，若，則不恒成立，不符合題意，若時(shí)，要使得恒成立，則，即.所以“”是“恒成立”的充要條件.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的關(guān)系，考查了不等式恒成立問(wèn)題.對(duì)于探究?jī)蓚€(gè)命題的關(guān)系時(shí)，一般分成兩步，若，則推出是的充分條件；若，則推出是的必要條件.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

，建立方程組，且，求出，進(jìn)而求出的公比，即可求出結(jié)論.【詳解】數(shù)列遞增的等比數(shù)列，，，解得，所以的公比為，.

故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

連接，易得，可得四邊形的面積為，從而可得，進(jìn)而求出的取值范圍，可求得的范圍.【詳解】如圖，連接，易得，所以四邊形的面積為，且四邊形的面積為三角形面積的兩倍，所以，所以，當(dāng)最小時(shí)，最小，設(shè)點(diǎn)，則，所以當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，，此時(shí)，因?yàn)殡S著的增大而增大，所以的取值范圍為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查拋物線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的求法，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.15、【解析】

由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合范圍可求的值，利用正弦定理可求的值，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，基本不等式可求的最大值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：，由正弦定理可得：，，，又，，，即，可得：，外接圓的半徑為，，解得，由余弦定理，可得，又，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即最大值為4，面積的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，余弦定理，基本不等式，三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．16、【解析】

由題意可得，，解不等式可求．【詳解】解：由題意可得，，解可得，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、直線與圓C相切．【解析】

首先把直線和圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步利用點(diǎn)到直線的距離的應(yīng)用求出直線和圓的位置關(guān)系．【詳解】直線為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為．圓轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)形式為，所以圓心到直線，的距離．直線與圓C相切．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系式的應(yīng)用，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．18、（1）1；（2）見解析【解析】

（1）設(shè)，，聯(lián)立直線和拋物線方程，得，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式，即可求出；（2）由，得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處切線方程，進(jìn)而求出，即可證出軸.【詳解】解：（1）設(shè)，，將直線代入中整理得：，∴，，∴，解得：.（2）同（1）假設(shè)，，由，得，從而拋物線在點(diǎn)點(diǎn)處的切線方程為，即，令，得，由（1）知，從而，這表明軸.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及聯(lián)立方程組、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式以及利用導(dǎo)數(shù)求切線方程，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.19、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）根據(jù)余弦定理，可得，利用//，可得//平面，然后利用線面平行的性質(zhì)定理，//，最后可得結(jié)果.（2）根據(jù)二面角平面角大小為，可知N為的中點(diǎn)，然后利用建系，計(jì)算以及平面的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，可得結(jié)果.【詳解】（1）不妨設(shè)，則，在中,，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)?/，且A、B、M、N四點(diǎn)共面，所以//平面.又平面平面，所以//.而，.（2）因?yàn)槠矫嫫矫?，且，所以平面，，因?yàn)椋云矫?，，因?yàn)?，平面與平面夾角為，所以，在中，易知N為的中點(diǎn)，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，令，得.設(shè)與平面所成角為，則.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理以及線面角，熟練掌握利用建系的方法解決幾何問(wèn)題，將幾何問(wèn)題代數(shù)化，化繁為簡(jiǎn)，屬中檔題.20、（1）.（2）四邊形OMDN的面積是定值,其定值為.【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)證得，由此判斷出點(diǎn)的軌跡為橢圓，并由此求得曲線的方程.（2）將直線的斜率分成不存在或存在兩種情況，求出平行四邊形的面積，兩種情況下四邊形的面積都為，由此證得四邊形的面積為定值.【詳解】（1）因?yàn)閳AE為△ABC的內(nèi)切圓,所以|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|PA|+|QB|=2|CP|+|AR|+|BR|=2|CP|+|AB|=4>|AB|所以點(diǎn)C的軌跡為以點(diǎn)A和點(diǎn)B為焦點(diǎn)的橢圓（點(diǎn)不在軸上）,所以c,a=2,b,所以曲線G的方程為,（2）因?yàn)椋仕倪呅螢槠叫兴倪呅?當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則四邊形為為菱形，故直線MN的方程為x=﹣1或x=1,此時(shí)可求得四邊形OMDN的面積為.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l方程是y=kx+m,代入到,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2﹣4=0,∴x1+x2,x1x2,△=8(4k2+2﹣m2)>0,∴y1+y2=k(x1+x2)+2m,|MN|點(diǎn)O到直線MN的距離d,由,得xD,yD，∵點(diǎn)D在曲線C上,所以將D點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得1+2k2=2m2,由題意四邊形