專題14直角三角形與勾股定理（講義）中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專題14直角三角形與勾股定理1．探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理；2．探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；3．經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程，逐步建立幾何直觀；4．體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。考點(diǎn)1：直角三角形直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.考點(diǎn)2：勾股定理1.勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（即：）2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用是：（1）已知直角三角形的兩邊，求第三邊；（2）利用勾股定理可以證明有關(guān)線段平方關(guān)系的問題；（3）解決與勾股定理有關(guān)的面積計(jì)算；（4）勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用．考點(diǎn)3：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)，滿足，那么這個(gè)三角形是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：應(yīng)用勾股定理的逆定理判定一個(gè)三角形是不是直角三角形的基本步驟：（1）首先確定最大邊，不妨設(shè)最大邊長(zhǎng)為；（2）驗(yàn)證：與是否具有相等關(guān)系：

若，則△ABC是以∠C為90°的直角三角形；

若時(shí)，△ABC是銳角三角形；

若時(shí)，△ABC是鈍角三角形．2.勾股數(shù)滿足不定方程的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形.要點(diǎn)詮釋：常見的勾股數(shù)：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果()是勾股數(shù)，當(dāng)t為正整數(shù)時(shí)，以為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形.觀察上面的①、②、④、⑤四組勾股數(shù)，它們具有以下特征：1.較小的直角邊為連續(xù)奇數(shù)；2.較長(zhǎng)的直角邊與對(duì)應(yīng)斜邊相差1.3.假設(shè)三個(gè)數(shù)分別為，且，那么存在成立.（例如④中存在＝24＋25、＝40＋41等）考點(diǎn)4：勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理；聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，兩者互為逆定理，都與直角三角形有關(guān).【題型1：直角三角形】【典例1】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，為的中點(diǎn)．若點(diǎn)在邊上，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據(jù)題意易得，然后根據(jù)題意可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點(diǎn)D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，①當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，如圖，

∴，②當(dāng)點(diǎn)E為的四等分點(diǎn)時(shí)，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線是解題的關(guān)鍵．1．（2023·江蘇鹽城·?？家荒＃┤鐖D，在中，已知．，點(diǎn)P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在上有一點(diǎn)M，始終保持，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】取的中點(diǎn)為，連接，，先證明，進(jìn)一步求出和，再根據(jù)，求出的最小值．【詳解】解：如圖：取的中點(diǎn)為，連接，，

，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，正確分析出的取值范圍是解題關(guān)鍵．2．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于，兩點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，過作軸于，軸于，連接，當(dāng)最短時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，根據(jù)勾股定理表示出的長(zhǎng)度，通過配方可以求出當(dāng)最小時(shí)，的值，據(jù)此即可求解．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，∴當(dāng)時(shí)，最短，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)點(diǎn)的特征，勾股定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，表示出的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇蘇州·蘇州市工業(yè)園區(qū)第一中學(xué)校考二模）如圖，在中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直徑的交于點(diǎn)，則線段的最小值為．

【答案】【分析】連接，根據(jù)是的直徑，得到，根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到，根據(jù)圓周角定理得到點(diǎn)在以為直徑的上，推出當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，最小，延長(zhǎng)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求出的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出的長(zhǎng)度，利用勾股定理求出，即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖1，連接，

∵是的直徑，，，點(diǎn)在以點(diǎn)為直徑的上，∵的半徑為，當(dāng)點(diǎn)、、共線時(shí)，最小，延長(zhǎng)，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示；

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理，勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)度，確定點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，把問題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最短距離問題是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇南京·南師附中新城初中校考二模）在銳角中已知，則銳角面積S的取值范圍為．【答案】【分析】以為弦構(gòu)造圓O，根據(jù)圓周角定理得到，過O作的垂線并反向延長(zhǎng)，分別與交于D，與圓O交于點(diǎn)A，可得點(diǎn)A到的距離最大，推出此時(shí)的面積最大；再根據(jù)為直角三角形時(shí)，利用勾股定理求出，再求出的面積，即為最小值，結(jié)合銳角三角形的特征得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，以為弦構(gòu)造圓O，其中，點(diǎn)A為優(yōu)弧上一點(diǎn)，∴，過O作的垂線并反向延長(zhǎng)，分別與交于D，與圓O交于點(diǎn)A，此時(shí)點(diǎn)A到的距離最大，則的面積最大，∴垂直平分，∴，∴是等邊三角形，，則，，∴，∴；當(dāng)為直角三角形時(shí)，為圓O的直徑，∵，，∴，∴，∴；

∴銳角面積S的取值范圍為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了輔助圓的問題，圓周角定理，含30度的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，隱圓，三角形的面積，構(gòu)造法．【題型2：勾股定理】【典例2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．

(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)的半徑長(zhǎng)為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點(diǎn)B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．1．（2023·江蘇連云港·灌云縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┤鐖D，在中，，，以為邊在下方作，連接，已知，，則的最大值為．

【答案】/【分析】以為直角邊點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，連接，證明，可得，然后利用三角形三邊關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：如圖，以為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，連接，

∴，，∴，在中，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴的最大值為，故答案為：，【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到．2．（2023·江蘇無錫·無錫市民辦輔仁中學(xué)?？家荒＃┬π⒁桓比前灏慈鐖D所示的位置放置，的直角頂點(diǎn)在邊的中點(diǎn)處，其中．，，繞點(diǎn)自由旋轉(zhuǎn)，且，分別交，于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】如圖，連接，作于．首先證明是等腰直角三角形，求出即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接．

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．3．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，則°；M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，作軸交于Q，若是以為腰的等腰三角形，則線段的長(zhǎng)為．【答案】90或【分析】①根據(jù)題意求出，，，從而可得，，，根據(jù)勾股定理的逆定理即可求出結(jié)果；②分兩種情況，一是當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，可證，求出，再由，求出，故；二是當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，可證，求出，再由求出，故．【詳解】解：①∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，∴時(shí)，，解得：，，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：；點(diǎn)B的坐標(biāo)為：，∴，，，∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點(diǎn)C，∴時(shí)，，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為：，，，在和中,，，在中，，即，∴是以為斜邊的直角三角形，；②當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，如圖：∴，∵軸，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴；當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：∴，∵軸，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，故答案為：90；或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇連云港·?？家荒＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)E是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形的長(zhǎng)為．【答案】【分析】將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，過點(diǎn)A作，作的外接圓，過點(diǎn)O作，先證明，推出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧，再求得圓心角，然后按照弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可得到答案；【詳解】解：將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，連接，過點(diǎn)A作，∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，得到，∴，，，∴，∵，∴在中，，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)E的軌跡是，作的外接圓，過點(diǎn)O作，如圖所示，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過程中所形成的圖形的長(zhǎng)為：，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長(zhǎng)公式，圓周角定理，三角函數(shù)及勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是作輔助線得到點(diǎn)E的軌跡及熟練掌握．【題型3：勾股定理的逆定理】【典例3】（2019·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE=6，BE=8，DE=10.（1）求證：∠BEC=90°；（2）求cos∠DAE.【答案】（1）見解析；（2）cos∠DAE=【分析】(1)先求出BC的長(zhǎng)，繼而根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行證明即可得；(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可求得AB=16，∠ABE=90°，繼而根據(jù)勾股定理求出AE的長(zhǎng)，然后利用余弦的定義求出cos∠EAB的值，再根據(jù)∠DAE=∠EAB即可求得答案.【詳解】(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠AED=∠EAB，∵AE平分∠DAB，∴∠DAE=∠EAB，∴∠AED=∠DAE，∴AD=DE=10，∴BC=10，又∵BE=8，CE=6，∴BE2+CE2=BC2，∴△BEC為直角三角形，∴∠BEC=90°；(2)∵DE=10，CE=6，∴CD=DE+CE=16，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB//CD，AB=CD=16，∴∠ABE=∠BEC=90°，∴AE=，∴cos∠EAB=，∵∠DAE=∠EAB，∴cos∠DAE==.【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，余弦等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.1．（2023·江蘇南通·南通田家炳中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，，．按下列步驟作圖：

①連接，以D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)E、F；②以C為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊于點(diǎn)G；③以G為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交②中所作的弧于點(diǎn)H；④連接；⑤延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接交于點(diǎn)M．(1)根據(jù)小雅的作圖步驟①②③④，可得作圖結(jié)論：____________，并證明結(jié)論成立；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)，，見解析(2)【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖可知，利用邊邊邊證明即可；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是等邊三角形，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)含直角三角形的性質(zhì)求出，進(jìn)而得出，最后根據(jù)勾股定理求出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)作圖可知，證明：∵，，∴，∴，即；故答案為：，；（2）解：根據(jù)作圖可知，∵四邊形是菱形，∴，，．∵，∴是等邊三角形，∴，．在中，，，∴．∵，∴，∴，∴，在中，，，∴，根據(jù)勾股定理得，即，解得，負(fù)值舍去．．【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含直角三角形的性質(zhì)等，勾股定理是求線段長(zhǎng)的常用方法．2．（2019·江蘇泰州·泰州市第二中學(xué)附屬初中校考三模）如圖中，，平分交于點(diǎn)．以點(diǎn)為圓心，為半徑作交于點(diǎn)

(1)求證：與相切：(2)若，，試求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）過作于，利用角平分線的性質(zhì)定理可得即可證明：與相切；（2）在中，由勾股定理可求出的長(zhǎng)，設(shè)圓的半徑為，利用切線長(zhǎng)定理可求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出，進(jìn)而求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：過作于，

，，平分交于點(diǎn)，，與相切；（2）解：設(shè)圓的半徑為，，，，，，是圓的切線，，，，，在中，，解得：，．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定、角平分線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理以及勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程．3．（2023·江蘇徐州·?？级＃┤鐖D，有一塊三邊長(zhǎng)分別為6cm，8cm，10cm的三角形硬紙板，現(xiàn)要從中剪下一塊底邊長(zhǎng)為10cm的等腰三角形．(1)在圖中用直尺和圓規(guī)作出一個(gè)符合要求的等腰三角形（不寫作法，保留作圖痕跡）．(2)當(dāng)剪下的等腰三角形面積最大時(shí)，求該等腰三角形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作邊長(zhǎng)為的這一邊的垂直平分線，交于，則即為所求；（2）設(shè)，則，則，由，可得∠C=90°．在中，，再解方程結(jié)合面積公式可得答案．【詳解】（1）如圖，為所作：（2）為滿足條件的面積最大的等腰三角形，設(shè)，則，∵，∵，，，∴，∴為直角三角形，．在中，，解得，∴，即該等腰三角形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查的是作線段的垂直平分線，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟練的利用方程解題是關(guān)鍵．4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）問題提出：（1）“弦圖”是中國古代數(shù)學(xué)成就的一個(gè)重要標(biāo)志．小明用邊長(zhǎng)為的正方形制作了一個(gè)“弦圖”：如圖①，在正方形內(nèi)取一點(diǎn)，使得，作，，垂足分別為、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)；變式應(yīng)用：（2）如圖②，分別以正方形的邊長(zhǎng)和為斜邊向內(nèi)作和，連接，若已知，，的面積為，，則正方形的面積為．拓展應(yīng)用：（3）如圖③，公園中有一塊四邊形空地，米，米，米，，空地中有一段半徑為米的弧形道路（即），現(xiàn)準(zhǔn)備在上找一點(diǎn)將弧形道路改造為三條直路（即、、），并要求，三條直路將空地分割為、和四邊形三個(gè)區(qū)域，用來種植不同的花草．①則的度數(shù)為；②求四邊形的面積．【答案】（1）；（2）；（3）①；②平方米【分析】（1）根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形是矩形，求得，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）如圖②，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，求得，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，同理，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，求得正方形的面積，于是得到結(jié)論；（3）①如圖③，連接，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)勾股定理的逆定理得到，推出是所在圓的直徑，是等腰直角三角形，得到點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到的度數(shù)；②根據(jù)三角形的面積公式得到；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想得到，，，延長(zhǎng)交于，推出是等腰直角三角形，得到，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，解得：或（負(fù)值不合題意，舍去），∴的長(zhǎng)為；（2）解：如圖②，延長(zhǎng)交于，延長(zhǎng)交于，∵四邊形是正方形，∴，∵，，在和中，，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，同理，，在和中，，∴，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，，∴，∴四邊形是正方形，∵的面積為，，∴正方形的面積為：，∴正方形的面積為：，故答案為：；（3）如圖③，連接，∵，，∴，∵，，∴，∴，

∴是所在圓的直徑，是等腰直角三角形，∴點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，，∴，∴，故答案為：；②∵是等腰直角三角形，∴，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，∴，，，∴∠，，∴，∴，

延長(zhǎng)交于，∴，，∴是等腰直角三角形，，∴，，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，∴（平方米）．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，勾股定理的逆定理，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【題型4：勾股定理的應(yīng)用】【典例4】（2021·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，一艘輪船位于燈塔P的南偏東方向，距離燈塔50海里的A處，它沿正北方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的北偏東方向上的B處，此時(shí)B處與燈塔P的距離為海里（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】．【分析】先作PC⊥AB于點(diǎn)C，然后利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如圖，作PC⊥AB于點(diǎn)C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用方向角問題，求三角形的邊或高的問題一般可以轉(zhuǎn)化為用勾股定理解決問題，解決的方法就是作高線．1．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考二模）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，記載著“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何?”意思是：一根筆直生長(zhǎng)的竹子，高一丈（一丈=10尺），因蟲害有病，一陣風(fēng)吹來將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，求折斷處離地面的高度是多少尺?設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，利用勾股定理解題即可；【詳解】設(shè)竹子折斷處離地面尺，則斜邊為尺，根據(jù)勾股定理得到：；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而應(yīng)用勾股定理解題．2．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，用7個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體搭成一個(gè)幾何體，沿著該幾何體的表面從點(diǎn)M到點(diǎn)N的所有路徑中，最短路徑的長(zhǎng)是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先畫出側(cè)面展開圖，根據(jù)兩點(diǎn)之間踐段最短，利用勾股定理求出線段的長(zhǎng)即可．【詳解】將第一層小正方體的頂面和正面，以及第二層小正方體的頂面和正面展開，如下圖，連接，則最短路徑，故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)之間線段最短，以及勾股定理，正確畫出側(cè)面展開圖，確定兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．3．（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一個(gè)問題：“今有池方一丈，葭（ji?。┥渲?，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長(zhǎng)度單位，1丈尺）其大意為：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點(diǎn)，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺【答案】B【分析】設(shè)水深為h尺，則蘆葦高為尺，根據(jù)勾股定理列方程，求出h即可．【詳解】解:設(shè)水深為h尺，則蘆葦高為尺，由題意知蘆葦距離水池一邊的距離為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得，即水深為12尺，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┤鐖D，是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體紙盒，若一只螞蟻要沿著正方體紙盒的表面，從頂點(diǎn)A爬到頂點(diǎn)B去覓食，則需要爬行的最短路程是（

）A． B．2 C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)正方體展開圖的特點(diǎn)，將正方體展開，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，將正方體展開，則，，∴由勾股定理得，∴需要爬行的最短路程是，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確將正方體展開，利用勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．1．下列是勾股數(shù)的一組數(shù)是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，6，8 D．，，【答案】B【解析】略2．具備下列條件的不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】略3．在中,,,則的正切值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理,銳角三角函數(shù)．先根據(jù)題意求出的長(zhǎng),再根據(jù)三角函數(shù)正切值公式求出本題答案．【詳解】解:∵,,∴,∴,故選:A．4．如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，則A，C兩港之間的距離是（）

A． B．30 C．40 D．50【答案】D【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用—方位角問題、直角三角形的判定與性質(zhì)，先根據(jù)方位角判斷三角形的形狀，然后利用勾股定理計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，

由題意得：，，∴，∴，在中，，，∴A，C兩港之間的距離為，故選：D．5．如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，和的頂點(diǎn)均在“格點(diǎn)”上，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能求出各個(gè)邊的長(zhǎng)度是解此題的關(guān)鍵．根據(jù)勾股定理求出兩個(gè)三角形的各個(gè)邊的長(zhǎng)度，得出，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，∴由勾股定理得：，，，，，，∵，，∴，∴，故選：C．6．如圖，在中，，，，則等于．【答案】6【分析】本題考查直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半直接求解即可．【詳解】解：，，，，故答案為：6．7．如圖，是的直徑，弦垂足為P．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】本題考查了垂徑定理，設(shè)的半徑為，在直角三角形中利用勾股定理即可求解．【詳解】解：設(shè)的半徑為，則∵，∴則：解得：∴，故答案為：．8．如圖，在四邊形中，連接，于E，，，，則的度數(shù)等于．【答案】90【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，先根據(jù)，求出，再根據(jù)“兩邊平方和等于第三邊平方的三角形是直角三角形”，即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，解得：，∵，，，∴，∴，故答案為：90．9．如圖，要將樓梯鋪上地毯，則需要米的地毯．

【答案】7【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：先分析，得地毯的長(zhǎng)度等于兩個(gè)直角邊之和，故根據(jù)勾股定理求出另一直角邊為，即可作答．【詳解】解：根據(jù)勾股定理，另一直角邊（米），∴（米），則需要7米的地毯故答案為：710．在一個(gè)長(zhǎng)為2米，寬為1米的長(zhǎng)方形草地上，如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，三棱柱的上底面與下底面是邊長(zhǎng)為0.4米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處爬行翻過三棱柱到處需要走的最短路程是米．

【答案】【分析】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將木塊展開，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求出對(duì)角線長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，將木塊展開，相當(dāng)于長(zhǎng)方形草地的長(zhǎng)多了正三角形的一個(gè)邊長(zhǎng)，

∴長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為米米，∵長(zhǎng)方形的寬為米，∴一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是對(duì)角線，∴米，故答案為：．11．如圖，在中，為斜邊的中點(diǎn)，連接．若，求的長(zhǎng)．

【答案】【分析】利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半求解．【詳解】中，，，∵D為斜邊的中點(diǎn)，．12．如圖，池塘邊有兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)C是與方向成直角的方向上一點(diǎn)，測(cè)得，．求A，B兩點(diǎn)間的距離．【答案】【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理求出的長(zhǎng)．【詳解】解：由題意可知，，∴，答：A，B兩點(diǎn)間的距離是．13．如圖，點(diǎn)在中，，，求圖中陰影部分的面積．【答案】【分析】本題考查了三角形的面積公式，勾股定理及其逆定理，利用所給條件準(zhǔn)確運(yùn)算是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：在中，，，,在中，，，即,,的面積為,的面積為,陰影部分面積為，故陰影部分面積為24．14．已知：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)，是上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)(1)求證：；(2)若，的度數(shù)為，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用，可得，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)可得，即可得到結(jié)論；（2）利用，可得，根據(jù)圓周角定理得到，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可得到的度數(shù)；【詳解】（1）解：連接，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，即：（2）∵，，∴，，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，掌握垂徑定理是是解決本題的關(guān)鍵．15．為了更好的開展古樹名木的系統(tǒng)保護(hù)工作，某公園對(duì)園內(nèi)的4棵百年古樹都利用坐標(biāo)確定了位置，并且定期巡視．(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的正方形網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系，使得古樹，的位置分別表示為，；(2)在（1）建立的平面直角坐標(biāo)系中．①表示古樹C的位置的坐標(biāo)為______，并在網(wǎng)格中標(biāo)出古樹的位置；②現(xiàn)需要在沿軸的道路某處點(diǎn)向古樹，修建兩條步道，使得點(diǎn)到古樹，的距離和最小．請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫作圖過程）；該距離和的最小值為______．【答案】(1)見解析(2)①，點(diǎn)的位置見解析②【分析】本題考查了坐標(biāo)確定位置，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)確定原點(diǎn)的位置，將軍飲馬模型；（1）根據(jù)，找到原點(diǎn)確定坐標(biāo)系即可；（2）①根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置即可求出坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)確定位置即可；②利用將軍飲馬模型，作點(diǎn)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接與軸交于點(diǎn)，此時(shí)最小等于的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求的長(zhǎng)度即可；【詳解】（1）如圖所示，

（2）①點(diǎn)，點(diǎn)的位置如圖所示；②過點(diǎn)作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則，連接與軸交于點(diǎn)，此時(shí)最小等于的長(zhǎng)度；，∴點(diǎn)到古樹，的距離和的最小值為；故答案為：

1．三角形兩邊的長(zhǎng)分別是8和6，第三邊的長(zhǎng)是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則三角形的內(nèi)切圓半徑是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓，勾股定理的逆定理，解一元二次方程，先利用因式分解法求出方程的兩根，根據(jù)構(gòu)成三角形的條件確定這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為6、8、10，由此利用勾股定理的逆定理證明該三角形是直角三角形，根據(jù)等面積法得到求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：，，或2，當(dāng)時(shí)，，不能組成三角形，不符合題意；，當(dāng)?shù)谌厼?0時(shí)，，此三角形是直角三角形，如圖所示，在中，點(diǎn)是的內(nèi)接圓，分別與相切于D、E、F，

，，，，，圓的半徑為2，故選：B．2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是菱形的對(duì)角線的中點(diǎn)，軸且，，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得出是等邊三角形，則，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求得，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：如圖所示，設(shè)與軸交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴是等邊三角形，則，∵是菱形的對(duì)角線的中點(diǎn)，∴∵軸，則，∴∴，，∴∵關(guān)于對(duì)稱，∴,故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形，菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，經(jīng)過，，，四點(diǎn)，，，則圓心點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，勾股定理和含度的直角三角形的性質(zhì)，先利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)圓周角定理得到為的直徑，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，接著利用含度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，，所以，，然后利用線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．【詳解】∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵，∴為的直徑，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：．4．已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)與點(diǎn)分別是直線及軸上的動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B．8 C．10 D．【答案】D【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則，，當(dāng)點(diǎn)、、、在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)，可知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，據(jù)此解答即可，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，，則，，的周長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)、、、在同一直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，周長(zhǎng)的最小值為的長(zhǎng)，點(diǎn)，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，令直線于軸交于點(diǎn)，交軸于，連接，在中，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，，，，是等腰直角三角形，，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：，，，，，，，，，，，故選：D．5．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，E是的中點(diǎn)．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點(diǎn)A出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)E，則它運(yùn)動(dòng)的最短路程為（

）A． B．4 C． D．5【答案】C【解析】略6．小華沿著坡度的斜坡向上行走了米，那么他距離地面的垂直高度上升了米．【答案】【分析】本題考查了坡度，根據(jù)題意畫圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由坡度得到，再利用勾股定理即可求解，熟練掌握坡度及勾股定理．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則由題意得米，∵坡度，∴，即，∴設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴米，即他距離地面的垂直高度上升了米，故答案為：．7．如圖，長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則重疊部分的面積是．

【答案】//【分析】此題考查了折疊的性質(zhì)、長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得，，，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：長(zhǎng)方形中，，，根據(jù)翻折可知：，，，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，∴，∴．故答案為：．8．如圖，在矩形中，，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，．若點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)，求的最小值為．【答案】【分析】如圖所示，在下方作，過點(diǎn)P作于E，則由含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到，故當(dāng)當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)最小，即此時(shí)最小，由矩形的性質(zhì)得到，，則可證明是等邊三角形，則，，，再求出，得到，則的最小值為．【詳解】解：如圖所示，在下方作，過點(diǎn)P作于E，∴，∴，∴當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)最小，即此時(shí)最小，∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線確定當(dāng)三點(diǎn)共線，且時(shí)，最小是解題的關(guān)鍵．9．如圖，點(diǎn)C在線段上，且，分別以為邊在線段的同側(cè)作正方形，連接，則．【答案】/【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切．熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，正切是解題的關(guān)鍵．如圖，連接，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，由正方形的性質(zhì)可知，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，，∴，故答案為：．10．如圖，在正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可求出，，則有點(diǎn)為的中點(diǎn)，是的中線，再證，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，由此即可求解．【詳解】解：∵正方形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∵，∴，即，∵，，，∴，∴，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，在中，是的中線，∴，∵，即，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，三角形的全等的判定和性質(zhì)，三角形的相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的勾股定理，掌握正方形的性質(zhì)，三角形全等，相似的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，菱形的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E為的中點(diǎn)，．求的長(zhǎng)及的值．【答案】【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，求角的正切值．由菱形的性質(zhì)得到，由直角三角形的性質(zhì)求出，由勾股定理求出，由銳角的正切求出．熟練掌握菱形的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，∴，∵E是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴．12．如圖，等腰的底邊交⊙O于點(diǎn)、．

(1)求證：．(2)連接、，若；，求的半徑．【答案】(1)證明見解析(2)的半徑為．【分析】（1）過點(diǎn)作于，由等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，由垂徑定理可得，根號(hào)線段的和差關(guān)系即可得結(jié)論；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，由垂徑定理可得，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)，利用勾股定理列方程求出的長(zhǎng)即可得答案．【詳解】（1）證明：如圖，過點(diǎn)作于，

∵等腰的底邊交⊙O于點(diǎn)、，∴，，∵，∴，，∴，即．（2）解：如（1）中圖，∵，，∴，∴，∵，，∴，∵在中，，∴，解得：，（負(fù)值舍去）∴的半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，垂直于弦的直徑平分弦且平分這條弦所對(duì)的兩條?。唤撬鶎?duì)的直角邊等于斜邊的一半；熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及判定定理是解題關(guān)鍵．13．如圖，中，，點(diǎn)D在邊上，以為直徑的與直線相切于點(diǎn)E，連接，且．連接交于點(diǎn)F．(1)求證：．(2)若，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)、【分析】（1）連接，由切線得性質(zhì)得：，再證明與相切于點(diǎn)C，則，再證，得，則，即可得答案；（2）先求出的值，由，求出，再證明垂直平分，則，求出的長(zhǎng)，即可得答案．【詳解】（1）解：如下圖，連接，與相切于點(diǎn)E，，，，，是的半徑，，與相切于點(diǎn)C，，在和中，，，，，；（2），，，，，且，，解得：，，，點(diǎn)O、點(diǎn)A都在線段的垂直平分線上，垂直平分，，，，，線段，的長(zhǎng)分別是1、．【點(diǎn)睛】此題考查了切線的判定與性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長(zhǎng)度等知識(shí)與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．14．如圖，C為線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別過點(diǎn)B，D作，，連接AC，EC.(1)當(dāng)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，的值最??？(2)根據(jù)（1）中的結(jié)論，請(qǐng)構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值.【答案】(1)當(dāng)點(diǎn)C在線段BD與線段AE的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小.(2)13【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段BD與線段AE的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小.（2）如圖，，，AE與BD相交于點(diǎn)C.設(shè)，，，，過點(diǎn)E作BD的平行線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由（1）可知，代數(shù)式的最小值就是線段AE的長(zhǎng).∵，，，，∴在中，，，∴代數(shù)式的最小值是13.15．如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B移動(dòng)，速度為；點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C移動(dòng)，速度為，點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)幾秒時(shí)，的長(zhǎng)度為？(2)幾秒時(shí)，的面積為？(3)當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小？并求這個(gè)最小值．【答案】(1)2秒或秒(2)2秒或4秒(3)當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為21【分析】本題主要考查了勾股定理，二次函數(shù)的極值，一元二次方程分應(yīng)用，本題是動(dòng)點(diǎn)問題，利用t代數(shù)式表示出相應(yīng)線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，分別用t的代數(shù)式表示出線段的長(zhǎng)度，利用勾股定理列出方程即可求解；（2）利用（1）中的方法，利用三角形的面積公式列出方程即可求解；（3）利用（1）中的方法求得四邊形的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，的長(zhǎng)度為，依題意得：，，，，，，解得：或．∴2秒或秒時(shí)，的長(zhǎng)度為；（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，的面積為，依題意得：，，∵的面積為，．解得：或4．∴2秒或4秒時(shí)，的面積為；（3）解：四邊形的面積，，∵，∴當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為21．1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O，，若過點(diǎn)O且與邊分別相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，設(shè)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖像大致為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，根據(jù)含有30°角的直角三角形性質(zhì)以及勾股定理可得AB、AC的長(zhǎng)，再結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)可得AO的長(zhǎng)，進(jìn)而求出OM、AM的長(zhǎng)，設(shè)，則，然后利用勾股定理可求出y與x的關(guān)系式，最后根據(jù)自變量的取值范圍求出函數(shù)值的范圍，即可做出判斷．【詳解】解：如圖過點(diǎn)O向AB作垂線，交AB于點(diǎn)M，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∵BC＝4，∴AB＝8，AC＝，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，．且圖像是二次函數(shù)的一部分故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象等知識(shí)，解題關(guān)鍵是求解函數(shù)解析式和函數(shù)值的范圍．3．（2021·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，把直線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交x軸于點(diǎn)C，則線段長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)，得到△OAB為等腰直角三角形和AB的長(zhǎng)，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，證明△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，用兩種方法表示出BD，得到關(guān)于x的方程，解之即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖像與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，令x=0，則y=，令y=0，則x=，則A（，0），B（0，），則△OAB為等腰直角三角形，∠ABO=45°，∴AB==2，過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵∠CAD=∠OAB=45°，∴△ACD為等腰直角三角形，設(shè)CD=AD=x，∴AC==x，∵旋轉(zhuǎn)，∴∠ABC=30°，∴BC=2CD=2x，∴BD==x，又BD=AB+AD=2+x，∴2+x=x，解得：x=+1，∴AC=x=（+1）=，故選A．

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，知識(shí)點(diǎn)較多，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造特殊三角形．4．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，畫出圖形是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向終點(diǎn)移動(dòng)．當(dāng)移動(dòng)時(shí)間為4秒時(shí)，的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．【詳解】解：連接、

∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，以為邊作矩形．∴，則，依題意，，∴，則，∴∴，∴，∵，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，勾股定理求兩點(diǎn)坐標(biāo)距離，矩形的性質(zhì)，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，若，則的度數(shù)是．【答案】/40度【分析】根據(jù)平行四邊形對(duì)邊平行可得，利用平行線的性質(zhì)可得，因此利用直角三角形兩個(gè)銳角互余求出即可．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，難度較小，解題的關(guān)鍵是能夠綜合運(yùn)用上述知識(shí)．7．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．【答案】120【分析】解：如圖，連接，由是的直徑，可得，由，可得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，含的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形的兩條對(duì)角線，互相垂直，，，則的最小值是．

【答案】【分析】設(shè)的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)分別是，連接，先證，由此得當(dāng)最小時(shí)，最小，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得，再證四邊形是矩形，且，根據(jù)勾股定理的，進(jìn)而求得的最小值．【詳解】解：設(shè)的交點(diǎn)為，的中點(diǎn)分別是，連接，互相垂直，和為直角三角形，且分別為斜邊，，，當(dāng)最小時(shí)，最小，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，最小，最小值為線段的長(zhǎng)，分別為的中點(diǎn)，是的中位線，，同理，，，，四邊形是平行四邊形，，，四邊形是矩形，在中，，，的最小值為，的最小值為．

故答案為：．【點(diǎn)睛】此題只要考查了矩形的判定和性質(zhì)，三角形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，線段的性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，理解直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．11．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請(qǐng)?jiān)趫D1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點(diǎn)D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請(qǐng)使用試卷中的圖2）【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點(diǎn)D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長(zhǎng)，求出梯形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，∴點(diǎn)D為所求點(diǎn)．（2）解：過點(diǎn)A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長(zhǎng)，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)．(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；①點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上且；②點(diǎn)在線段上且．(2)若．①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；②直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)①②(2)①②4【分析】（1）①算出各個(gè)內(nèi)角，發(fā)現(xiàn)其是等腰三角形即可推出；②算出各內(nèi)角發(fā)現(xiàn)其是30°的直角三角形即可推出；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，得到一線三垂直的相似，即，設(shè)，，利用30°直角三角形的三邊關(guān)系，分別表示出，，，，列式求解a即可；②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，證明可得，然后利用完全平方公式變形得出，求出AE的取值范圍即可．【詳解】（1）①∵在中，，∴∵∴，在中，∴∴∴；②如圖：∵∴，∴在中，∴∴；（2）①分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)H，G，則∠EGD＝∠DHA＝90°，∴∠GED＋∠GDE＝90°，∵∠HDA＋∠GDE＝90°，∴∠GED＝∠HDA，∴，設(shè)，，則，，在中，，AB=6則，在中，，則在中，，∴∴由得，即解得：，（舍）故；②分別過點(diǎn)A，E作BC的垂線，相交于點(diǎn)G，H，則∠EHD＝∠AGD＝90°，∵∠ADE＝90°，∴∠EDH=90°∠ADG＝∠DAG，∵∠EHD＝∠AGD＝90°，∴，∴，∴，∵∠BAC＝90°，∠C＝60°，∴∠B=30°，∴，∴，∴=，∵∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故AE的最小值為4.【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，一線三垂直相似模型，垂線段最短，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，一線三垂直模型，垂線段最短原理是解題的關(guān)鍵．13．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)是C．

(1)_______；(2)D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，；將原拋物線向左平移，使得平移后的拋物線經(jīng)過點(diǎn)D，過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)，平移前后的兩條拋物線都下降，求k的取值范圍；(3)將原拋物線平移，平移后的拋物線與原拋物線的對(duì)稱軸相交于點(diǎn)Q，且其頂點(diǎn)P落在原拋物線上，連接PC、QC、PQ．已知是直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)；(3)或．【分析】（1）把代入即可求解；（2）過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，設(shè)，由，解得，進(jìn)而求得平移后得拋物線，平移后得拋物線為，根據(jù)二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解；（3）先設(shè)出平移后頂點(diǎn)為，根據(jù)原拋物線，求得原拋物線的頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為x=1，進(jìn)而得，再根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程即可得解．【詳解】（1）解：把代入得，，解得，故答案為；（2）解：過點(diǎn)D作DM⊥OA于點(diǎn)M，

∵，∴二次函數(shù)的解析式為設(shè)，∵D是第三象限拋物線上的一點(diǎn)，連接OD，，∴，解得m=或m=8（舍去），當(dāng)m=時(shí)，，∴，∵，∴設(shè)將原拋物線向左平移后的拋物線為，把代入得，解得a=3或a=（舍去），∴平移后得拋物線為∵過點(diǎn)作x軸的垂線l．已知在l的左側(cè)