重難點(diǎn)專項(xiàng)突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型

重難點(diǎn)專項(xiàng)突破09相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)模型【知識(shí)梳理】“手拉手”旋轉(zhuǎn)型模型展示：如圖，若△ABC∽△ADE，則△ABD∽△ACE.[來(lái).Com]【考點(diǎn)剖析】例1、如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，E為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求證：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.證明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(DB,EB).∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(CB,EB).又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.例2.把兩塊全等的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D 與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB 相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證∽，則 此時(shí)______；（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)間方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為．其 中，問(wèn)的值是否改變？請(qǐng)說(shuō)明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF圖1圖2圖3【答案】（1）8；（2）不改變．【解析】（1）略；（2）易證，得：．又，，．【總結(jié)】本題考查旋轉(zhuǎn)的相關(guān)知識(shí)，等腰三角形，“一線三等角”得相似等的相關(guān)知識(shí)．例3.如圖，已知和是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，且 ，的頂點(diǎn)E與的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將繞 點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于 點(diǎn)Q．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：≌；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，求證：∽；并求當(dāng)BP=a， 時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離（用含a的代數(shù)式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ圖1圖2Q【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）是中點(diǎn)，．，． ，．．（2），而，． ，， ，， ， ． 在中，， ，． 在中，．【總結(jié)】本題考查了“一線三等角”相似模型．例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．點(diǎn)P是平面內(nèi)不與點(diǎn)A，C重合的任意一點(diǎn)．連接AP，將線段AP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α得到線段DP，連接AD，BD，CP．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)α＝60°時(shí)，的值是，直線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是．（2）類比探究如圖2，當(dāng)α＝90°時(shí)，請(qǐng)寫出的值及直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)，并就圖2的情形說(shuō)明理由．（3）解決問(wèn)題當(dāng)α＝90°時(shí)，若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CA，CB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線EF上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C，P，D在同一直線上時(shí)的值．【分析】（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．證明△CAP≌△BAD（SAS），即可解決問(wèn)題．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．證明△DAB∽△PAC，即可解決問(wèn)題．（3）分兩種情形：①如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．證明AD＝DC即可解決問(wèn)題．②如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：DA＝DC解決問(wèn)題．【解答】解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)CP交BD的延長(zhǎng)線于E，設(shè)AB交EC于點(diǎn)O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，線BD與直線CP相交所成的較小角的度數(shù)是60°，故答案為1，60°．（2）如圖2中，設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，BD交PC于點(diǎn)E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直線BD與直線CP相交所成的小角的度數(shù)為45°．（3）如圖3﹣1中，當(dāng)點(diǎn)D在線段PC上時(shí)，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四點(diǎn)共圓，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，設(shè)AD＝a，則DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如圖3﹣2中，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD上時(shí)，同法可證：DA＝DC，設(shè)AD＝a，則CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一．選擇題（共4小題）1．（2020秋?霍邱縣期末）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點(diǎn)O，連接BD、CE，則下列四個(gè)結(jié)論：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的性質(zhì)．找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解此題的關(guān)鍵．2．（2023?合肥一模）已知：△ABC中，AD是中線，點(diǎn)E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．則的值為（）A． B． C． D．【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)及外角與內(nèi)角的關(guān)系說(shuō)明∠B＝∠DAC，再判斷△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性質(zhì)用CE表示出AC，最后代入比例得結(jié)論．【解答】解：∵AD是AC邊上的中線，∴2CD＝BC．∵CE＝CD，∴∠ADC＝∠CED．∴∠DAC+∠ACE＝∠B+∠BAD．∵∠BAD＝∠ACE，∴∠B＝∠DAC．又∵∠ACD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAC．∴．∴AC2＝BC?CD＝2CD2＝2CE2．∴AC＝CE．＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角與內(nèi)角的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022?瑤海區(qū)三模）如圖，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，連接CC'，將CC′沿C′B′方向平移至EB'，連接BE，若CC'＝，則BE的長(zhǎng)為（）A．1 B． C． D．2【分析】連接BB′，在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得＝，再利用相似三角形的性質(zhì)可得＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，從而利用等式的性質(zhì)可得∠BAB′＝∠CAC′，進(jìn)而可證△BAB′∽△CAC′，然后利用相似三角形的性質(zhì)可得∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，再利用平移的性質(zhì)可得CC′∥B′E，＝＝，從而利用平行線的性質(zhì)可得∠BB′E＝30°，最后證明△BCA∽△BEB′，從而可得∠BEB′＝90°，進(jìn)而在Rt△BEB′中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接BB′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E?tan30°＝×＝，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，平移的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?鳳陽(yáng)縣期末）如圖，點(diǎn)P在△ABC的邊AC上，若要判定△ABP∽△ACB，則下列添加的條件不正確的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法，逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，A、當(dāng)∠ABP＝∠C時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故A不符合題意；B、當(dāng)∠APB＝∠ABC時(shí)，滿足兩組角對(duì)應(yīng)相等，可判斷△ABP∽△ACB，故B不符合題意；C、當(dāng)＝時(shí)，滿足兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，可判斷△ABP∽△ACB，故C不符合題意；D、當(dāng)＝時(shí)，其夾角不相等，則不能判斷△ABP∽△ACB，故D符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，即在兩個(gè)三角形中，滿足三邊對(duì)應(yīng)成比例、兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等或兩組角對(duì)應(yīng)相等，則這兩個(gè)三角形相似．二．填空題（共2小題）5．（2020秋?蚌埠月考）如圖，△ABC≌△ADE且BC、DE交于點(diǎn)O，連接BD、CE，則下列四個(gè)結(jié)論①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有①②③．【分析】由全等三角形的性質(zhì)依次判斷即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案為：①②③【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（2022?安徽模擬）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，小明進(jìn)行了如下操作：如圖，將兩張等腰直角三角形紙片ABC和CDE如圖放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分別與AB邊相交于M、N兩點(diǎn)．請(qǐng)完成下列探究：（1）若AC＝2，則AN?BM的值為4；（2）過(guò)M作MF⊥AC于F，若＝，則的值為．【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可證明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，從而可得∠NCG＝∠MCF，可證得△GCN∽△FCM，可得＝＝，設(shè)CG＝4k，則CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE為等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN?BM＝AC?BC＝4，故答案為：4；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB于點(diǎn)G，∵M(jìn)F⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，設(shè)CG＝4k，則CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖形找到相似三角形，熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)．三．解答題（共6小題）7．（2021?瑤海區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知：如圖，△ABD∽△ACE．求證：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性質(zhì)得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法可得到結(jié)論．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定：兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；也考查了相似三角形的性質(zhì)．8．如圖，已知：，求證：AB?CE＝AC?BD．【分析】根據(jù)相似三角形的判定由得到△ABC∽△ADE，則∠BAC＝∠DAE，于是有∠BAD＝∠CAE，由＝得到＝，于是可判斷△ABD∽△ACE，利用相似比即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵＝，即＝，∴△ABD∽△ACE，∴AB：AC＝BD：CE，即AB?CE＝AC?BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：如果兩個(gè)三角形的三條對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且它們所夾的角也相等，那么這兩個(gè)三角形相似；相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．9．（2017秋?禹會(huì)區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知△ABD∽△ACE，求證：△ABC∽△ADE．【分析】根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，＝，即可求證△ABC∽△ADE．即可解題．【解答】證明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，＝．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵＝．∴△ABC∽△ADE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊比值相等的性質(zhì)，考查了相似三角形的判定，本題中求證∠BAC＝∠DAE是解題的關(guān)鍵．10．（2023?亳州二模）如圖1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求證：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，試判斷△ADE的形狀，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，旋轉(zhuǎn)△ADE，使點(diǎn)D落在邊BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求證：CE⊥BC．【分析】（1）①根據(jù)兩個(gè)角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根據(jù)∠BAC＝∠DAE，可證明結(jié)論；②由①知，當(dāng)AB＝AC時(shí)，AD＝AE，則△ADE是等腰三角形；（2）同理證明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余，即可證明結(jié)論．【解答】（1）①證明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?當(dāng)涂縣校級(jí)期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求證：△PAB∽△PBC；（2）求證：AC＝PC．【分析】（1）先由三角形的內(nèi)角和定理及等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PAB＝∠PCB，再利用相似三角形的判定定理得結(jié)論；（2）由（1）△PAB∽△PBC，利用相似三角形的性質(zhì)得到PA與PC的關(guān)系，再說(shuō)明△PAC是直角三角形，最后由勾股定理得結(jié)論．【解答】證明：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝BC．∵∠APB＝135°，∠ABC＝45°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°，∠PBA+∠PBC＝45°，∴∠PAB＝∠PCB．又∵∠APB＝∠BPC，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴＝＝＝．∴PB＝PC，PA＝PB．∴PA＝2PC．∵∠APB+∠BPC+∠APC＝360°，∠APB＝∠BPC＝135°，∴∠APC＝90°．∴AC＝＝＝PC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角形的內(nèi)角和定理是解決本題的關(guān)鍵．12．（2020?蕪湖三模）（1）（問(wèn)題發(fā)現(xiàn)）如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）（類比探究）如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點(diǎn)B，D，E在同一條直線上，請(qǐng)判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）（解決問(wèn)題）如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點(diǎn)D在AB邊上，DE⊥AC于點(diǎn)E，AE＝3，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，CE的長(zhǎng)是多少？（直接寫出答案）【分析】（1）首先根據(jù)△ACB和△DAE均為等邊三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，據(jù)此判斷出∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)全等三角形的判定方法，判斷出△ABD≌△ACE，即可判斷出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，進(jìn)而判斷出∠BEC的度數(shù)為60°即可；（2）首先根據(jù)△ACB和△ADE均為等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，進(jìn)而利用相似三角形的判定和性質(zhì)解答即可；（3）