專題04 全等模型-半角模型（原卷版）

專題04全等模型-半角模型全等三角形在中考數(shù)學幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學生必須掌握的一塊內容，本專題就半角模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。半角模型概念：過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現(xiàn)線段的轉化。解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數(shù)量關系。半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.模型1.半角模型（90°-45°型）【模型展示】1）正方形半角模型條件：四邊形ABCD是正方形，∠ECF=45°；結論：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分∠BEF和∠EFD。2）等腰直角三角形半角模型條件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；結論：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；例1．（2022·黑龍江九年級階段練習）已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點M、N．當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，（如圖1），易證BM+DN=MN．(1)當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關系？寫出猜想，并加以證明；(2)當∠MAN繞點A旋轉到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關系？請直接寫出你的猜想．例2．（2022·北京四中九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，點P在線段AB上，作射線CP（0°＜∠ACP＜45°)，射線CP繞點C逆時針旋轉45°，得到射線CQ，過點A作AD⊥CP于點D，交CQ于點E，連接BE．(1)依題意補全圖形；(2)用等式表示線段AD，DE，BE之間的數(shù)量關系，并證明．例3．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，D、E是斜邊上兩點，且，若，，，則與的面積之和為（

）A．36 B．21 C．30 D．22模型2.半角模型（60°-30°型或120°-60°型）1）等邊三角形半角模型（120°-60°型）條件：ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°；結論：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周長=2AB；⑤DE、DF分別平分∠BEF和∠EFC。2）等邊三角形半角模型（60°-30°型）例1．（2022·綿陽市八年級期中）在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系．(1)如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時，BM、NC、MN之間的數(shù)量關系是；(2)如圖2，點M、N在邊AB、AC上，且當DM≠DN時，猜想（1）問的結論還成立嗎？若成立請直接寫出你的結論；若不成立請說明理由．(3)如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關系如何？并給出證明．例2．（2022秋·江蘇揚州·八年級校考階段練習）如圖，在等邊三角形中，在AC邊上取兩點使．若，，，則以為邊長的三角形的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．隨的值而定例3．（2022·廣東廣州·二模）如圖，點為等邊外一點，，，點，分別在和上，且，，，則的邊長為______．例4．（2023.重慶市八年級期中）問題情境：在等邊△ABC的兩邊AB，AC上分別有兩點M，N，點D為△ABC外一點，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．特例探究：如圖1，當DM＝DN時，（1）∠MDB＝度；（2）MN與BM，NC之間的數(shù)量關系為；歸納證明：（3）如圖2，當DM≠DN時，在NC的延長線上取點E，使CE＝BM，連接DE，猜想MN與BM，NC之間的數(shù)量關系，并加以證明．拓展應用：（4）△AMN的周長與△ABC的周長的比為．模型3.半角模型（-型）條件：∠BAC=，AB=AC，∠DAE=；結論：①△BAD≌△CAF；②△EAD≌△EAF；③∠ECF=180°-。例1.（2023.上海七年級期中）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點E、F分別在AD、AB上，且.（1）求證：；（2）連結AC，若，求度數(shù).例2．（2023春·江蘇·八年級專題練習）（1）如圖①，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且．請直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系：___________；（2）如圖②，在四邊形中，，，，分別是邊，上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立？請寫出證明過程；（3）在四邊形中，，，，分別是邊，所在直線上的點，且．請畫出圖形（除圖②外），并直接寫出線段，，之間的數(shù)量關系．例3．（2022秋·陜西延安·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】（1）如圖①，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD上的點，且.求證：；【問題探究】（2）如圖②，在四邊形中，，，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且，（1）中的結論是否仍然成立?若成立，請說明理由；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并說明理由.例4．（2023.山東八年級期中）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關系為．課后專項訓練1．（2022.廣西八年級期中）如圖，△ABC是邊長為6的等邊三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以點D為頂點作一個60°角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連結MN，則△AMN的周長是．2．（2023·廣東八年級課時練習）四邊形是由等邊和頂角為的等腰排成，將一個角頂點放在處，將角繞點旋轉，該交兩邊分別交直線、于、，交直線于、兩點．（1）當、都在線段上時（如圖1），請證明：；（2）當點在邊的延長線上時（如圖2），請你寫出線段，和之間的數(shù)量關系，并證明你的結論；（3）在（1）的條件下，若，，請直接寫出的長為．3．（2022·重慶市育才中學二模）回答問題（1）【初步探索】如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，探究圖中∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系．小王同學探究此問題的方法是：延長FD到點G，使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論應是_______________；（2）【靈活運用】如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分別是BC、CD上的點，且EF=BE+FD，上述結論是否仍然成立，并說明理由；（3）【拓展延伸】知在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD，若點E在CB的延長線上，點F在CD的延長線上，如圖3所示，仍然滿足EF=BE+FD，請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系．4．（2022·江西景德鎮(zhèn)·九年級期中）（1）【特例探究】如圖1，在四邊形中，，，，，猜想并寫出線段，，之間的數(shù)量關系，證明你的猜想；（2）【遷移推廣】如圖2，在四邊形中，，，．請寫出線段，，之間的數(shù)量關系，并證明；（3）【拓展應用】如圖3，在海上軍事演習時，艦艇在指揮中心（處）北偏東20°的處．艦艇乙在指揮中心南偏西50°的處，并且兩艦艇在指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正西方向以80海里/時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏西60°的方向以90海里/時的速度前進，半小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達，處，且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為75°．請直接寫出此時兩艦艇之間的距離．5．（2022·浙江·九年級階段練習）如圖1，等腰直角三角板的一個銳角頂點與正方形ABCD的頂點A重合，將此三角板繞點A旋轉，使三角板中該銳角的兩條邊分別交正方形的兩邊BC，DC于點E，F(xiàn)，連接EF．（1）猜想BE、EF、DF三條線段之間的數(shù)量關系，并證明你的猜想；（2）在圖1中，過點A作AM⊥EF于點M，請直接寫出AM和AB的數(shù)量關系；（3）如圖2，將Rt△ABC沿斜邊AC翻折得到Rt△ADC，E，F(xiàn)分別是BC，CD邊上的點，∠EAF=∠BAD，連接EF，過點A作AM⊥EF于點M，試猜想AM與AB之間的數(shù)量關系．并證明你的猜想．6．（2022·湖北武漢·九年級期中）（1）如圖1，正方形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+DF，請你直接寫出∠BAE、∠FAD、∠EAF之間的數(shù)量關系：．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，，點E、F分別是邊BC、CD上的點，EF＝BE+FD，請問：（1）中結論是否成立？若成立，請證明結論．（3）若（2）中的點E、點F分別在邊CB、CD的延長線上（如圖3所示），其他條件不變，則下列兩個關于∠EAF與∠BAD的關系式，哪個是正確的？請證明結論．①∠EAF＝∠BAD；②2∠EAF+∠BAD＝360°．7．（2023春·山東·八年級專題練習）已知，如圖1，四邊形是正方形，，分別在邊、上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問題時，旋轉是一種常用的方法．(1)在圖1中，連接，為了證明結論“”，小亮將繞點順時針旋轉后解答了這個問題，請按小亮的思路寫出證明過程；(2)如圖2，當繞點旋轉到圖2位置時，試探究與、之間有怎樣的數(shù)量關系？8．（2022春·廣東廣州·八年級廣州大學附屬中學?？计谀﹩栴}：如圖（1），點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，試判斷BE、EF、FD之間的數(shù)量關系．(1)延長FD到點G使DG＝BE，連接AG，得到至△ADG，從而可以證明EF＝BE＋FD，請你利用圖（1）證明上述結論．(2)如圖（2），四邊形ABCD中，，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，點E、F分別在邊BC、CD上，則當∠EAF與∠BAD滿足______數(shù)量關系時，仍有EF＝BE＋FD，并說明理由．(3)如圖（3），在某公園的同一水平面上，四條通道圍成四邊形ABCD，已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分別有景點E、F．且AE⊥AD，米，現(xiàn)要在E、F之間修一條筆直道路，求這條道路EF的長．9．（2023秋·江蘇揚州·八年級校考期末）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數(shù)量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數(shù)量關系？請寫出猜想，并給予證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數(shù)量關系為．10．（2023春·浙江·八年級專題練習）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結論是否仍然成立？請說明理由．11.如圖，正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別與邊BC、CD交于點E、F，AE、AF分別交BD于點G、H，且∠EAF＝45°．（1）當∠AEB＝55°時，求∠DAH的度數(shù)；（2）設∠AEB＝α，則∠AFD＝（用含α的代數(shù)式表示）；（3）求證：∠AEB＝∠AEF．12．（2022秋·山西呂梁·九年級?？计谥校┰诰毩曊n上，慧慧同學遇到了這樣一道數(shù)學題：如圖，把兩個全等的直角三角板的斜邊重合，組成一個四邊形ACBD，∠ACD＝30°，以D為頂點作∠MDN，交邊AC，BC于點M，N，∠MDN＝60°，連接MN．探究AM，MN，BN三條線段之間的數(shù)量關