22人教版高中數(shù)學新教材選擇性必修第二冊-第五章-一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章末總結(jié)

2/2第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用章末總結(jié)體系構(gòu)建題型整合題型1導數(shù)的幾何意義與應用例1（2020課標Ⅰ理,6,5分）函數(shù)f(x)=x4?2A.y=?2x?1B.y=?2x+1C.y=2x?3D.y=2x+1答案：B解析：f(x)=x∴f(1)=?1,f因此,所求切線的方程為y+1=?2(x?1),即y=?2x+1.故選B.方法歸納1.函數(shù)的導數(shù)的幾何意義就是函數(shù)f(x)的圖象在x=x0處的切線斜率,即2.求曲線的切線方程的注意事項：（1）曲線y=f(x)在點P（x0,f(x（2）求曲線y=f(x)過點P（x0,f(x0)）的切線方程時,若P（x0,f(x0)）是切點,則切線方程為y?f(x0)=f'(x0)(x?x0);若P（x0,f(x遷移應用1.（2020山東青島高二檢測）已知直線y=x+2與曲線y=ln(x+a)相切,則a的值為答案：3解析：設曲線y=ln(x+a)上的切點坐標為(x0,y0),因為直線所以x0題型2導數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性和極值中的應用例2（2021山東威海高二期中）設f(x)=xln（1）令g(x)=f'(x)（2）已知f(x)在x=1處取得極大值,求實數(shù)a的取值范圍.答案：（1）由f(x)=xlnx?axg(x)=f'(x)=當a≤0時,g'(x)＞0,函數(shù)當a＞0,x∈(0,12a)時,g'(x)＞0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,x∈(所以當a≤0時,函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);當a＞0時,函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,12a)（2）由（1）知,f'①當a≤0時,f'所以當x∈(0,1)時,f'當x∈(1,+∞)時,f'所以f(x)在x=1處取得極小值,不合題意.②當0＜a＜12時,12a＞1,由（1）知則當x∈(0,1)時,f'(x)＜0,x∈(1,1所以f(x)在（0,1）內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,12a)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f(x)③當a=12,即12a=1時,所以當x∈(0,+∞)時,f'④當a＞12時,0＜12a＜1,當x∈(12a,1)時,f'綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(1方法歸納利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟（1）堅持定義域優(yōu)先原則：確定函數(shù)f(x)的定義域,確定函數(shù)有意義;（2）計算函數(shù)的導函數(shù)并確定其零點與符號：求導函數(shù)f'(x),解導數(shù)方程和導數(shù)不等式,確定（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性：若函數(shù)含有參數(shù),需對參數(shù)進行分類討論,分類討論堅持不重不漏原則,由函數(shù)的單調(diào)性計算極值和最值,得出結(jié)論.遷移應用2.已知函數(shù)f(x)=ln（1）當a=0時,求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;（2）令g(x)=f(x)?(ax?1),求函數(shù)g(x)的極值.答案：（1）當a=0時,f(x)=ln則f(1)=1,所以切點為（1,1）.又f'所以切線斜率k=f故切線方程為y?1=2(x?1),即2x?y?1=0.（2）因為g(x)=f(x)?(ax?1)=ln所以g'當a≤0時,因為x＞0,所以g'所以g(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),無極值.當a＞0時,g'令g'(x)=0,得x=1所以當x∈(0,1a)時,g'(x)＞0因此函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1a)所以當x=1a時,g(x)取得極大值,極大值為綜上可知,當a≤0時,函數(shù)g(x)無極值;當a＞0時,函數(shù)g(x)有極大值12a題型3導數(shù)在函數(shù)零點問題中的應用例3（2021江蘇南京高二檢測）已知函數(shù)f(x)=te（1）若f(x)的圖象在x=0處的切線與g(x)的圖象在x=1處的切線平行,求實數(shù)t的值;（2）設函數(shù)φ(x)=f(x)?g(x).①當t=1時,求證：φ(x)在定義域內(nèi)有唯一極小值點x0,且②若φ(x)恰有兩個零點,求實數(shù)t的取值范圍.答案：（1）f'設f(x)的圖象在x=0處的切線的斜率為k1g(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為k2∵兩切線平行,∴t2=1∵t＞0,∴t=1.（2）φ(x)=te①證明：當t=1時,φ(x)=e令?(x)=e∴?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.又?(1∴存在唯一的x0∈(12,1)當0＜x＜x0時,當x＞x0時,∴φ(x)有唯一的極小值點x0,且②當t≥1時,φ(x)=te當0＜t＜1時,令φ(x)=0?txe令F(x)=xe∴F(x)在(?∞,?1)上單調(diào)遞減;在(?1,+∞)上單調(diào)遞增,且F(0)=0.當?1＜x＜0時,F(x)＜0,當x＞0時,F(x)＞0,且F(x)單調(diào)遞增,∵F(tx)=F(lnx)而令G(x)=tx?ln令G'(x)=0,得且當0＜x＜1t時,當x＞1t時,∴G(x)min=1?ln1則1?ln1t＜0?0＜t＜1∴G(x)在(1,1t)和(1t,1方法歸納1.函數(shù)的零點是函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標,函數(shù)的零點與函數(shù)的單調(diào)性密不可分,判斷函數(shù)的單調(diào)性,確定函數(shù)零點的個數(shù)是導數(shù)的重要應用之一.2.利用導數(shù)確定函數(shù)零點的方法步驟：（1）確定函數(shù)的定義域,求函數(shù)的導數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,結(jié)合函數(shù)圖象確定函數(shù)零點的個數(shù).（2）對于含有參數(shù)的函數(shù)零點的判斷問題,通常需要對參數(shù)的取值范圍進行分類討論.遷移應用3.已知函數(shù)f(x)=asin?x?x+b（（1）證明:函數(shù)f(x)在（0,a+b]內(nèi)至少有一個零點;（2）設函數(shù)f(x)在x=π3處有極值,對于一切x∈[0,π2]答案：（1）證明：∵f(0)=b＞0,f(a+b)=asin∴f(0)?f(a+b)≤0,∴函數(shù)f(x)在（0,a+b]內(nèi)至少有一個零點.（2）∵f(x)=asin?x?x+b,由題意得f'(π3)=0,即acosπ記g(x)=x+cos則g'∵0≤x≤π∴22≤sin(x+π4∴g(x)故實數(shù)b的取值范圍是(1,+∞).題型4導數(shù)的實際應用例4某地自來水苯超標,當?shù)刈詠硭緦λ|(zhì)檢測后,決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì).已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后,經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足y=mf(x),其中f(x)=x（1）如果投放的藥劑的質(zhì)量m=5,試問自來水達到有效凈化一共可持續(xù)幾天?（2）如果投放的藥劑質(zhì)量為m,為了使在9天（從投放藥劑算起包括第9天）之內(nèi)的自來水達到最佳凈化,試確定應該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值.答案：（1）當m=5時,y=x當0＜x≤5時,x2當x＞5時,由5x+952x?2≥5,得綜上可知,0＜x≤21,所以自來水達到有效凈化一共可持續(xù)21天.（2）y=mf(x)=m當0＜x≤5時,y=mx225+2m當x＞5時,y'=?40m(2x?2)2＜0,所以函數(shù)y=為使5≤y≤10恒成立,只要7m4≥5,3m≤10,故應該投放的藥劑質(zhì)量m的最小值為207方法歸納建立函數(shù)模型解題的方法步驟（1）認真審題:實際應用題文字敘述長,數(shù)量關系眾多,所以首先要認真讀題審題,理順已知量、未知量與問題的聯(lián)系,必要時可以將數(shù)量整理成簡表的形式,便于分析數(shù)量之間的關系.（2）數(shù)學建模:明確實際問題對應的函數(shù)模型,確定定義域,將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題.（3）求最優(yōu)解:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值,得到目標函數(shù)的最值.（4）驗證結(jié)果:驗證數(shù)學問題的解是不是原實際問題的解.上述步驟用框圖表示為遷移應用4.學校舉行運動會需要張貼海報進行宣傳．現(xiàn)讓你設計一張如圖所示的豎向張貼的海報,要求版心面積為128?dm2,上、下兩邊各空2?答案：設版心的高為x?dm,則版心的寬為128此時四周空白面積為s(x)=(x+4)?(128求導數(shù)得s'(x)=2?512x2,令于是版心的寬為128x=12816=8,當x∈(0,16)時,s因此,x=16是函數(shù)s(x)的極小值點,也是最小值點．所以當版心高為16?dm,寬為8?高考鏈接1.（2019全國課標Ⅱ,10,5分）曲線y=2?sin?x+cosA.x?y?π?1=0B.C.2x+y?2?π+1=0D.答案：C解析：設y=f(x)=2?sin?x+cos∴曲線在點(πy?(?1)=?2(x?π),即2.（2018全國課標Ⅰ,5,5分）設函數(shù)f(x)=x3+(a?1)x2A.y=?2xB.y=?xC.y=2xD.y=x答案：D解析：因為f(x)為奇函數(shù),所以f(?x)=?f(x),由此可得a=1,故f(x)=xf'(x)=3x2+1,3.（2020天津,3,5分）函數(shù)y=4xA.B.C.D.答案：A解析：由函數(shù)的解析式得f(?x)=?4xx2易知f(1)=2,排除B,故選A.4.（2019全國課標Ⅰ,13,5分）曲線y=3(x2+x)答案：y=3x解析：因為y'=3(2x+1)ex+3(5.（2020北京,15,5分）為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)要限期整改.設企業(yè)的污水排放量W與時間t的關系為W=f(t),用f(b)?f(a)b?a的大小評價在[a,b]給出下列四個結(jié)論：①在[t②在t2③在t3④甲企業(yè)在[0,t1],[其中所有正確結(jié)論的序號是.答案：①②③解析：設y=?f(b)?f(a)b?a,由已知條件可得甲、乙兩個企業(yè)在[t1,由題意知在某一時刻企業(yè)污水治理能力的強弱由這一時刻的切線的斜率的絕對值表示,所以②對;在t3由計算式?f(b)?f(a)b?a可知,甲企業(yè)在6.（2018全國課標Ⅰ,16,5分）已知函數(shù)f(x)=2?sin?x+sin?2x,則答案：?3解析：解法一：因為f(x)=2?sin所以f'(x)=2?cos?x+2?cos即2kπ由f'(x)≤0得即2kπ+π3≤x≤2kπ+且f(x)解法二：因為f(x)=2?sin所以[f(x)]當且僅當3?sin所以0≤[f(x)]2≤274,所以7.（2020新高考Ⅰ,21,12分）已知函數(shù)f(x)=ae（1）當a=e時,求曲線y=f(x)在點(1,f(1))（2）若f(x)≥1,求a的取值范圍.答案：（1）當a=e時,f(x)=ex?ln∵f(1)=e+1,∴切點坐標為∴函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y?e?1=(e∴切線與兩坐標軸的交點坐標分別為(0,2),(?2∴所求三角形面積為12（2）解法一：由f(x)≥1得f(x)=ae不等式等價于eln令g(x)=ex+x顯然g(x)為單調(diào)增函數(shù),∴不等式又等價于lna+x?1≥lnx令?(x)=lnx?x+1,x＞0,則在（0,1）上?'(x)＞0,?(x)單調(diào)遞增;在(1,+∞)上?'∴l(xiāng)na≥0,即a≥1,∴a的取值范圍是解法二：∵f(x)=ae∴f設g(x)=f'(x),∴g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,即f'(x)在當a=1時,f'當a＞1時,1a∴存在唯一的x0＞0,使得f'(x當x∈(x0,+∞)時,f因此f(x)=1∴f(x)＞1,∴f(x)≥1恒成立.當0＜a＜1時,f(1)=a+lna＜a＜1,∴f(1)＜1,所以綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).8.（2019全國課標Ⅱ,20,12分）已知函數(shù)f(