專題04 立體幾何（老師版）

專題04立體幾何一、單選題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應(yīng)性考試】已知某幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖①所示，其俯視圖水平放置的直觀圖如圖②中粗線部分所示，其中其中四邊形為平行四邊形，，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)直觀圖還原可知,俯視圖是邊長為4的正方形,結(jié)合正視圖和側(cè)視圖可知,該幾何體后半部分為長方體,前半部分為半個圓柱,長方體的邊長分別為2,2,4,則其體積為,半個圓柱的底面半徑為2,高為4,則其體積為,因此,該幾何體的體積為:,故選:A.2.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應(yīng)性考試】如圖，正方體的棱長為分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點，設(shè).給出以下四個命題：①平面與平面所成角的最大值為45°；②四邊形的面積的最小值為；③四棱錐的體積為；④點到平面的距離的最大值為.其中命題正確的序號為（）A．②③④ B．②③ C．①②④ D．③④【答案】A【解析】對于①,由面面平行的性質(zhì)定理可得,,可得四邊形為平行四邊形,又直角梯形和直角梯形全等,可得,即有四邊形為菱形,且,平面在底面上的射影為四邊形,設(shè)平面與平面所成角為,由面積射影公式可得,由,可得,可得平面與平面所成角的最大值不為,故①錯誤;對于②,由,可得菱形的面積的最小值為,故②正確;對于③,因為四棱錐的體積為,故③正確;對于④,,,設(shè)到平面的距離為,可得,所以(其中,當即時,取得最大值,故④正確.故選:A.3.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質(zhì)量檢測】如圖，在直三棱柱中，，，，、分別是、的中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取的中點，連接、、.易知是的中位線，所以且.又且，為的中點，所以且，所以且.所以四邊形是平行四邊形，所以，所以就是異面直線與所成的角.因為，，，、、分別是、、的中點，所以，且.由勾股定理得，所以.由勾股定理得，.在中，由余弦定理得.故選：C.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】如圖，網(wǎng)格上紙上小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【答案】C【解析】該棱錐如圖，，它可以看作是從正方體中截出的一部分，其體積為．故選C．5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】已知直三棱柱A． B． C． D．【答案】C【解析】因為直三棱柱中，AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC為過底面ABC的截面圓的直徑．取BC中點D，則OD⊥底面ABC，則O在側(cè)面BCC1B1內(nèi)，矩形BCC1B1的對角線長即為球直徑，所以2R＝＝13，即R＝6.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（五）】如圖是一個裝有水的倒圓錐形杯子，杯子口徑6cm，高8cm(不含杯腳)，已知水的高度是4cm，現(xiàn)往杯子中放入一種直徑為1cm的珍珠，該珍珠放入水中后直接沉入杯底，且體積不變.如果放完珍珠后水不溢出，則最多可以放入珍珠（）A．98顆 B．106顆 C．120顆 D．126顆【答案】D【解析】作出圓錐的軸截面圖如圖，由題意，，，，設(shè)，則，即.則最大放入珍珠的體積因為一顆珍珠的體積是.由.所以最多可以放入珍珠126顆.故選：D7.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期第一次高考模擬】已知△SAB是邊長為2的等邊三角形，∠ACB＝45°，當三棱錐S﹣ABC體積最大時，其外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知，平面CAB⊥平面SAB，且CA＝CB時，三棱錐S﹣ABC體積達到最大，如圖所示，則點D，點E分別為△ASB，△ACB的外心，并過兩個三角形的外心作所在三角形面的垂線，兩垂直交于點O．∴點O是此三棱錐外接球的球心，AO即為球的半徑．在△ACB中，AB＝2，∠ACB＝45°?∠AEB＝90°，由正弦定理可知，2AE，∴AE＝EB＝EC，延長CE交AB于點F，則F為AB的中點，所以點D在直線SF上，∴四邊形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，則有OE⊥AE，又∵OE＝DFSFAB，∴OA．∴S球表面積＝4πR2＝4π×（）2．故選：B．8.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期第一次高考模擬】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有羨除，下廣六尺，上廣一丈，深三尺，末廣八尺，無深，袤七尺．問積幾何”，羨除是一個五面體，其中三個面是梯形，另兩個面是三角形，已知一個羨除的三視圖如圖粗線所示，其中小正方形網(wǎng)格的邊長為1，則該羨除的表面中，三個梯形的面積之和為（）A．40 B．43 C．46 D．47【答案】C【解析】由三視圖可知，該幾何體的直現(xiàn)圖如圖五面體，其中平面平面，，底面梯形是等腰梯形，高為3,梯形的高為4,等腰梯形的高為，三個梯形的面積之和為,故選C.9.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期高考模擬卷（二）】已知長方體，，，是的中點，點在長方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是（）A．6 B． C． D．9【答案】D【解析】如圖所示,設(shè),,,,分別為,,,,的中點,則,,所以平面,平面,又,所以平面平面,所以動點的軌跡是六邊形及其內(nèi)部,因為,,所以,,,到的距離為,所以六邊形的面積,故選:D.10.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】“中國天眼”是我國具有自主知識產(chǎn)權(quán)，世界最大單口徑，最靈敏的球面射電望遠鏡（如圖）．其反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，h為球冠的高）設(shè)球冠底的半徑為r，周長為C，球冠的面積為S，則當時，（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，，又，，解得：，即，故選：B11.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中，，，點到平面的距離為，則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為（）（假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi)）A． B． C． D．【答案】D【解析】幾何體為四棱臺，所以延長必交于一點，記為O，且四棱錐相似于，所以.過點作OH⊥面于H，作OG⊥面于G，則,又，解得：OG=,OH=，四棱臺的體積.故選：D12.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二?！恳阎襟w的棱長為1，點，分別為線段，上的動點，點在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】：點關(guān)于的對稱點為，關(guān)于的對稱點為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因為，而，故，故選：B.13.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】如圖，水平桌面上放置一個棱長為4的正方體水槽，水面高度恰為正方體棱長的一半，在該正方體側(cè)面上有一個小孔，點到的距離為3，若該正方體水槽繞傾斜（始終在桌面上），則當水恰好流出時，側(cè)面與桌面所成角的正切值為（）A． B． C． D．2【答案】D【解析】由題意知，水的體積為，如圖所示，設(shè)正方體水槽繞傾斜后，水面分別與棱交于由題意知，水的體積為，即，在平面內(nèi)，過點作交于，則四邊形是平行四邊形，且又側(cè)面與桌面所成的角即側(cè)面與水面所成的角，即側(cè)面與平面所成的角,其平面角為,在直角三角形中，.故選：D.14.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！磕嘲嗫萍寂d趣小組研究在學校的圖書館頂上安裝太陽能板的發(fā)電量問題，要測量頂部的面積，將圖書館看成是一個長方體與一個等底的正四棱錐組合而成，經(jīng)測量長方體的底面正方形的的邊長為26米，高為9米，當正四棱錐的頂點在陽光照射下的影子恰好落在底面正方形的對角線的延長線上時，測的光線與底面夾角為，正四棱錐頂點的影子到長方體下底面最近頂點的距離為11.8米，則圖書館頂部的面積大約為（）平方米（注：）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖1，根據(jù)題意得：，，，所以，故，故在中，設(shè)，則，，所以，即：，解得所以如圖2，在正四棱錐中，，，取中點，連接，所以由正四棱錐的性質(zhì)得為直角三角形，故，所以，所以正四棱錐的側(cè)面積為.故選：C15.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！恳阎校?，，點在線段上除，的位置運動，現(xiàn)沿進行翻折，使得線段上存在一點，滿足平面；若恒成立，則實數(shù)的最大值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【解析】易知要滿足平面有兩個極限狀態(tài)，第一是為的角平分線時，此時，第二是點與點重合時，此時；故，則實數(shù)的最大值為1，故選：A.16.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則此圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，母線為l，因為其表面積為，所以，即，又因為它的側(cè)面展開圖是一個半圓，所以，即，所以，所以此圓錐的體積為.故選：A17.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（七）】如圖，已知正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為2，點分別在半圓弧，(均不含端點)上，且，，，在球上，則（）A．當點在的三等分點處，球O的表面積為B．當點在的中點處，過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面的形狀都是四邊形C．球的表面積的取值范圍為D．當點在的中點處，三棱錐的體積為定值【答案】D【解析】如圖1，取中點，中點，中點，根據(jù)題意，球心在線段上，設(shè)，則由余弦定理，設(shè)，則，，因為（為球的半徑），所以，所以，所以球的表面積為，故C選項錯誤，當點在的三等分點處，，則，所以，所以球的表面積為，故A選項錯誤；對于B選項，取中點，當點在的上時，連接，在平面中過點作的平行線，與線段分別交于，延長與相交，連接交點與點交于，此時，當點在的中點處，過，，三點的平面截正四棱柱所得的截面為五邊形，故B選項錯誤；對于D選項，當點在的中點處，三棱錐的體積為，為定值，故D選項正確.故選：D18.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期二?！吭谥彼睦庵?，底面是邊長為6的正方形，點在線段上，且滿足，過點作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面積的最大值與最小值之差為，則直四棱柱外接球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為四棱柱是直棱柱，且底面是正方形，所以其外接球的球心位于直四棱柱的中心，記作，過點向底面作垂線，垂足為，則，連接，因為底面是邊長為6的正方形，所以點為的中點，取中點為，連接，，，設(shè)，則，所以外接球的半徑為，因為點在線段上，且滿足，則，又，所以，因為直四棱柱中，側(cè)面，，所以側(cè)面，所以，又底面，所以，又，所以，則；根據(jù)球的特征，過點作直四棱柱外接球的截面，當截面過球心時，截面圓面積最大，此時截面面積為；當截面時，此時截面圓半徑為，所以此時截面圓面積為；又截面面積的最大值與最小值之差為，所以，因此，即，所以.故選：C.二、多選題1.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過AB作一垂直于直線B1C的平面交平面ADD1A1于直線l，動點M在直線l上，則（）A．B1C//lB．B1C⊥lC．點M到平面BCC1B1的距離等于線段AB的長度D．直線BM與直線CD所成角的余弦值的最大值是【答案】BC【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，過AB作一垂直于直線B1C的平面交平面ADD1A1于直線l，l就是AD1，所以B1C⊥l，B正確，A錯誤；對于C，點M到平面BCC1B1的距離等于線段AB的長度，正確；對于D，直線AB與直線CD平行，所以直線BM與直線CD所成的角即，當點M與A重合時，為，此時余弦值為1，故錯誤，故選：BC.2.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點．則（）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點C與點G到平面AEF的距離相等【答案】BC【解析】根據(jù)題意，假設(shè)直線D1D與直線AF垂直，又,平面AEF，所以平面AEF,所以,又,所以,與矛盾，所以直線D1D與直線AF不垂直，所以選項A錯誤；因為A1G∥D1F，A1G?平面AEFD1，平面AEFD1，所以A1G∥平面AEFD1，故選項B正確．平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1，由題得該等腰梯形的上底下底,腰長為，所以梯形面積為，故選項C正確；假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點，連接交于，而不是中點，則假設(shè)不成立，故選項D錯誤．故選：BC．3.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（三）】已知球是正三棱錐(底面為正三角形，點在底面的射影為底面中心)的外接球，，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】如下圖所示，其中是球心，是等邊三角形的中心，可得，，設(shè)球的半徑為，在三角形中，由，即，解得，故最大的截面面積為在三角形中，，由余弦定理得在三角形中，，設(shè)過且垂直的截面圓的半徑為，故最小的截面面積為所以過點作球的截面，所以截面圓面積的取值范圍是故選：．4.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】已知，是互不重合的直線，，是互不重合的平面，下列四個命題中正確的是（）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，則D．若，，，則【答案】BD【解析】對于A，若，，，，則與相交或平行，故A錯誤；對于B，若，，，則由線面平行的性質(zhì)得，故B正確；對于C，若，，，則或，故C錯誤；對于D，若，，，則由面面垂直的判定定理得，故D正確.故選：BD.5.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷一】已知正方形的邊長為2，將沿AC翻折到的位置，得到四面體，在翻折過程中，點始終位于所在平面的同一側(cè)，且的最小值為，則下列結(jié)論正確的是（）A．四面體的外接球的表面積為B．四面體體積的最大值為C．點D的運動軌跡的長度為D．邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為【答案】ACD【解析】對A：，AC中點即為四面體的外接球的球心，AC為球的直徑，，，故選項A正確；對B：當平面平面時，四面體體積的最大，此時高為，，故選項B錯誤；對C：設(shè)方形對角線AC與BD交于O，由題意，翻折后當?shù)淖钚≈禐闀r，為邊長為的等邊三角形，此時，所以點D的運動軌跡是以O(shè)為圓心為半徑的圓心角為的圓弧，所以點D的運動軌跡的長度為，故選項C正確；對D：結(jié)合C的分析知，邊AD旋轉(zhuǎn)所形成的曲面的面積為以A為頂點，底面圓為以O(shè)為圓心為半徑的圓錐的側(cè)面積的，即所求曲面的面積為，故選項D正確.故選:ACD.6.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二模】如圖，在邊長為4的正方形中，點、分別在邊、上（不含端點）且，將，分別沿，折起，使、兩點重合于點，則下列結(jié)論正確的有（）．A．B．當時，三棱錐的外接球體積為C．當時，三棱錐的體積為D．當時，點到平面的距離為【答案】ACD【解析】A選項：正方形由折疊的性質(zhì)可知：又面又面，；故A正確.B選項：當時，在中，，則由A選項可知，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩相互垂直，把三棱錐放置在長方體中，可得長方體的對角線長為，三棱錐的外接球半徑為，體積為，故B錯誤C選項：當時，在中，，則故C正確；D選項：設(shè)點到平面的距離為，則在中，，則即故D正確；故選：ACD7.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！咳鐖D，某校測繪興趣小組為測量河對岸直塔(A為塔頂，B為塔底)的高度，選取與B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D(B，C，D不在同一直線上)，測得.測繪興趣小組利用測角儀可測得的角有：，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出塔的高度的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】解一個三角形，需要知道三個條件，且至少一個為邊長.A.在中，已知，可以解這個三角形得到，再利用、解直角得到的值；B.在中，已知無法解出此三角形，在中，已知無法解出此三角形，也無法通過其它三角形求出它的其它幾何元素，所以它不能計算出塔的高度；C.在中，已知，可以解得到,再利用、解直角得到的值；D.如圖，過點作,連接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故選：ACD8.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】已知α，β是空間中兩個不同的平面，m，n是空間中兩條不同的直線，則給出的下列說法中，正確的是（）A．若，，則 B．若，m∥，則C．若，則 D．若，則【答案】AD【解析】根據(jù)垂直于同一個平面的兩條直線相互平行，所以A正確；若，當，m∥時，平面與不一定平行，所以B不正確；由，則可能在平面內(nèi)，所以C不正確；由兩平面平行，其中一個平面的垂線也一定垂直于另外一個平面，所以D也是正確的.故選：AD.9.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期二?！咳鐖D，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，正確的為A．B．截面C．D．異面直線與所成的角為【答案】ABD【解析】因為截面是正方形，所以，又平面所以平面又平面,平面平面截面，故B正確同理可證因為，所以，故A正確又所以異面直線與所成的角為，故D正確和不一定相等，故C錯誤故選：ABD10.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期三?！咳鐖D，正三棱柱各棱的長度均相等，為的中點，、分別是線段和線段上的動點（含端點），且滿足，當、運動時，下列結(jié)論中正確的是（）A．在內(nèi)總存在與平面平行的線段B．平面平面C．三棱錐的體積為定值D．可能為直角三角形【答案】ABC【解析】取、的中點、，連接、、.對于A選項，且，，，且，易知四邊形為梯形或平行四邊形，因為、分別為、的中點，所以，，則，且，為的中點，，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面，A選項正確；對于B選項，為等邊三角形，為的中點，則，平面，平面，，，平面，，平面，平面，因此，平面平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為定值，，平面，平面，所以，平面，因為，所以，點到平面的距離為定值，進而可知，三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，平面，平面，，為的中點，則，若為直角三角形，則為等腰直角三角形，則，設(shè)正三棱柱的棱長為，則，則，因為，故，所以，不可能為直角三角形，D選項錯誤.故選：ABC.三、填空題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應(yīng)性考試】母線長為，底面半徑為的圓錐內(nèi)有一球，與圓錐的側(cè)面、底面都相切，現(xiàn)放入一些小球，小球與圓錐底面、側(cè)面、球都相切，這樣的小球最多可放入__________個．【答案】10【解析】由題意可知圓錐軸截面為正三角形，高為3，如圖所示：設(shè)球O半徑為R，由∠OCB=30°，可得OC=2R，故OA=OC=2R，所以R+2R=3∴R=1，OC=2，故得EC=1.設(shè)小球半徑為r，同理可得,故，所以小球半徑為，且.這時到直線AO的距離為．這些小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個半徑為的圓M上，如圖所示：H為相鄰兩球切點，分別為相鄰兩球球心，設(shè)∠，則，，由三角函數(shù)的性質(zhì)可知，∴，∴，，，∵，故可得能放入小球個數(shù)最多為10故答案為102.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質(zhì)量檢測】已知三棱柱的各頂點均在表面積為的同一球面上，，則這個三棱柱的高是______.【答案】【解析】球的表面積，解得.因為，易知的外接圓的半徑，因為三棱柱各頂點均在同一球面上，故該三棱柱必為直三棱柱，所以三棱柱的高.故答案為：.3.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝2，二面角A－PB－C為直二面角，∠APB＝2∠BPC(∠BPC<)，M，N分別為側(cè)棱PA，PC上的動點，設(shè)直線MN與平面PAB所成的角為α.當?shù)淖畲笾禐闀r，則三棱錐P－ABC的體積為__________.【答案】【解析】如圖所示，當點與平面所成的角為二面角的大小時，此時線面角達到最大，設(shè)運動到時，作于，于，連結(jié)，二面角為直二面角，面面，，面，面面，面，，又，，面，，，則，設(shè)，，，，，，故答案為：.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（三）】如圖，大擺錘是一種大型游樂設(shè)備，常見于各大游樂園，游客坐在圓形的座艙中，面向外，通常大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉(zhuǎn)的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅(qū)動下做單擺運動.年月日國慶節(jié)，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點處，“大擺錘”啟動后，主軸在平面內(nèi)繞點左右擺動，平面與水平地面垂直，擺動的過程中，點在平面內(nèi)繞點作圓周運動，并且始終保持，.已知，在“大擺錘”啟動后，直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】設(shè)，，，當時，直線與平面所成角最大；此時直線與平面所成角的正弦值為故答案為：5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（五）】四棱錐各頂點都在球心為O的球面上，且平面ABCD，底面ABCD為矩形，，設(shè)E，F(xiàn)分別是PB，BC中點，則平面AEF被球O所截得的截面面積為___________．【答案】【解析】由題設(shè)知球心O為PC中點，故球O的直徑，故，設(shè)球心到平面AEF的距離為d，截面圓的半徑為r，由題設(shè)球心O到平面AEF的距離等于點B到平面AEF的距離，在三棱錐中，由等體積法得，∴，故截面面積為．故答案為：6.【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期三?！磕撤N游戲中，黑?黃兩個“電子狗”從棱長為1的正方體的頂點A出發(fā)沿棱向前爬行，每爬完一條棱稱為“爬完一段”.黑“電子狗”爬行的路線是，黃“電子狗”爬行的路線是，它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第段與第i段所在直線必須是異面直線(其中i是正整數(shù)).設(shè)黑“電子狗”爬完2021段?黃“電子狗”爬完2020段后各自停止在正方體的某個頂點處，這時黑?黃“電子狗”間的距離是___________.【答案】【解析】由題意，黑“電子狗”爬行路線為，即過6段后又回到起點，可以看作以6為周期，同理，黃“電子狗”爬行路線為，也是過6段后又回到起點.所以黑“電子狗”爬完2021段后實質(zhì)到達點B，黃“電子狗”爬完2020段后到達第4段的終點D1.此時的距離為.故答案為：.7.．【湖南師范大學附屬中學2021屆高三下學期月考（七）】假設(shè)太陽光線垂直于平面，在陽光下任意轉(zhuǎn)動棱長為的立方體，則它在平面上的投影面面積的最大值是________.【答案】【解析】當正方體與底面只有一個交點，并且過此點的對角線所在直線與此平面垂直，這時，投影面積最大.如圖，為此時正方體在平面的投影，此圖形是正六邊形，中間的虛線構(gòu)成等邊三角形，并且邊長為正方體面對角線，長度為，此等邊三角形的面積為正六邊形的面積為.故答案為：．四、解答題1.【2020屆湖南省長沙市長郡中學高三下學期第四次適應(yīng)性考試】如圖1所示，在矩形中，，，為中點，將沿折起，使點到點處，且平面平面，如圖2所示.（1）求證：：（2）在棱上取點，使平面平面，求平面與所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）余弦值為.【解析】(1)在矩形中,連接交于點,由題知,,,所以,即,又,所以,所以,即,故在翻折后的四棱錐中,有,又,所以平面,又平面,所以;(2)如圖所示,以點為原點,方向為軸的正方向建立空間直角坐標系,在矩中,經(jīng)計算可得,因此,過點作于點,因為平面平面,平面平面,所以平面,所以,又由(1)知,且,所以平面,所以,即有,因為點在上,設(shè),則,由解得,即,設(shè)平面的一個法向量為,,由,令,即,又平面的一個法向量為,所以,所以平面與所成銳二面角的余弦值為.2.【湖南省長沙市長郡中學2019-2020學年高三下學期2月質(zhì)量檢測】如圖，在四棱錐中，底面四邊形為矩形且，平面底面，且是正三角形，是中點.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）因為側(cè)面是正三角形，是的中點，所以.因為側(cè)面底面，側(cè)面底面，平面，所以底面.又平面，所以.因為底面為矩形且，所以.所以，所以.所以，即.又因為，、平面，所以平面；（2）因為，側(cè)面是正三角形，是的中點，所以.由勾股定理得，，，所以.設(shè)點到平面的距離為，由，得，即，解得.3.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期入學摸底】已知底面為正三角形的斜三棱柱中，分別是棱，的中點，點在底面投影為邊的中點，，.（1）證明：//平面；（2）若，，點為棱上的動點，當直線與平面所成角的正弦值為時，求點的位置.【答案】（1）證明見解析；（2）點靠近點的六等分點處.【解析】（1）因為斜三棱柱斜三棱柱各側(cè)面均為平行四邊形則是的中點又分別是棱，的中點，則又則四邊形為平行四邊形則為的中點則在三角形中，//連接則//所以//又平面平面；則//平面；（2）點在底面投影為邊的中點，所以平面,又因為三角形為正三角形，為中點，所以分別以所在直線為分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：因為，，，則，，所以，，，，，，，，，設(shè)則所以設(shè)平面的一個法向量則，，令，，所以.設(shè)AM與平面所成角為所以令同聯(lián)立可得當時，即點靠近點的六等分點處時，符號條件.4.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（二）】已知四棱柱中，底面為菱形，，為中點，在平面上的投影為直線與的交點.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，由于為中點，且，故為中點，故四邊形為平行四邊形,由于四棱柱且故四邊形為平行四邊形,由于底面為菱形，故，且，由于，故四邊形為平行四邊形，所以故：平面ABCD又平面平面故平面平面（2）由（1）BH，BD，兩兩垂直，以B為原點如圖建立空間直角坐標系.設(shè)平面的法向量為，故，令，故設(shè)平面的法向量為，故，令，故由圖像得二面角為銳角，故故5.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（三）】在如圖所示的圓柱中，AB為圓的直徑，是的兩個三等分點，EA，F(xiàn)C，GB都是圓柱的母線．（1）求證：平面ADE；（2）設(shè)BC=1，已知直線AF與平面ACB所成的角為30°，求二面角A—FB—C的余弦值．【答案】（1）見解析（2）.【解析】（1）連接，因為C，D是半圓的兩個三等分點，所以，又，所以均為等邊三角形.所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.因為EA，F(xiàn)C都是圓柱的母線，所以EA//FC.又因為平面ADE，平面ADE，所以平面ADE.又平面，所以平面平面ADE，又平面，所以平面ADE.（2）連接AC，因為FC是圓柱的母線，所以圓柱的底面，所以即為直線AF與平面ACB所成的角，即因為AB為圓的直徑，所以，在，所以，所以在因為，又因為，所以平面FBC，又平面FBC，所以.在內(nèi)，作于點H，連接AH.因為平面ACH，所以平面ACH，又平面ACH，所以，所以就是二面角的平面角.在，在，所以，所以，所以二面角的余弦值為.6.【湖南省長沙市長郡中學2020-2021學年高三上學期月考（五）】如圖，在四棱錐中，面，，且，，為的中點．（1）求證：平面平面；（2）若二面角為，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）詳見解析；（2）．【解析】（1）證明：在直角梯形中，由已知可得，，可得，過作，垂足為，則，求得，則，∴．∵面，∴，又，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）解：由（1）知，，則為二面角的平面角為，則．以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，．設(shè)平面的一個法向量為，由，取，得．∴直線與平面所成角的正弦值為：．7.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期第一次高考模擬】如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E為CD中點，以AE為折痕把△ADE折起，使點D到達點P的位置（P?平面ABCE）．（1）證明：AE⊥PB；（2）若直線PB與平面ABCE所成的角為，求二面角A﹣PE﹣C的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）連接BD，設(shè)AE的中點為O，∵AB∥CE，AB＝CECD，∴四邊形ABCE為平行四邊形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE，△ABE為等邊三角形，∴OD⊥AE，OB⊥AE，折疊后，又OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，又PB?平面POB，∴AE⊥PB．（2）在平面POB內(nèi)作PQ⊥平面ABCE，垂足為Q，則Q在直線OB上，∴直線PB與平面ABCE夾角為∠PBO，又OP＝OB，∴OP⊥OB，∴O、Q兩點重合，即PO⊥平面ABCE，以O(shè)為原點，OE為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，則P（0，0，），E（，0，0），C（1，，0），∴（，0，），（，，0），設(shè)平面PCE的一個法向量為（x，y，z），則，即，令x得（，﹣1，1），又OB⊥平面PAE，∴（0，1，0）為平面PAE的一個法向量，設(shè)二面角A﹣EP﹣C為α，則|cosα|＝|cos|，由圖可知二面角A﹣EP﹣C為鈍角，所以cosα．8.【湖南省長沙市長郡中學2020屆高三下學期高考模擬卷（二）】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，，，.（1）求證：平面平面；（2）若，試判斷棱上是否存在與點不重合的點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析.（2）答案見解析.【解析】（1）因為四邊形是平行四邊形，，所以，又，所以，所以，又，且，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）由（1）知平面，分別以所在直線為軸、軸，平面內(nèi)過點且與直線垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，由，，可得，所以，假設(shè)棱上存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則,即，令，可得，所以平面的一個法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，則:，解得或者（舍）.所以存在，使得直線與平面所成角的正弦值為.9.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期保溫卷二】如圖，已知等腰梯形中，，，，于點，現(xiàn)將△沿翻折到△的位置，使得二面角的大小為120°，若點為的三等分點，且.（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的三等分點且，連接，，∵，∴且.在等腰梯形中，，，，，∴且，∴且，即四邊形為平行四邊形，∴，又平面，平面，∴平面.（2）法一：∵，△沿翻折到△的位置，∴平面，又二面角的大小為120°，即.以為坐標原點，，所在直線分別為，軸，過點且垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，∴，，，則，.設(shè)是面的法向量，則，即，令，得.易知：平面的一個法向量為，∴，即面和面所成銳二面角的余弦值為.法二：過作，則，過作于，連接，則，∴為面和面所成銳二面角的平面角.在中，，，，∴，即面和面所成銳二面角的余弦值為10.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期二?！恐苯侨切沃?，是的中點，是線段上一個動點，且，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面．（1）當時，證明：平面；（2）是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【解析】（1）在中，，即，則，取的中點，連接交于，當時，是的中點，而是的中點，∴是的中位線，∴.在中，是的中點，∴是的中點.在中，，∴，則.又平面平面，平面平面，∴平面.又平面，∴.而，∴平面.（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.則，，，，由（1）知是中點，，而平面平面.∴平面，則.假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，則.設(shè)平面的一個法向量為，則即令，可得，，即.∴與平面所成的角的正弦值.解得（舍去）.綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.11.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期考前沖刺卷】如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，點為弧的中點，且、、、四點共面.（1）證明：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）如圖，連接，因為幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成，所以，，，因為，，所以四邊形為平行四邊形，，，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，因為因為平面，所以平面平面.（2）如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，設(shè)，，則、、、、，，，，，則，整理得，令，則，設(shè)平面的一個法向量為，則，整理得，令，則，，因為平面與平面所成銳二面角的余弦值為，所以，解得，即，因為平面，所以即直線與平面所成的角，在中，因為，，所以，故直線與平面所成的角為.12.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期一?！咳鐖D1，在等邊中，點D?E分別為邊?上的動點且滿足，記.將沿翻折到的位置并使得平面平面，連接，得到圖2，點N為的中點.（1）當平面時，求的值；（2）試探究：隨著入值的變化，二面角的大小是否改變？如果是，請說明理由；如果不是，請求出二面角的正弦值大小.【答案】（1）；（2）二面角的大小不變，正弦值為.【解析】（1）證明：取的中點為P，連接，，因為，，所以，又，所以，即N，E，D，P四點共面，又面，面，平面平面，所以，即為平行四邊形，所以，且，即，即.（2）取的中點O，由平面平面，且，所以平面，如圖建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，即，又平面的法向量，所以，即隨著值的變化，二面角的大小不變.且，所以二面角的正弦值為.13.【湖南省長沙市長郡中學2021屆高三下學期月考（六）】在四棱錐中，底面ABCD是邊長為的正方形，平面底面ABCD，.（1）求證：；（2）點M，N分別在棱，，，，求直線PB與平面