高考真題+知識總結(jié)+方法總結(jié)+題型突破14立體幾何中的計(jì)算問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

第頁近年高考真題+優(yōu)質(zhì)模擬題匯編(全國通用)專題14立體幾何中的計(jì)算問題【高考真題】1．(2022·新高考Ⅰ)已知正方體，則()A．直線與所成的角為B．直線與所成的角為C．直線與平面所成的角為D．直線與平面ABCD所成的角為1．答案ABD解析如圖，連接、，因?yàn)?，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，故直線與所成的角為，A正確；連接，因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)?，，所以平面，又平面，所以，故B正確；連接，設(shè)，連接，因?yàn)槠矫?，平面，則，因?yàn)椋?，所以平面，所以為直線與平面所成的角，設(shè)正方體棱長為1，則，，，所以，直線與平面所成的角為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫?，所以為直線與平面所成的角，易得，故D正確。故選ABD．2．(2022·全國甲理)在長方體中，已知與平面和平面所成的角均為，則()A．B．AB與平面所成的角為C．D．與平面所成的角為2．答案D解析如圖所示：不妨設(shè)，依題以及長方體的結(jié)構(gòu)特征可知，與平面所成角為，與平面所成角為，所以，即，，解得．對于A，，，，A錯(cuò)誤；對于B，過作于，易知平面，所以與平面所成角為，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對于C，，，，C錯(cuò)誤；對于D，與平面所成角為，，而，所以．D正確．故選D．3．(2022·浙江)如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點(diǎn)．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則()A．B．C．D．3．答案A解析如圖所示，過點(diǎn)作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選A．4．(2022·新高考Ⅱ)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A．B．C．D．4．答案A解析設(shè)正三棱臺上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選A．5．(2022·北京)已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點(diǎn)構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則T表示的區(qū)域的面積為()A．B．C．D．5．答案B解析設(shè)頂點(diǎn)在底面上的投影為，連接，則為三角形的中心，且，故．因?yàn)?，故，故S的軌跡為以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，而三角形內(nèi)切圓的圓心為O，半徑為，故S的軌跡圓在三角形內(nèi)部，故其面積為．故選B．6．(2022·全國甲理)甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為，側(cè)面積分別為和，體積分別為和．若，則()A．B．C．D．6．答案D解析設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，則，所以，又，則，所以，所以甲圓錐的高，乙圓錐的高，所以．故選C．7．(2022·新高考Ⅱ)如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則()A．B．C．D．7．答案CD解析設(shè)，因?yàn)槠矫?，，則，，連接交于點(diǎn)，連接，易得，又平面，平面，則，又，平面，則平面，又，過作于，易得四邊形為矩形，則，則，，，則，，，則，則，，，故A、B錯(cuò)誤；C、D正確．故選CD．8．(2022·全國乙理)已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為()A．B．C．D．8．答案C解析設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對角線夾角為，則(當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號成立)，即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，又，則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，故選C．9．(2022·新高考Ⅰ)已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上．若該球的體積為36π，且3≤l≤3eq\r(3)，則該正四棱錐體積的取值范圍是()A．[18，eq\f(81,4)]B．[eq\f(27,4)，eq\f(81,4)]C．[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]D．[18，27]9．答案C解析∵球的體積為36π，所以球的半徑R＝3，設(shè)正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則l2＝2a2＋h2，32＝2a2＋(3－h(huán))2．所以6h＝l2，2a2＝l2－h(huán)2，所以正四棱錐的體積V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×4a2×h＝eq\f(2,3)×(l2－eq\f(l4,36))×eq\f(l2,6)＝eq\f(1,9)(l4－eq\f(l6,36))，所以V′＝eq\f(1,9)(4l3－eq\f(l5,6))＝eq\f(1,9)l3(eq\f(24－l2,6))，當(dāng)3≤l≤2eq\r(6)時(shí)，V′＞0，當(dāng)2eq\r(6)≤l≤3eq\r(3)時(shí)，V′＜0，所以當(dāng)l＝2eq\r(6)時(shí)，正四棱錐的體積V取最大值，最大值為eq\f(64,3)，又l＝3時(shí)，V＝eq\f(27,4)，l＝3eq\r(3)時(shí)，V＝eq\f(81,4)．所以正四棱錐的體積V的最小值為eq\f(27,4)，所以該正四棱錐體積的取值范圍是[eq\f(27,4)，eq\f(64,3)]．故選C．10．(2022·新高考Ⅰ)南水北調(diào)工程緩解了北方一些地區(qū)水資源短缺問題，其中一部分水蓄入某水庫.已知該水庫水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為；水位為海拔時(shí)，相應(yīng)水面的面積為，將該水庫在這兩個(gè)水位間的形狀看作一個(gè)棱臺，則該水庫水位從海拔上升到時(shí)，增加的水量約為（）()A．B．C．D．10．答案C解析依題意可知棱臺的高為(m)，所以增加的水量即為棱臺的體積．棱臺上底面積，下底面積，∴．故選C．【方法總結(jié)】1．求異面直線所成的角的方法求異面直線所成的角常用方法是平移法，通過作三角形的中位線，平行四邊形等進(jìn)行平移，作出異面直線所成的角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．2．求直線與平面所成角的方法求直線與平面所成角的關(guān)鍵是尋找過直線上一點(diǎn)與平面垂直的垂線、垂足與斜足的連線即為直線在平面內(nèi)的射影，直線與直線在平面內(nèi)射影所成的角即為線面角．然后轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解．3．求二面角的方法求二面角是常見題型，根據(jù)所求兩面是否有公共棱可分為兩類：有棱二面角、無棱二面角，對于前者的二面角通常采用定義法或三垂線法等手段來定位出二面角的平面角，轉(zhuǎn)化為解三角形問題，進(jìn)而求解；而對于無棱二面角，一般通過延展平面找到棱使其轉(zhuǎn)化為有棱二面角．或用面積射影定理(若多邊形的面積為S，它在一個(gè)平面內(nèi)的射影圖形的面積為S′，且多邊形與該平面所成的二面角為θ，則cosθ＝eq\f(S′,S)．)去解決(如例3(5))．4．求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)．(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差求得所給幾何體的表面積．5．求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體．【題型突破】題型一空間角的計(jì)算1．(2018·全國Ⅱ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(5),2)D．eq\f(\r(7),2)1．答案C解析如圖，連接BE，因?yàn)锳B∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB．在Rt△ABE中，設(shè)AB＝2，則BE＝eq\r(5)，則tan∠EAB＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2)，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5),2)．2．如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為()A．eq\f(1,5)B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(4,5)2．答案D解析連接BC1，易證BC1∥AD1，則∠A1BC1即為異面直線A1B與AD1所成的角．連接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝eq\r(2)，A1B＝BC1＝eq\r(5)，故cos∠A1BC1＝eq\f(5＋5－2,2×\r(5)×\r(5))＝eq\f(4,5)，即異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為eq\f(4,5)．3．在我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)3．答案A解析如圖，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，EG，OG，F(xiàn)O，F(xiàn)G，則EF∥BD，EG∥AC，所以∠FEG為異面直線AC與BD所成的角．易知FO∥AB，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以FO⊥平面BCD，所以FO⊥OG，設(shè)AB＝2a，則EG＝EF＝eq\r(2)a，F(xiàn)G＝eq\r(a2＋a2)＝eq\r(2)a，所以∠FEG＝60°，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(1,2)，故選A．4．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A．30°B．45°C．60°D．90°4．答案C解析如圖，延長CA到點(diǎn)D，使得AD＝AC，連接DA1，BD，則四邊形ADA1C1為平行四邊形，所以∠DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角．又A1D＝A1B＝DB，所以△A1DB為等邊三角形，所以∠DA1B＝60°．故選C．5．如圖所示，在四棱錐PABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為________．5．答案90°解析如圖所示，延長DA至E，使AE＝DA，連接PE，BE．∵∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，∴DE＝BC，DE∥BC．∴四邊形CBED為平行四邊形，∴CD∥BE．∴∠PBE就是異面直線CD與PB所成的角．在△PAE中，AE＝PA，∠PAE＝120°，由余弦定理，得PE＝eq\r(PA2＋AE2－2PA·AEcos∠PAE)＝eq\r(AE2＋AE2－2AE·AE·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)AE．在△ABE中，AE＝AB，∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)AE．∵△PAB是等邊三角形，∴PB＝AB＝AE，∴PB2＋BE2＝AE2＋2AE2＝3AE2＝PE2，∴∠PBE＝90°．6．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為________．6．答案60°解析如圖所示，設(shè)O為△ABC的中心，連接PO，AO，易知PO⊥平面ABC，則∠PAO為PA與平面ABC所成的角．S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sin60°＝eq\f(3\r(3),4)，∴VABC-A1B1C1＝S△ABC·OP＝eq\f(3\r(3),4)×OP＝eq\f(9,4)，∴OP＝eq\r(3)．又OA＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝1，∴tan∠OAP＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，∴∠OAP＝60°．故PA與平面ABC所成角為60°．7．(2018·全國Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)7．答案C解析如圖，連接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－(22＋22))＝2eq\r(2)，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，點(diǎn)D在棱BB1上，且BD＝1，則AD與平面AA1C1C所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(10),4)B．eq\f(\r(6),4)C．eq\f(\r(10),5)D．eq\f(\r(6),5)8．答案B解析如圖，取AC，A1C1的中點(diǎn)分別為M，M1，連接MM1，BM，過點(diǎn)D作DN∥BM交MM1于點(diǎn)N，則易證DN⊥平面AA1C1C，連接AN，則∠DAN為AD與平面AA1C1C所成的角．在Rt△DNA中，sin∠DAN＝eq\f(DN,AD)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4)．9．如圖，正四棱錐P－ABCD的體積為2，底面積為6，E為側(cè)棱PC的中點(diǎn)，則直線BE與平面PAC所成的角為()A．60°B．30°C．45°D．90°9．答案A解析如圖，在正四棱錐P－ABCD中，根據(jù)底面積為6可得，BC＝eq\r(6)．連接BD交AC于點(diǎn)O，連接PO，則PO為正四棱錐P－ABCD的高，根據(jù)體積公式可得，PO＝1．因?yàn)镻O⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又BD⊥AC，PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC，連接EO，則∠BEO為直線BE與平面PAC所成的角．在Rt△POA中，因?yàn)镻O＝1，OA＝eq\r(3)，所以PA＝2，OE＝eq\f(1,2)PA＝1，在Rt△BOE中，因?yàn)锽O＝eq\r(3)，所以tan∠BEO＝eq\f(BO,OE)＝eq\r(3)，即∠BEO＝60°．故直線BE與平面PAC所成角為60°．10．如圖，在三棱錐S－ABC中，若AC＝2eq\r(3)，SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝4，E為棱SC的中點(diǎn)，則直線AC與BE所成角的余弦值為______，直線AC與平面SAB所成的角為_______．10．答案eq\f(1,4)60°解析取SA的中點(diǎn)M，連接ME，BM，則直線AC與BE所成的角等于直線ME與BE所成的角，因?yàn)镸E＝eq\r(3)，BM＝BE＝2eq\r(3)，cos∠MEB＝eq\f(3＋12－12,2×\r(3)×2\r(3))＝eq\f(1,4)，所以直線AC與BE所成角的余弦值為eq\f(1,4)．取SB的中點(diǎn)N，連接AN，CN，則AN⊥SB，CN⊥SB?SB⊥平面ACN?平面SAB⊥平面ACN，因此直線AC與平面SAB所成的角為∠CAN，因?yàn)锳N＝CN＝AC＝2eq\r(3)，所以∠CAN＝60°，因此直線AC與平面SAB所成的角為60°．11．已知二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，CD＝2eq\r(17)，則該二面角的大小為()A．150°B．45°C．120°D．60°11．答案D解析如圖，AC⊥AB，BD⊥AB，過A在平面ABD內(nèi)作AE∥BD，過D作DE∥AB，連接CE，所以DE＝AB且DE⊥平面AEC，∠CAE即二面角的平面角．在Rt△DEC中，CD＝2eq\r(17)，DE＝4，則CE＝2eq\r(13)，在△ACE中，由余弦定理可得cos∠CAE＝eq\f(CA2＋AE2－CE2,2CA×AE)＝eq\f(1,2)，所以∠CAE＝60°，即所求二面角的大小為60°．12．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在平面，C是圓周上不同于A，B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，則二面角A－BC－P的大小為________．12．答案60°解析因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以AC⊥BC，又因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以PA⊥BC，因?yàn)锳C∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，所以∠PCA為二面角A-BC-P的平面角．因?yàn)椤螦CB＝90°，AB＝2，PA＝BC＝eq\r(3)，所以AC＝1，所以在Rt△PAC中，tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝eq\r(3)．所以∠PCA＝60°．即所求二面角的大小為60°．13．(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列說法正確的是()A．A1C1⊥BDB．B1C與BD所成的角為60°C．二面角A1－BC－D的平面角為45°D．AC1與平面ABCD所成的角為45°13．答案ABC解析A1C1⊥B1D1且B1D1∥BD，∴A1C1⊥BD，∴A正確；B1C∥A1D，B1C與BD所成的角即為∠A1DB＝60°，∴B正確；∠A1BA即為二面角A1－BC－D的平面角，∠A1BA＝45°，∴C正確；CC1⊥平面ABCD，∴∠C1AC為AC1與平面ABCD所成的角，∵CC1≠AC，∴∠C1AC≠45°，∴D錯(cuò)誤．14．如圖，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起，在翻折過程中，記點(diǎn)A對應(yīng)的點(diǎn)為A′，二面角A′－DC－B的平面角的大小為α，則當(dāng)α最大時(shí)，tanα＝()A．eq\f(\r(2),2)B．eq\f(\r(2),3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,2)14．答案D解析如圖，取BC的中點(diǎn)F，連接AF，交BE于點(diǎn)O，則AF⊥BE，連接OA′，A′F，則OA′＝OA＝eq\f(\r(2),2)，OA′⊥BE，OF⊥BE，又OA′∩OF＝O，所以BE⊥平面OA′F，又BE?平面ABCD，所以平面OA′F⊥平面ABCD．設(shè)A′在AF上的投影為M，連接A′M，設(shè)∠A′OM＝β，則A′M＝eq\f(\r(2),2)sinβ，OM＝eq\f(\r(2),2)cosβ，過點(diǎn)M作MN⊥CD交CD于點(diǎn)N，連接A′N，則∠A′NM＝α．易得α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，MN＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)cosβ，所以當(dāng)α最大時(shí)，tanα最大，tanα＝eq\f(\f(\r(2),2)sinβ,\f(3,2)－\f(1,2)cosβ)＝eq\f(\r(2)sinβ,3－cosβ)，令eq\f(\r(2)sinβ,3－cosβ)＝t，所以eq\r(2)sinβ＝3t－tcosβ，所以3t＝eq\r(2)sinβ＋tcosβ＝eq\r(2＋t2)sin(β＋θ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(t,\r(2))))，所以3t≤eq\r(2＋t2)，所以t≤eq\f(1,2)，即tanα≤eq\f(1,2)，故選D．15．已知在矩形ABCD中，AD＝eq\r(2)AB，沿直線BD將△ABD折成△A′BD，使得點(diǎn)A′在平面BCD上的射影在△BCD內(nèi)(不含邊界)，設(shè)二面角A′－BD－C的大小為θ，直線A′D，A′C與平面BCD所成的角分別為α，β，則()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ15．答案D解析如圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴BA′⊥A′D，當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影O落在BC上時(shí)，有平面A′BC⊥底面BCD，又DC⊥BC，平面A′BC∩平面BCD＝BC，DC?平面BCD，可得DC⊥平面A′BC，則DC⊥BA′，∴BA′⊥平面A′DC，在Rt△BA′C中，設(shè)BA′＝1，則BC＝eq\r(2)，∴A′C＝1，說明O為BC的中點(diǎn)；當(dāng)A′點(diǎn)在底面上的射影E落在BD上時(shí)，可知A′E⊥BD，設(shè)BA′＝1，則A′D＝eq\r(2)，∴A′E＝eq\f(\r(6),3)，BE＝eq\f(\r(3),3)．要使點(diǎn)A′在平面BCD上的射影F在△BCD內(nèi)(不含邊界)，則點(diǎn)A′的射影F落在線段OE上(不含端點(diǎn))．可知∠A′EF為二面角A′－BD－C的平面角θ，直線A′D與平面BCD所成的角為∠A′DF＝α，直線A′C與平面BCD所成的角為∠A′CF＝β，可求得DF＞CF，∴A′C＜A′D，且A′E＝eq\f(\r(6),3)<1，而A′C的最小值為1，∴sin∠A′DF＜sin∠A′CF＜sin∠A′EO，則α＜β＜θ．題型二幾何體的面積與體積的計(jì)算16．(2018·全國Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)πB．12πC．8eq\r(2)πD．10π16．答案B解析設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則x2＝8，得x＝2eq\r(2)，∴S圓柱表＝2S底＋S側(cè)＝2×π×(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π．故選B．17．(2018·全國Ⅱ)已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45，若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．17．答案40eq\r(2)π解析如圖，∵SA與底面成45角，∴△SAO為等腰直角三角形．設(shè)OA＝r，則SO＝r，SA＝SB＝eq\r(2)r．在△SAB中，cos∠ASB＝eq\f(7,8)，∴sin∠ASB＝eq\f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq\f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)×(eq\r(2)r)2×eq\f(\r(15),8)＝5eq\r(15)，解得r＝2eq\r(10)，∴SA＝eq\r(2)r＝4eq\r(5)，即母線長l＝4eq\r(5)，∴S圓錐側(cè)＝πrl＝π×2eq\r(10)×4eq\r(5)＝40eq\r(2)π．18．九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中提到了一種名為“芻甍”的五面體，如圖所示，四邊形ABCD為矩形，棱EF∥AB.若此幾何體中，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體的表面積為()A．8eq\r(3)B．8＋8eq\r(3)C．6eq\r(2)＋2eq\r(3)D．8＋6eq\r(2)＋2eq\r(3)18．答案B解析如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，則PF⊥BC，過F作FQ⊥AB，垂足為Q．因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長為2的等邊三角形，且EF∥AB，所以四邊形ABFE為等腰梯形，F(xiàn)P＝eq\r(3)，則BQ＝eq\f(1,2)(AB－EF)＝1，F(xiàn)Q＝eq\r(BF2－BQ2)＝eq\r(3)，所以S梯形EFBA＝S梯形EFCD＝eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(3)＝3eq\r(3)，又S△ADE＝S△BCF＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，S矩形ABCD＝4×2＝8，所以該幾何體的表面積S＝3eq\r(3)×2＋eq\r(3)×2＋8＝8＋8eq\r(3)．故選B．19．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為______．19．答案(eq\r(2)＋3)π解析根據(jù)題意可知，此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐(底面半徑為1，高為1)，下半部分為圓柱(底面半徑為1，高為1)，如圖所示．則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和，即表面積為eq\f(1,2)·2π·1·eq\r(12＋12)＋2π·12＋π·12＝(eq\r(2)＋3)π．20．若圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為l的半圓，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(4,3)D．eq\f(5,3)20．答案A解析設(shè)該圓錐的底面半徑為r，由題意可得其母線長為l，且2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，所以這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積的比值是(πrl＋πr2)∶πrl＝3πr2∶2πr2＝3∶2，故選A．21．把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為()A．10B．10eq\r(3)C．10eq\r(2)D．5eq\r(3)21．答案B解析設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h．因?yàn)榘雸A的弧長等于圓錐的底面周長，半圓的半徑等于圓錐的母線，所以2πr＝20π，所以r＝10，所以h＝eq\r(202－102)＝10eq\r(3)．22．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2．22．答案2600π解析將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq\f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2600π(cm2)．23．(2020·全國Ⅰ)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A．eq\f(\r(5)－1,4)B．eq\f(\r(5)－1,2)C．eq\f(\r(5)＋1,4)D．eq\f(\r(5)＋1,2)23．答案C解析如圖，設(shè)CD＝a，PE＝b，則PO＝eq\r(PE2－OE2)＝eq\r(b2－\f(a2,4))，由題意，得PO2＝eq\f(1,2)ab，即b2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ab，化簡，得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))eq\s\up12(2)－2·eq\f(b,a)－1＝0，解得eq\f(b,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4)(負(fù)值舍去)．故選C．24．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，且底面邊長與側(cè)棱長都等于3．螞蟻從A點(diǎn)沿側(cè)面經(jīng)過棱BB1上的點(diǎn)N和CC1上的點(diǎn)M爬到點(diǎn)A1，如圖所示，則螞蟻爬過的路程最短為________．24．答案3eq\r(10)解析將三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開如圖所示，則有A′A′1＝3，AA′1＝eq\r((AA′)2＋(A′A′1)2)＝3eq\r(10)．所以螞蟻爬過的路程最短為AA′1．25．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq\f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°．若△SAB的面積為5eq\r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．25．答案40eq\r(2)π解析如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′．△SAB的面積為eq\f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq\f(1,2)·SA2·eq\r(1－cos2∠ASB)＝eq\f(\r(15),16)·SA2＝5eq\r(15)，所以SA2＝80，SA＝4eq\r(5)．因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos45°＝4eq\r(5)×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(10)．所以底面周長l＝2π·AS′＝4eq\r(10)π，所以圓錐的側(cè)面積為eq\f(1,2)×4eq\r(5)×4eq\r(10)π＝40eq\r(2)π．26．(2020·江蘇)如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0．5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3．26．答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析正六棱柱的體積為6×eq\f(\r(3),4)×22×2＝12eq\r(3)cm3，挖去的圓柱的體積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×2＝eq\f(π,2)cm3，故所求幾何體的體積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3．27．(2018·全國Ⅰ)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30，則該長方體的體積為()A．8B．6eq\r(2)C．8eq\r(2)D．8eq\r(3)27．答案C解析如圖，連接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30．又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝eq\f(2,sin30°)＝4．在Rt△ACC1中，CC1＝eq\r(AC\o\al(2,1)－AC2)＝eq\r(42－22＋22)＝2eq\r(2)，∴V長方體＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq\r(2)＝8eq\r(2)．28．(2018·江蘇)如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________．28．答案eq\f(4,3)解析由題意知所給的幾何體是棱長均為eq\r(2)的八面體，它是由兩個(gè)有公共底面的正四棱錐組合而成的，正四棱錐的高為1，所以這個(gè)八面體的體積為2V正四棱錐＝2×eq\f(1,3)×(eq\r(2))2×1＝eq\f(4,3)．29．(2018·天津)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1－BB1D1D的體積為________．29．答案解析法一：直接法連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝eq\f(\r(2),2)，矩形BB1D1D的長和寬分別為eq\r(2)，1，故VA1－BB1D1D＝eq\f(1,3)×(1×eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,3)．法二：割補(bǔ)法連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B－A1DD1與B-A1B1D1，所以VA1-BB1D1D＝VB-A1DD1＋VB-A1B1D1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,3)．30．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2．將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(4π,3)C．eq\f(5π,3)D．2π30．答案C解析如圖，過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐，該幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)．31．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為CD的中點(diǎn)，則三棱錐A－BC1M的體積VA－BC1M＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6)D．eq\f(1,12)31．答案C解析VA－BC1M＝VC1－ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6)．故選C．32．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側(cè)棱長為eq\r(3)，D為BC的中點(diǎn)，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．3B．eq\f(3,2)C．1D．eq\f(\r(3),2)32．答案C解析∵D是等邊三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．又ABC－A1B1C1為正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C．∵四邊形BB1C1C為矩形，∴＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)．又AD＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，∴＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1．故選C．33．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，點(diǎn)P在棱CC1上，則三棱錐P－ABA1的體積為_______．33．答案eq\f(9\r(3),4)解析由題意，得V三棱錐P-ABA1＝V三棱錐C-ABA1＝V三棱錐A1-ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×32×3＝eq\f(9\r(3),4)．34．在棱長為3的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P在線段BD1上，且eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，M為線段B1C1上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐M－PBC的體積為()A．1B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,2)D．與M點(diǎn)的位置有關(guān)34．答案B解析∵eq\f(BP,PD1)＝eq\f(1,2)，∴點(diǎn)P到平面BCC1B1的距離是D1到平面BCC1B1距離的eq\f(1,3)，即為eq\f(D1C1,3)＝1．M為線段B1C1上的點(diǎn)，∴S△MBC＝eq\f(1,2)×3×3＝eq\f(9,2)，∴VM-PBC＝VP-MBC＝eq\f(1,3)×eq\f(9,2)×1＝eq\f(3,2)．35．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1的體積為()A．eq\f(\r(3),12)B．eq\f(\r(3),4)C．eq\f(\r(6),12)D．eq\f(\r(6),4)35．答案A解析三棱錐B1－ABC1的體積等于三棱錐A－B1BC1的體積，三棱錐A－B1BC1的高為eq\f(\r(3),2)，底面積為eq\f(1,2)，故其體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12)．36．如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，點(diǎn)D在棱AA1上，則三棱錐D－BB1C1的體積為________．36．答案eq\f(2\r(3),3)解析如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接AO．∵正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長均為2，∴AC＝2，OC＝1，則AO＝eq\r(3)．∵AA1∥平面BCC1B1，∴點(diǎn)D到平面BCC1B1的距離為eq\r(3)．又＝eq\f(1,2)×2×2＝2，∴＝eq\f(1,3)×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)．37．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，動(dòng)點(diǎn)E在BB1上，動(dòng)點(diǎn)F在A1C1上，O為底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y(tǒng)，則三棱錐O－AEF的體積()A．與x，y都有關(guān)B．與x，y都無關(guān)C．與x有關(guān)，與y無關(guān)D．與y有關(guān)，與x無關(guān)37．答案B解析由已知得V三棱錐O－AEF＝V三棱錐E－OAF＝eq\f(1,3)S△AOF·h(h為點(diǎn)E到平面AOF的距離)．連接OC，因?yàn)锽B1∥平面ACC1A1，所以點(diǎn)E到平面AOF的距離為定值．又AO∥A1C1，OA為定值，點(diǎn)F到直線AO的距離也為定值，所以△AOF的面積是定值，所以三棱錐O－AEF的體積與x，y都無關(guān)．38．如圖，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D－AEF體積的最大值為________．38．答案eq\f(\r(2),6)解析因?yàn)镈A⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF．又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB．又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D－AEF的高．因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE＝eq\r(2)，設(shè)AF＝a，F(xiàn)E＝b，則△AEF的面積S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號成立)，所以(VD-AEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6)．39．在三棱錐P－ABC中，平面PBC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝PC＝2，若AC＝PB，則三棱錐P－ABC體積的最大值為()A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(16\r(3),9)C．eq\f(16\r(3),27)D．eq\f(32\r(3),27)39．答案D解析如圖，取PB中點(diǎn)M，連接CM，∵平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，AC?平面ABC，AC⊥BC，∴AC⊥平面PBC，設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為h＝AC＝2x，∵PC＝BC＝2，PB＝2x(0＜x＜2)，M為PB的中點(diǎn)，∴CM⊥PB，CM＝eq\r(4－x2)，解得S△PBC＝eq\f(1,2)×2x×eq\r(4－x2)＝xeq\r(4－x2)，VA－PBC＝eq\f(1,3)×(xeq\r(4－x2))×2x＝eq\f(2x2\r(4－x2),3)，設(shè)t＝eq\r(4－x2)(0＜t＜2)，則x2＝4－t2，∴VA－PBC＝eq\f(2t（4－t2）,3)＝eq\f(8t－2t3,3)(0＜t＜2)，關(guān)于t求導(dǎo)，得V′(t)＝eq\f(8－6t2,3)，令V′(t)＝0，解得t＝eq\f(2\r(3),3)或t＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)，當(dāng)0<t<eq\f(2\r(3),3)時(shí)，V′(t)>0，V(t)單調(diào)遞增，當(dāng)eq\f(2\r(3),3)<t<2時(shí)，V′(t)<0，V(t)單調(diào)遞減．所以當(dāng)t＝eq\f(2\r(3),3)時(shí)，(VA－PBC)max＝eq\f(32\r(3),27)．故選D．40．如圖，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°．若平面ABC外的點(diǎn)P和線段AC上的點(diǎn)D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體P—BCD的體積的最大值是________．40．答案eq\f(1,2)解析設(shè)PD＝DA＝x，在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2·AB·BC·cos∠ABC)＝eq\r(4＋4－2×2×2×cos120°)＝2eq\r(3)，∴CD＝2eq\r(3)－x，且∠ACB＝eq\f(1,2)(180°－120°)＝30°，∴S△BCD＝eq\f(1,2)BC·DC·sin∠ACB＝eq\f(1,2)×2×(2eq\r(3)－x)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)．要使四面體體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P到平面BCD的距離最大，而P到平面BCD的最大距離為x．則V四面體P—BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)(2eq\r(3)－x)x＝eq\f(1,6)[－(x－eq\r(3))2＋3]，由于0＜x＜2eq\r(3)，故當(dāng)x＝eq\r(3)時(shí)，V四面體P—BCD取最大值為eq\f(1,6)×3＝eq\f(1,2)．41．如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D為棱AA1的中點(diǎn)．若AA1＝4，AB＝2，則四棱錐B－ACC1D的體積為________．41．答案2eq\r(3)解析取AC的中點(diǎn)O，連接BO(圖略)，則BO⊥AC，所以BO⊥平面ACC1D．因?yàn)锳B＝2，所以BO＝eq\r(3)．因?yàn)镈為棱AA1的中點(diǎn)，AA1＝4，所以AD＝2，所以S梯形ACC1D＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，所以四棱錐B-ACC1D的體積為eq\f(1,3)×6×eq