第7講解決極值點(diǎn)偏移問題的四大技巧(原卷版+解析)

第7講解決極值點(diǎn)偏移問題的四大技巧【題型精講】題型一：構(gòu)造對(duì)稱和（或差）1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．2．（2021·北京·臨川學(xué)校高三期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．3．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，求證：.題型二：比值代換法1．（2021·全國(guó)·高三月考）已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.3．（2021·安徽·毛坦廠中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.題型三：消參減元1．（2021·湖南師大附中高三月考）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【課后精練】1．（2021·貴州·貴陽(yáng)一中高三月考（理））已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為時(shí)，若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根則.2．（2021·重慶市開州中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足且，證明：.3．（2021·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，證明：．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.5．（2021·新疆·克拉瑪依市第一中學(xué)高二月考）已知定義在上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．6．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試證明：．7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函數(shù).（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.8．（2021·江蘇·吳江中學(xué)高二月考）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.第7講解決極值點(diǎn)偏移問題的四大技巧【題型精講】題型一：構(gòu)造對(duì)稱和（或差）1．（2021·山西·太原五中高三月考（理））設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)有極值時(shí)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)滿足且，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，不合題意，；令，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；存在，使得成立，則，即，又，，即，令，則，在上單調(diào)遞增，又，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由且知：；令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；，又，；，，又且在上單調(diào)遞減，，即.2．（2021·北京·臨川學(xué)校高三期末）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】解：（1）易知的定義域?yàn)椋深}意知，即在上恒成立，．令，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，所以；（2）因?yàn)?，由知，，設(shè)則，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以可令，，．令，．則因?yàn)?，所以，所以上在單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，．又，所以所以．所以．因?yàn)?，，且在上單調(diào)遞增，所以，．3．（2021·全國(guó)全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，，求證：.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值為，極小值為；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意得：，令，解得：，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為；極小值為；（2）當(dāng)時(shí)，，令，解得：，當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根在區(qū)間內(nèi).設(shè)函數(shù)，則，.令，，則，在上為增函數(shù)，又，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，又，，，，由（1）知：在上單調(diào)遞增，，.題型二：比值代換法1．（2021·全國(guó)·高三月考）已知函數(shù)（1）若，(為的導(dǎo)函數(shù))，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求證：【答案】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（2）證明見解析．【詳解】（1）因?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，則；②當(dāng)，即時(shí)，，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則；，③當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則；④當(dāng)，即時(shí)，，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則．綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（2）要證，只需證：，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，又，所以是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，即，解得，另一方面，由，得，從而可得，于是．不妨設(shè)，設(shè)，則．因此，．要證，即證：，即當(dāng)時(shí)，有，設(shè)函數(shù)，則，所以為上的增函數(shù)．注意到，，因此，．于是，當(dāng)時(shí)，有．所以成立，．2．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】(1)有兩個(gè)零點(diǎn)有兩個(gè)相異實(shí)根．令，則

由得：，由得：，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

，又，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．（2）不妨設(shè),由題意得,，,，要證：，只需證.

，

令，，只需證

，只需證：.令,，在遞增，成立.

綜上所述，成立．3．（2021·安徽·毛坦廠中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)（）.（1）若，求函數(shù)在處的切線；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.【答案】（1）；（2），證明見解析.【詳解】（1）的導(dǎo)數(shù)為，則函數(shù)在處的切線斜率為，又切點(diǎn)為，則切線的方程為，即；（2）設(shè)函數(shù)，與函數(shù)具有相同的零點(diǎn)，，知函數(shù)在上遞減，上遞增，當(dāng)，；可證當(dāng)時(shí)，，即，即此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)零點(diǎn)，只需（1），即；證明：方法一：設(shè)函數(shù)，則，且對(duì)恒成立即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，此時(shí)，（1），即當(dāng)時(shí)，，由已知，則，則有由于函數(shù)在上遞增，即，即．方法二：故．設(shè)，則，且，解得，，要證：，即證明，即證明，設(shè)，，令，，則，在上單調(diào)增，（1），在上單調(diào)增，則（1）．即時(shí)，成立，題型三：消參減元1．（2021·湖南師大附中高三月考）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【詳解】（1）解：因?yàn)楹愠闪ⅲ?，即恒成立．令，則，易知在上單調(diào)遞增，且．所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，故．（2）證明：由題意可知方程的兩根為，．令，則的兩個(gè)零點(diǎn)為，．．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，得．設(shè)，則，．因?yàn)?，所以，．要證，即要證，即證．令，．則，所以在上單調(diào)遞減，所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，且在上單調(diào)遞減，所以，即，故成立．2．（2021·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析（1）解：由可得，可得，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，所以，；（2）解：要證，即證，由（1）可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，其中，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，因?yàn)楹腿〉鹊臈l件不同，故，即；（3）解：由題知①，②，①②得③，②①得④.③④得，不妨設(shè)，記.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，即，所以.因?yàn)?，所以，?令，，則在上單調(diào)遞增.又，所以，即，所以.3．（2021·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的增區(qū)間；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）由題意得().令，則.①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，即的增區(qū)間為；②當(dāng)，即時(shí)，或，即的增區(qū)間為和.綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為和.（2）因?yàn)?)，有兩個(gè)極值點(diǎn)，，所以，是方程的兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，可求出從而，，解得.由得.因?yàn)?，所以?令，且，則，所以當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減，于是().要證，只要證，只要證明.因?yàn)?，所以只要證.令則.因?yàn)?，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，所以，即.【課后精練】1．（2021·貴州·貴陽(yáng)一中高三月考（理））已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)函數(shù)有極大值，且極大值為時(shí)，若方程（m為常數(shù)）有兩個(gè)不等實(shí)根則.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）解：由題意可得.①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，令，令，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.；（2）證明：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，且，解得，∴（其中），則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，則.令，則，∴在上單調(diào)遞減，于是，即，當(dāng)時(shí)，，又，∴，又，且在上單調(diào)遞減，，即．2．（2021·重慶市開州中學(xué)高三月考）設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若在定義域內(nèi)存在兩實(shí)數(shù)，滿足且，證明：.【答案】(1)函數(shù)的單調(diào)性見解析；(2)證明見解析.【詳解】(1)依題意，函數(shù)定義域?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)當(dāng)時(shí)，，由(1)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?qū)崝?shù)，滿足且，于是得，當(dāng)時(shí)，令，，即在上單調(diào)遞增，，，即，而，于是得，顯然，又在上單調(diào)遞減，因此，，即，所以.3．（2021·江蘇·周市高級(jí)中學(xué)高三開學(xué)考試）已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，且，證明：．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析．【詳解】（1），，由得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）∵，且，∴由（1）知，不妨設(shè)．要證，只需證明，而，在上單調(diào)遞減，故只需證明．又，∴只需證明．令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，，故，∴在上單調(diào)遞增，故在上，∴成立，故成立．4．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2）因?yàn)椋?，即，故，設(shè)，由（1）可知不妨設(shè).因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，故.先證：，若，必成立.若，要證：，即證，而，故即證，即證：，其中.設(shè)，則，因?yàn)?，故，故，所以，故在為增函?shù)，所以，故，即成立，所以成立，綜上，成立.設(shè)，則，結(jié)合，可得：，即：，故，要證：，即證，即證，即證：，即證：，令，則，先證明一個(gè)不等式：.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故，故成立由上述不等式可得當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為減函數(shù)，故，故成立，即成立.綜上所述，5．（2021·新疆·克拉瑪依市第一中學(xué)高二月考）已知定義在上的函數(shù)．（1）若為定義域上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，，，為的極小值，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】（1）由得：．為上的增函數(shù)，在上恒成立，即，令，則，在上單調(diào)遞減，，即，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）當(dāng)時(shí)，，則，，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則為的極小值.設(shè)，，，，設(shè)，，．，，又，，在上單調(diào)遞增，，，在上單調(diào)遞增，，，，，又在上單調(diào)遞減，，即.6．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在最大值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，試證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析．【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，在處的切線與直線垂直，，由（負(fù)值舍去），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故有最大值．（2）當(dāng)時(shí)，．函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．且，故函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為滿足，令，在（0，1）恒成立，∴F(x)在（0，1）遞增，在（0，1）恒成立，∴，又，∴，∵，又在單調(diào)遞減，∴，即．7．（2021·四川·川大附中高二期中）已知函數(shù).（1）若在定義域上不單調(diào)，求的取值范圍；（2）設(shè)分別是的極大值和極小值，且，求的取值范圍.【答案】(1)；(2).【詳解】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減時(shí)，參數(shù)的取值范圍為，則可知函數(shù)在定義域上不單調(diào)時(shí)，的取值范圍為；（2）易知，設(shè)的兩個(gè)根為，并表示出，則，令，則，再利用導(dǎo)數(shù)法求的取值范圍.詳解：由已知，（1）①若在定義域上單調(diào)遞增，則，即在上恒成立，而，所以；②若在定義域上單調(diào)遞減，則，即在上恒成立，而，所以.因?yàn)樵诙x域上不單調(diào)，所以，即.（2）由（1）知，欲使在有極大值和極小值，必須.又，所以.令的兩根分別為，，即的兩根分別為，，