復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換及應(yīng)用背景M.Kline（莫里斯克萊恩）(1908-1992)(《古今數(shù)學(xué)思想》(MathematicalThoughtfromAncienttoModernTimes)的作者,美國(guó)數(shù)學(xué)史家)指出:從技術(shù)觀點(diǎn)來(lái)看,十九世紀(jì)最獨(dú)特的創(chuàng)造是單復(fù)變函數(shù)的理論。這個(gè)新的數(shù)學(xué)分支統(tǒng)治了十九世紀(jì),幾乎象微積分的直接擴(kuò)展統(tǒng)治了十八世紀(jì)那樣。這一豐饒的數(shù)學(xué)分支,一直被稱為這個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)享受。它也被歡呼為抽象科學(xué)中最和諧的理論之一。（1）計(jì)算某些復(fù)雜的實(shí)函數(shù)的積分。J.Hadamard（阿達(dá)馬）說(shuō)：實(shí)域中兩個(gè)真理之間的最短路程是通過(guò)復(fù)域。（2）流體的平面平行流動(dòng)等問(wèn)題的研究；（3）計(jì)算繞流問(wèn)題中的壓力和力矩；著名例子：飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力的計(jì)算，從而研究機(jī)翼的造型問(wèn)題。復(fù)變函數(shù)理論的應(yīng)用（4）計(jì)算滲流問(wèn)題.

例如：大壩、鉆井的浸潤(rùn)曲線.（5）平面熱傳導(dǎo)問(wèn)題、電(磁)場(chǎng)強(qiáng)度.

例如：熱爐中溫度的計(jì)算.（7）Fourier變換應(yīng)用于頻譜分析和信號(hào)處理等（6）復(fù)變函數(shù)理論也是積分變換的重要基礎(chǔ)（8）Laplace變換應(yīng)用于控制問(wèn)題

（9）Z變換應(yīng)用于離散控制系統(tǒng)（10）小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛,如信號(hào)分析和圖象處理、語(yǔ)音識(shí)別與合成、醫(yī)學(xué)成像與診斷、地質(zhì)勘探與地震預(yù)報(bào)等等。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)熟練掌握用復(fù)數(shù)的三角式進(jìn)行計(jì)算的方法；正確理解輻角的多值性；正確理解復(fù)變函數(shù)及相關(guān)概念第一節(jié)復(fù)數(shù)基本理論理解復(fù)數(shù)的概念熟練掌握復(fù)數(shù)的表示和運(yùn)算了解復(fù)數(shù)域、復(fù)平面、復(fù)球面與無(wú)窮大一、復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)域

每個(gè)復(fù)數(shù)具有z=x+iy的形式，其中x和y是實(shí)數(shù)，i是虛數(shù)單位(-1的平方根）。

x和y分別稱為實(shí)部和虛部，分別記作：復(fù)數(shù)的共軛定義為：1、復(fù)數(shù)容易驗(yàn)證例1設(shè)、是兩個(gè)復(fù)數(shù)，求證：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等指它們的實(shí)部與虛部分別相等。如果Imz=0，則z可以看成一個(gè)實(shí)數(shù)；如果Imz不等于零，那么稱z為虛數(shù)；如果Imz不等于零，而Rez=0，則稱z為純虛數(shù)。注意：2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算定義為：

復(fù)數(shù)在四則運(yùn)算這個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)下，構(gòu)成一個(gè)復(fù)數(shù)域(對(duì)加、減、乘、除運(yùn)算封閉），記為C。復(fù)數(shù)域可以看成實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張。3、復(fù)數(shù)的幾何表示在平移關(guān)系下

復(fù)數(shù)可以等同于平面中的向量等價(jià)類(lèi)BA注意：幾個(gè)重要不等式4、非零復(fù)數(shù)的三角表示向量的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，定義為：非零復(fù)數(shù)與實(shí)軸正向之間的夾角稱為復(fù)數(shù)的輻角，記為Argz

當(dāng)z落于一,四象限時(shí)，不變。

當(dāng)z落于第二象限時(shí)，加。

當(dāng)z落于第三象限時(shí)，減。

三角表示的乘除法其中后一個(gè)式子應(yīng)理解為集合相等兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模相乘，兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的輻角等于它們的輻角相加。幾何意義

將復(fù)數(shù)z1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一個(gè)角度Argz2，再將其伸縮到|z2|倍。

同理，對(duì)除法，也有：其中后一個(gè)式子也應(yīng)理解為集合相等。即兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們的模的商，兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的輻角等于被除數(shù)與除數(shù)的輻角之差。三角表示的乘冪——棣模佛(DeMoivre)公式

進(jìn)一步，有：

可以看到，k=0,1,2,…,n-1時(shí)，可得n個(gè)不同的值，即z有n個(gè)n次方根，其模相同，輻角相差一個(gè)常數(shù)，均勻分布于一個(gè)圓上。

k取其它整數(shù)時(shí)，這些根又會(huì)重復(fù)出現(xiàn)。例2求所有值解：由于所以有有四個(gè)根。1.南極、北極的定義S二、復(fù)球面與無(wú)窮大Nyzxo對(duì)復(fù)平面內(nèi)任一點(diǎn)P,用直線將P與N相連,與球面相交于Q點(diǎn)（球極投影）。

2.復(fù)球面的定義SNyzxoQP球面上的點(diǎn)，除去北極N外，都和復(fù)平面上的點(diǎn)之間存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。我們規(guī)定:

復(fù)數(shù)中有一個(gè)唯一的“無(wú)窮大”與復(fù)平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相對(duì)應(yīng),記作

。球面上的北極N就是復(fù)數(shù)無(wú)窮大

的幾何表示。SNyzxoQP球面上的每一個(gè)點(diǎn)都有唯一的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng),這樣的球面稱為復(fù)球面3.擴(kuò)充復(fù)平面的定義不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為有限復(fù)平面,或簡(jiǎn)稱復(fù)平面，記作C。包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)在內(nèi)的復(fù)平面稱為擴(kuò)充復(fù)平面，記作。復(fù)球面的優(yōu)越處:能將擴(kuò)充復(fù)平面的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)明顯地表示出來(lái).對(duì)于復(fù)數(shù)來(lái)說(shuō),與有限復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算為：這些運(yùn)算也無(wú)意義：實(shí)部,虛部,輻角等概念均無(wú)意義；模規(guī)定為正無(wú)窮大，即第二節(jié)復(fù)變函數(shù)正確理解復(fù)變函數(shù)概念掌握復(fù)變函數(shù)極限、連續(xù)等內(nèi)容一、復(fù)變函數(shù)的概念Def1.設(shè)G是一個(gè)復(fù)數(shù)的集合，z=x+iy。如果有一個(gè)確定的法則存在，使得按照這一法則，對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)

z，都有確定的（一個(gè)或幾個(gè)）復(fù)數(shù)w=u+iv與之對(duì)應(yīng)，則稱復(fù)變數(shù)w是復(fù)變數(shù)z的函數(shù)(簡(jiǎn)稱復(fù)變函數(shù))，記作如果z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著w的一個(gè)值,則函數(shù)f(z)是單值的；否則就是多值的。集合G稱為f(z)的定義域,對(duì)應(yīng)于G中所有z對(duì)應(yīng)的一切w值所成的集合G*,稱為值域。在以后的討論中,定義集合G常常是一個(gè)平面區(qū)域,稱之為定義域,并且,如無(wú)特別聲明,所討論的函數(shù)均為單值函數(shù)。與實(shí)變函數(shù)的關(guān)系：一個(gè)復(fù)變函數(shù)相當(dāng)于一對(duì)二元實(shí)變函數(shù)二、復(fù)變函數(shù)的極限復(fù)變函數(shù)極限的計(jì)算，可歸結(jié)為二元實(shí)函數(shù)極限的計(jì)算[證]必要性:根據(jù)極限的定義有存在時(shí)，或當(dāng)時(shí)，即因此有充分性:而則當(dāng)時(shí)，有由極限定義，對(duì)于任給，總存在使當(dāng)時(shí)，即三、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性例如，函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處連續(xù)。因?yàn)槌c(diǎn)外是處處連續(xù)的。而處處連續(xù)。解例求極限例求極限解

因?yàn)樗杂泄视袇^(qū)域初步概念:

a的r鄰域定義，或以為a圓心，為r半徑的圓盤(pán)U(a,r)定義為：

以為a圓心，為r半徑的閉圓盤(pán)定義為：極限點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn):中有無(wú)窮個(gè)點(diǎn)，則稱a為的E極限點(diǎn)；,則稱a為E的內(nèi)點(diǎn)；中既有屬于E的點(diǎn)，又有不屬于E的點(diǎn)，則稱a為的E邊界點(diǎn)；集E的全部邊界點(diǎn)所組成的集合稱為E的邊界，記為閉包、孤立點(diǎn)、開(kāi)集、閉集:稱為D的閉包，記為若對(duì)存在一個(gè)r>0，使得則稱a為的E孤立點(diǎn)（是邊界點(diǎn)但不是聚點(diǎn)）；開(kāi)集：所有點(diǎn)為內(nèi)點(diǎn)的集合；閉集：或者沒(méi)有聚點(diǎn)，或者所有聚點(diǎn)都屬于它；1、任何集合的閉包一定是閉集；2、如果存在r>0

，使得，則稱E是有界集，否則稱E是無(wú)界集；3、復(fù)平面上的有界閉集稱為緊集。區(qū)域的例子:例1、圓盤(pán)U(a,r)是有界開(kāi)集；閉圓盤(pán)是有界閉集；例2、集合{z||z-a|=r}是以為a心，r為半徑的圓周，它是圓盤(pán)U(a,r)和閉圓盤(pán)的邊界。例3、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸是無(wú)界集，復(fù)平面是無(wú)界開(kāi)集。例4、集合E={z|0<|z-a|<r}是去掉圓心的圓盤(pán)。圓心a邊界點(diǎn)，它是E邊界的孤立點(diǎn)，是集合E的聚點(diǎn)。無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域:

對(duì)一切r>0,集合

稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)r鄰域。類(lèi)似地，我們可以定義聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)與孤立點(diǎn)，開(kāi)集、閉集等概念。我們也稱擴(kuò)充復(fù)平面為復(fù)平面的一點(diǎn)緊化。區(qū)域、曲線:

復(fù)平面C上的集合D，如果滿足：（1）、D是開(kāi)集；（2）、D中任意兩點(diǎn)可以用有限條相銜接的線段所構(gòu)成的折線連起來(lái)，而使這條折線上的所有點(diǎn)完全屬于D。則稱D是一個(gè)區(qū)域。結(jié)合前面的定義，可以定義有有界區(qū)域、無(wú)界區(qū)域。連通性:性質(zhì)（2）我們稱為連通性，即區(qū)域是連通的開(kāi)集。區(qū)域D內(nèi)及其邊界上全部點(diǎn)所組成的集稱為閉區(qū)域。

擴(kuò)充復(fù)平面:

在擴(kuò)充復(fù)平面上，不含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域的定義同上；含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的區(qū)域是C上的一個(gè)區(qū)域與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的一個(gè)鄰域的并集。注意：加上無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后，許多性質(zhì)將有很多變化。曲線:設(shè)已給如果Rez(t)和Imz(t)都是閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)，則稱這些點(diǎn)組成集合為一條連續(xù)曲線。如果對(duì)上任意不同兩點(diǎn)t及s，但不同時(shí)是的端點(diǎn)，我們有:即是一條除端點(diǎn)外不自交的連續(xù)曲線，那么上述集合稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)曲線，或若爾當(dāng)曲線。若還有z(a)=z(b)，則稱為一條簡(jiǎn)單連續(xù)閉曲線，或若爾當(dāng)閉曲線。若爾當(dāng)定理:

若爾當(dāng)定理：任意一條若爾當(dāng)閉曲線把整個(gè)復(fù)平面分成兩個(gè)沒(méi)有公共點(diǎn)的區(qū)域：一個(gè)有界的稱為內(nèi)區(qū)域，一個(gè)無(wú)界的稱為外區(qū)域。光滑曲線:光滑曲線：如果Rez(t)和Imz(t)都在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，在[a,b]上，其導(dǎo)函數(shù)恒不為零，則稱此曲線為一條光滑曲線；類(lèi)似地，可以定義分段光滑曲線。區(qū)域的連通性:

設(shè)D是一個(gè)區(qū)域，在復(fù)平面C上，如果D內(nèi)任何簡(jiǎn)單閉曲線所圍成的內(nèi)區(qū)域中每一點(diǎn)都屬于D，則稱D是單連通區(qū)域;否則稱D是多連通區(qū)域。例1:集合為半平面，它是一個(gè)單連通無(wú)界