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2024屆河南八市全國高三沖刺考(一)全國卷數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.2.已知直線:過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行,則雙曲線的方程為()A. B. C. D.3.設(shè)點(diǎn),P為曲線上動(dòng)點(diǎn),若點(diǎn)A,P間距離的最小值為,則實(shí)數(shù)t的值為()A. B. C. D.4.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)5.歷史上有不少數(shù)學(xué)家都對(duì)圓周率作過研究,第一個(gè)用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德,他用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界,開創(chuàng)了圓周率計(jì)算的幾何方法,而中國數(shù)學(xué)家劉徽只用圓內(nèi)接正多邊形就求得的近似值,他的方法被后人稱為割圓術(shù).近代無窮乘積式、無窮連分?jǐn)?shù)、無窮級(jí)數(shù)等各種值的表達(dá)式紛紛出現(xiàn),使得值的計(jì)算精度也迅速增加.華理斯在1655年求出一個(gè)公式:,根據(jù)該公式繪制出了估計(jì)圓周率的近似值的程序框圖,如下圖所示,執(zhí)行該程序框圖,已知輸出的,若判斷框內(nèi)填入的條件為,則正整數(shù)的最小值是A. B. C. D.6.已知直線過雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.7.若,則,,,的大小關(guān)系為()A. B.C. D.8.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.9.已知向量與的夾角為,,,則()A. B.0 C.0或 D.10.已知復(fù)數(shù)滿足:,則的共軛復(fù)數(shù)為()A. B. C. D.11.過點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn),若,則直線的斜率為()A. B.C.或 D.或12.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____14.已知,滿足約束條件則的最大值為__________.15.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_________.16.已知,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)函數(shù).(1)解不等式;(2)記的最大值為,若實(shí)數(shù)、、滿足,求證:.18.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.19.(12分)已知橢圓:(),點(diǎn)是的左頂點(diǎn),點(diǎn)為上一點(diǎn),離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為(異于點(diǎn)),是否存在直線,使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.20.(12分)已知,,.(1)求的最小值;(2)若對(duì)任意,都有,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)[選修4-5:不等式選講]設(shè)函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關(guān)于的不等式在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算.【詳解】.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式,解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.2、A【解析】
根據(jù)直線:過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),得,又和其中一條漸近線平行,得到,再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€:過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn),所以,所以,又和其中一條漸近線平行,所以,所以,,所以雙曲線方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】
設(shè),求,作為的函數(shù),其最小值是6,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求的最小值.【詳解】設(shè),則,記,,易知是增函數(shù),且的值域是,∴的唯一解,且時(shí),,時(shí),,即,由題意,而,,∴,解得,.∴.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查用導(dǎo)數(shù)求最值.解題時(shí)對(duì)和的關(guān)系的處理是解題關(guān)鍵.4、C【解析】
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.5、B【解析】
初始:,,第一次循環(huán):,,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):,,此時(shí),滿足條件,結(jié)束循環(huán),所以判斷框內(nèi)填入的條件可以是,所以正整數(shù)的最小值是3,故選B.6、B【解析】
直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.7、D【解析】因?yàn)?,所以,因?yàn)椋?,所?.綜上;故選D.8、B【解析】
依照偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).9、B【解析】
由數(shù)量積的定義表示出向量與的夾角為,再由,代入表達(dá)式中即可求出.【詳解】由向量與的夾角為,得,所以,又,,,,所以,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和向量的模長平方等于向量的平方,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
轉(zhuǎn)化,為,利用復(fù)數(shù)的除法化簡,即得解【詳解】復(fù)數(shù)滿足:所以故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的除法和復(fù)數(shù)的基本概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
利用切割線定理求得,利用勾股定理求得圓心到弦的距離,從而求得,結(jié)合,求得直線的傾斜角為,進(jìn)而求得的斜率.【詳解】曲線為圓的上半部分,圓心為,半徑為.設(shè)與曲線相切于點(diǎn),則所以到弦的距離為,,所以,由于,所以直線的傾斜角為,斜率為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.12、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進(jìn)一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個(gè)三棱柱體,切去一個(gè)三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域列不等式組,解不等式求得的取值范圍.【詳解】由二次函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】
先畫出約束條件的可行域,根據(jù)平移法判斷出最優(yōu)點(diǎn),代入目標(biāo)函數(shù)的解析式,易可得到目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】解:由約束條件得如圖所示的三角形區(qū)域,由于,則,要求的最大值,則求的截距的最小值,顯然當(dāng)平行直線過點(diǎn)時(shí),取得最大值為:.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求最值問題,我們常用幾何法求最值.15、【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.16、【解析】解:由題意可知:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)采用零點(diǎn)分段法:、、,由此求解出不等式的解集;(2)先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出的值,然后利用基本不等式及其變形完成證明.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式為,解得當(dāng)時(shí),不等式為,解得當(dāng)時(shí),不等式為,解得∴原不等式的解集為(2)當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),∴,∴∵,∴,∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)同理可得,∴∴(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式,難度一般.(1)常見的絕對(duì)值不等式解法:零點(diǎn)分段法、圖象法、幾何意義法;(2)利用基本不等式完成證明時(shí),注意說明取等號(hào)的條件.18、(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)綜上.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求絕對(duì)值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.19、(1);(2)存在,【解析】
(1)把點(diǎn)代入橢圓C的方程,再結(jié)合離心率,可得a,b,c的關(guān)系,可得橢圓的方程;(2)設(shè)出直線的方程,代入橢圓,運(yùn)用韋達(dá)定理可求得點(diǎn)的坐標(biāo),再由,可求得直線的方程,要注意檢驗(yàn)直線是否和橢圓有兩個(gè)交點(diǎn).【詳解】(1)由題可得∴,所以橢圓的方程(2)由題知,設(shè),直線的斜率存在設(shè)為,則與橢圓聯(lián)立得,,∴,,∴若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),則,∴,化簡得,∴,解得或因?yàn)榕c不重合,所以舍.所以直線的方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì),考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用,屬于中檔題.20、(1)2;(2).【解析】
(1)化簡得,所以,展開后利用基本不等式求最小值即可;(2)由(1),原不等式可轉(zhuǎn)化為,討論去絕對(duì)值即可求得的取值范圍.【詳解】(1)∵,,∴,∴.∴.當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí),.(2)由(1)知,,對(duì)任意,都有,∴,即.①當(dāng)時(shí),有,解得;②當(dāng),時(shí),有,解得;③當(dāng)時(shí),有,解得;綜上,,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的運(yùn)用和求解含絕對(duì)值的不等式,考查學(xué)生的分類思想和計(jì)算能力,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】
(1)按絕對(duì)值的定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后解不等式;(2)不等式轉(zhuǎn)化為,求出在上的最小值即可,利用絕對(duì)值定義分類討論去絕對(duì)值符號(hào)后可求得函數(shù)最小值.【詳解】解:(1)或或解得或或無解綜上不等式的解集為.(2)時(shí),,即所以只需在時(shí)恒成立即可令,由解析式得在上是增函數(shù),∴當(dāng)時(shí),即【
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