2024-2025學年初中數(shù)學九年級上冊（華師版）教案 第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法（第1課時）

第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時直接開平方法和因式分解法教學目標1.理解直接開平方法和因式分解法，掌握用兩種方法解一元二次方程的一般步驟.2.能靈活運用因式分解法解簡單的一元二次方程.3.了解轉化、降次思想在解方程中的運用.教學重難點重點：理解直接開平方法和因式分解法.難點：會根據方程的特點靈活選用方法解一元二次方程.教學過程復習鞏固1.平方根的概念如果一個數(shù)x的平方等于a.那么這個數(shù)x叫做a的平方根，即x2＝a,x叫做a的平方根.2.因式分解把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式叫做因式分解.導入新課【問題1】活動1（學生交流，教師點評）解下列方程，并說明你所用的方法，與同伴交流.(1)x2＝4；(2)x2＝0；(3)x2+1＝0.【解】(1)根據平方根的意義，得x1＝2,x2＝-2.(2)根據平方根的意義，得x1＝x2＝0.(3)根據題意，得x2＝-1,因為負數(shù)沒有平方根，所以原方程無解.教師總結并引出課題：22.2一元二次方程的解法第1課時直接開平方法和因式分解法探究新知探究點一直接開平方法一般地，對于形如x2＝a(a≥0)的方程，根據平方根的意義，可解得xx2＝-a【歸納】一般的，對于方程x2＝p,（1）當p>0時，根據平方根的意義，方程x2＝p有兩個不相等的實數(shù)根，；（2）當p＝0時，方程x2＝p有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝0；（3）當p<0時,因為對任何實數(shù)x，都有x2≥0，所以方程x2＝p無實數(shù)根.【問題2】活動2（師生互動）例1利用直接開平方法解下列方程:(1)x2＝25；(2)x2-900＝0.【解】（1）直接開平方，得即（2）移項，得x2＝900.直接開平方，得x＝±30，即x1＝30,x2＝-30.即學即練對照例1中解方程的方法，你認為怎樣解方程(x+2)2＝25？【解】（x+2)2＝25（1），所以x+2＝5或x+2＝-5（2）.所以方程（x+2）2＝25的兩個根為【題后總結】(學生總結，老師點評)上面的解法中，由方程（1）得到（2），實質上是把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程，這樣就把方程轉化為我們會解的方程了.例2解下列方程：（1）(x+2)2＝7；（2）(2x+3)2＝16；【探索思路】(引發(fā)學生思考)（1）只要將（x+2）看成是一個整體，就可以運用直接開平方法求解.（2）解題方法同第（1）小題.【解】（1）由題意知x+2是7的平方根，∴x+2＝即x+2＝或x+2＝，∴，.（2）由題意知2x+3是16的平方根，∴2x+3＝±4.即2x+3＝4或2x+3＝-4∴x1＝，x2＝.【總結】采用直接開平方法解一元二次方程的理論依據是平方根的意義，直接開平方法只適用于能轉化為x2＝p或(mx+n)2＝p(p≥0)的形式的方程，可得x＝或mx+n＝.【問題3】活動3（師生互動）探究點二用因式分解法解一元二次方程解方程.小亮是這么解的：把方程兩邊同除以x，得x-7＝0,所以x＝7.小亮的解法對嗎？為什么？【答案】小亮把方程兩邊同除以x，而x有可能等于零，所以小亮的解法不對.【歸納】1.因式分解法：通過因式分解使一元二次方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個一次式分別等于0,從而實現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.因式分解法的基本步驟（1）移項：將方程的右邊化為0;（2）化積：將方程的左邊因式分解為兩個一次式的乘積;（3）轉化：將方程轉化為兩個一元一次方程;（4）求解：解兩個一元一次方程，寫出方程的解.例3用因式分解法解下列方程（1）3x2-6x＝9;（2）4x2-121＝0.【解】(1)化為一般式為x2-2x-3＝0.因式分解，得(x+1)(x-3)＝0.從而或x-3＝0，所以x1＝-1，x2＝3.(2)因式分解，得(2x+11)(2x-11)＝0.從而2x+11＝0或2x-11＝0，所以x1＝，x2＝.【題后總結】(學生總結，老師點評)用因式分解法解一元二次方程時，我們先將左邊化為兩個一次因式的乘積，右邊是0的形式，然后由乘積等于0，得到兩個因式中至少有一個等于0，從而將一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程來解例4用直接開平方法或因式分解法解下列方程：(1)(x+1)2＝2；(2)(2x+1)2＝2x+1；(3)-x2＝4x；(4)(x+5)2＝9.【探索思路】(引發(fā)學生思考)觀察方程的特點，確定解方程的方法及一般步驟.【解】(1)直接開平方，得x+1＝±.故x1＝-1，x2＝--1.(2)移項，得(2x+1)2-(2x+1)＝0.方程左邊分解因式，得(2x+1)(2x+1-1)＝0，所以2x+1＝0或2x+1-1＝0，得x1＝-，x2＝0.(3)方程可變形為x2+4x＝0.方程左邊分解因式，得x(x+4)＝0，所以x＝0或x+4＝0，得x1＝0，x2＝-4.(4)方程兩邊同時乘2，得(x+5)2＝18，直接開平方，得x+5＝±3，所以x1＝3-5，x2＝-3-5.【題后總結】(學生總結，老師點評)(1)用直接開平方法解一元二次方程的一般步驟：①觀察方程兩邊是否符合x2＝b(b≥0)或(mx+a)2＝b(m≠0，b≥0)的形式；②直接開平方，得到兩個一元一次方程；③解這兩個一元一次方程，得到原方程的兩個根.(2)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項，將方程的右邊化為0；②將方程的左邊分解成兩個一次因式的積的形式；③令每個因式分別為0，得到兩個一元一次方程；④解這兩個一元一次方程，得到原方程的根.課堂練習1.一元二次方程x2-16＝0的根是()A.x＝2B.x＝4C.x1＝2，x2＝-2 D.x1＝4，x2＝-42.一元二次方程（x-3）（x-5）＝0的兩根分別為（）A.x1＝3，x2＝-5B.xC.x1＝-3，x2＝5D.x13.方程x2＝3A.x＝0B.x＝C.x1＝0，x2＝34.方程x2-2x＝0的根是（A.x1＝B.x1＝C.x1＝0，x2D.x1＝0，x5.解下列方程：(1)4x2＝25；(2)x(x+2)＝x+2.6.解下列方程：(1)3(x+1)2＝；(2)(x+1)2-4＝0.參考答案1.D2.D【解析】∵（x-3）（x-5）＝0，∴x-3＝0或x-5＝0，3.C【解析】原方程可化為x2-3x＝0，∴x（x-3）＝0，∴4.C【解析】x2-2x＝0，方程左邊分解因式，得x（x-2）＝解得x1＝0，x2＝5.【解】(1)方程可化為x2＝eq\f(25,4).直接開平方，得x＝±eq\f(5,2)，所以x1＝eq\f(5,2)，x2＝-eq\f(5,2).(2)移項，得x(x+2)-(x+2)＝0.方程左邊分解因式，得(x+2)(x-1)＝0，所以x+2＝0或x-1＝0，得x1＝-2或x2＝1.6.【解】（1）方程兩邊都除以3，得(x+1)2＝，直接開平方，得x+1＝±，即x+1＝或x+1＝-，∴x1＝，x2＝.（2）移項，得(x+1)2＝4，直接開平方，得x+1＝±2，即x+1＝2或x+1＝-2，∴x1＝1，x2＝-3.課堂小結(學生總結，老師點評)直接開平方法因式分解法布置作業(yè)教材第23頁練習題，第25頁練習題板書設計課題第22章一元二次方程22.2一元二次方程的解法第1課時直接開平方法和因式分解法【問題1】【問題