新編大學物理-習題解答

第1章質(zhì)點運動學

一、選擇題

題1.1:

答案：[B]

提示：明確Ar與△廠的區(qū)別

題1.2；

答案：[A]

題1.3：

答案：[D]

提示：A與規(guī)定的正方向相反的加速運動，B切向加速度，C明確標、矢量的關(guān)系，加速

度是包

dt

題1.4：

答案：[C]

提示：M=rx=Rj,r2=-Ri,AV=v.-v,,v,=-v/,v2=-vj

題1.5：

答案：[D]

提示：t=0時，x=5；t=3時，x=2得位移為-3m；

僅從式x=t2-4t+5=(t-2)2+l,拋物線的對稱軸為2,質(zhì)點有往返

題1.6：

答案：[D]

2

提示：a=2t=—,v=j2tdt-t-4,x-x0=jvdt,即可得D項

dt22

題1.7：

答案：[D]

提不：v^=2v,,理清v絕翻牽+v的關(guān)系

二、填空題

題1.8：

答案：勻速(直線)，勻速率

題1.9：

答案：9r一15/，0.6

提示：u=—=9z-15f2,t=0.6時，v=0

dt

題1.10：

答案：(1)y=\9--x2

2

(2)2i-4zj-4j

(3)4i+llj2i-6j3S

x=2tIdx

提示：(1)聯(lián)立《，，消去t得：y=19--x2,v=—i

y=\9-2t22dtdt

(2)t=ls時，v=2i-4/j,a=—=-4j

dt

(3)t=2s時,代入r=xi+yj=2fi+(19-2『)j中得4i+llj

t=ls到t=2s,同樣代入「=r(f)可求得Af=2i-6j,

r和v垂直，即r?v=O,得t=3s

題1.11：

答案：12m/s2

提示：a=—==2v=4x=12(//z/52)

dtdt

題1.12：

內(nèi)一，，272

答案：Im/s----

71

22|Ar|=CH=空

提示：v=v0+J—c/f=t,v|/=I=lm/s0=力=-Z=—Jr,

odto32

題1.13：

答案：一5日+(%/-；g/)j

2

提示：先對r=(v0r-gr/2)j求導得，vy=(v0-gt)jv=5i合成得

ti

v合=-5i+(9—gf)j/.r合金卜合一5日+(%/-5g產(chǎn))j

題1.14：

答案：8,64r

提示：匕=/?吆=8放，a

三、計算題

題1.15：

解：（1）a=〕3團

t2

0

q1

(2)又,：S=R9.\0=-=-t3

R6

（3）當a與半徑成45°角時，an=aT

—tA..—t4=3t.'.t-y[4S

R44

題1.16：

.\dvrv

解：(1)67=—=~kv?J.皿，In一=-kt(*)

dt0v0%

14In2

當V=/時，In—=-kt,

2~k~

kt

（2）由（*）式：v=vQe~

Xt

.dxjd%=Jve~ktdt

'~diQ

oo

第2章質(zhì)點動力學

一、選擇題

題2.1：

答案：[C]

提ZK：A.錯誤，如：圓周運動

B.錯誤，p=inv.力與速度方向不一定相同

D.后半句錯誤，如：勻速圓周運動

題2.2：

答案：[B]

提示：y方向上做勻速運動：Sy=vyt=2t

X方向上做勻加速運動(初速度為0),a=—

m

tt2/

匕=J=2r，S,=Jvjt=—

00J

題2.3：

答案：[B]

提示：受力如圖

設(shè)貓給桿子的力為F,由于相對于地面貓的高度不變

F'=mgF=F'桿受力=Mg+F=(M+

F.(M+m)g

a——=------------

MM

題2.4:

答案：[D]

提示：

mg-T=maA

=maB得知=1g

a

ci=—A

,B2

幺，通過分析滑輪，由于A向下走過S,B走過工)

%

22

a

??aA

B2

題2.5:

答案：。

mm

提示：由題意，水平方向上動量守恒，故—(v0cos60°)=(—+m)v^

-A

”v共22

題2.6：

答案：[C]

h-R

R

分析條件得,只有在h高度時，向心力與重力分量相等

所以有誓

mgcos0=>v2=g(h-R)

由機械能守恒得(以地面為零勢能面)

1；mv2+mgh=%=y/2gh+g(h_R)

5如。

題2.7:

答案：網(wǎng)

提示：運用動量守恒與能量轉(zhuǎn)化

題2.8：

答案：[D]

提示：

由機械能守恒得mgh=；'nv=不2gh

vy=v0sin3

/.PG=mgvy=mgsin42gh

題2.9：

答案：[C]

題2.10:

答案：[B]

提示：受力如圖

T

/~"一"F

由功能關(guān)系可知,設(shè)位移為X（以原長時為原點）

,,2（f一g）

Fx-/jmgx=jkxdx=>x=--------------

0k

1小二田一2

彈性勢能E=

p2k

二、填空題

題2.11:

答案：2mb

提示：V-x'-2hta=v"=2bF=ma=2mb

題2.12：

答案：2kg4m/s2

提示：

y

8N

u4Nx

2

由題意，ax=2mIsF<=4N

F、=8Nm=—=2kg

a

F、.2

a、，=--=4加/s

)m

題2.13：

F32

提不：由題意，ci=—=(----1—f)nu=adt^nls

m10505

當t=2時，a=—

10

題2.14：

答案：180kg

提示：由動量守恒，叫/人㈢n船扁-S=>m船=180kg

題2.15：

答案：一in—j

44

提示：各方向動量守恒

題2.16：

答案：mv(i+j),0,-mgR

提示：由沖量定義得I=P末而P=mv\-(-mvj)=mv[\+j)

由動能定律得NEk=Wn=0,所以W合=0

W^=-mgR

題2.17：

答案：-12

3

提示：w=jFdx=12J

-i

題2.18：

答案：mgh,—kx~,-G----h=0,x=0,r=oo相對值

2r

題2.19：

答案：等，2mg.g店

k。v&o

題2.20：

答案：ZA外力+Z非保守力=°

三、計算題

題2.21：

7711TI

解：(l)FA=Txg/=(L—x)7〃g

LL

19

(2)a=—6-/)吟(l+〃)x-〃g

mL

dvL「-|2__________

(3)a=p?,\vdv=[+dx,v=；〃g(2-〃)

dxiiLL」3

3

題2.22：

解：(1)以擺車為系統(tǒng)，水平方向不受力，動量守恒。設(shè)擺車速度v(對地)、小車的速度

為V(對地)。

…*、MV

mvx-MV=0vx=----

m

Jvdt=j(絲3力設(shè)Ar,=jvdt,AX=j

xx2Vdt

00m00

則M加2=加Ak］，根據(jù)位移公式：&mM=Xns+、九M

-Ax】+AX2=(M+MAr/m

(2)mv-MV=0

mgl=-mv~+—MV2

22

擺球速度v=j2Mg//(M+m)

V=rn^lglI[M{M+m)]

題2.23

解：K=Mg/x。，油灰碰撞前y=

動量守恒有：mv=(m+M)V

機械能守恒有(m,M,彈簧，地球為系統(tǒng))：

—k(x。+Ax)~=—(加+M)VH—kx^+(6+M)gAY

21+mo\2,2m2g/?x

則Arv()=0.3(m)

M'{}\+

第3章剛體的定軸轉(zhuǎn)動

一、選擇題

題3.1：

答案：[B]

提示：A錯，M=rxF,合外力矩不等于合外力的力矩

C錯，/=加/，??是相對參考點的距離,

動能E=2y2=]_/4,

D錯,4

<=122

題3.2：

答案：[A]

提示：若繩的張力為T,TR=Ip

若物體的加速度為a,a=/3R

TR2=I/3R-la,mg-T-ma

^―,—產(chǎn)

a=

上12

g+mP

/=〃求2(畀—g)

@3.3：

答案：[D]

提示：系統(tǒng)角動量守恒mv()l=Ico,I=；?

11

由于完全彈性碰撞，一〃Z%02=—/刃02,故口正確

22

題3.4：

答案：。

V

提示：射入點沿輪切向動量守恒，故mv0sin0=(m+m)v,a)=—,C正確

題3.5：

答案：[D]

提示：M=rxF,r和F在同一方向上，力矩為0,故角動量守恒

由定義知其動量和動能將改變

二、填空題

題3.6：

答案：c必出竺包

12)M+2mM+2m

提示：人走到邊沿時，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為盤的轉(zhuǎn)動慣量和人的轉(zhuǎn)動慣量之和

根據(jù)角動量守恒定律/o(4=/@+〃?)*，/=1*+〃，&

轉(zhuǎn)臺受沖量矩等于轉(zhuǎn)盤角動量的增量，即;MR2(O-4)

題3.7：

1,zi3gcos61..八1.?八

~im^cosij,sin(J,sin(J

提示：力矩M=廠*尸=g/〃zgsin^-0^=^lmgcos0

根據(jù)轉(zhuǎn)動定律M=1*mF/3,故夕=3g;;s，

根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的動能定理，力矩做的功等于動能的增量，力矩的功為

rO1

J?！猰glcosOd0

題3.8：

答案：2兀RF,2表訴7

提示：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的動能定理fMdO=-Ia)2-0WIco2=InRF

Jo2

角動量的增量為l(o

題3.9:

答案：工加外=0

題3.10：

答案：mvL--MI?(o+—mvL

32

提示：系統(tǒng)角動量守恒，〃?nL=/(y+」〃7vL,。為角速度

2

三、計算題

題3.11：

解：J=0675Ag?機2

mg-T=ma,TR=J(3,a=R/3

：.a=mgR2/(mR2+/)=5.06m/?

因此(1)下落距離==63.3〃？(2)張力T=ni(g-。)=37.9N

題3.12：

解：下落過程細桿機械能守恒(系統(tǒng)：桿與地球)。選m靜止處水平面為零勢點

11,,13

22

M^Z(l+-sin30)=-A//?0+-A/g-/

二.細桿碰前瞬間角速度為：4=j3g/2/

2

碰撞過程角動量守恒：CO(}MI=(M+Z72)/%(系統(tǒng)桿與小球)

/.co=-^—J3g/2l

M+in

第4章狹義相對論

選擇題

題4.1:

答案：［D］見概念

題4.2：

答案：網(wǎng)

提示：運動質(zhì)量朋=-1恤"°=四,外力做功卬=加/一〃%。2=

v2V1-0.360.8

mc2(1----)=0.25mc2

0()0.8

題4.3：

答案：問

提示：在K系中X軸方向上，正方形邊長為a,K'系觀察K系X軸方向正方形邊長

a'=^l-(-)2a,優(yōu)=，一(函^a=0.6a,則從K'系測得面積為0.6ax。=0.6/

題4.4:

答案：聞

提示：選飛船為一參考系，因為真空中光速C對任何慣性參考系都是常數(shù)，由于飛船勻速運

動，是慣性系。則飛船固有長度為C股

題4.5:

答案：冏

29

提示：Ek=me--mQc

題4.6:

答案：[C]

提示：由時間的長度為

0.998x3x108x3.48x10-5w=1.04x104m

題4.7:

答案：[D]

題4.8:

答案：[D]

u+u

提不：”相}2M,=u=2x108/n/.y,故“相=2.77x10"機/s

1u,u2

1+—0

C'

題4.9:

答案：[A]

106MeV廠“…

提示：E=(m-m)c2；

k0Ek=4MeV；故u=0.27c

填空題

題4.10：

提示：設(shè)痕跡之間距離為4，由公式4=—j=^=：（%為靜長度）。則車上觀察者測得

1』\2

長度為L=4

題4.11:

答案：（1）----C⑵生

2

小omv

提示：(1)相對論質(zhì)量和相對論動量：m=]，P=mv=/Q

11=2,得v=?c

非相對論下，P,=mv,—=-

oFF2

22AZlrt_2z12

(2)Ek=me=m()c，m=—r,Ek=moc~(,-1)=mQc

J

i,.6

-----------1=1=>V=-c

1-(與2

c

題4.12：

答案：4

E.me2-m.c28，

22一(=機

提示：Ek=me=mQc,E靜土々)/，2-=--------3=>m=40

E靜砥)小

題4.13：

答案：-C

2

提示：L=，—(?2q,L=1加，L

=0.5/71,解得v=c

(0)2

題4.14：

2

答案：(n-l)m0c

)

提不：=―,=一,\rr1”

—>T則n=J.,m=i.=nm0，

〃■

122

Ek=me-m()c=(n-l)wioc

題4.15：

答案：3.73m

提示：L=L^l-(-)2,4=5〃z,

0v=2xlOHm?5-1?

則L=5yjl-(^)2m=~~m

=3.13m

題4.16：

答案：6.7xIO。機

提示：△『'=心『n7=3即

題4.17：

答案：上

,v

計算題

題4.18：

解：（1）航程工2-玉=〃［（工2'-玉'）+〃?2'-4'）］=堊3-（1+四）=1?2乂10”加

/\n-4-1'-11W..3x1010.8?3

(2)時間L-，］二/z?2_'i)—r(*2—&)=--------(—I-----)=5x10S

_cJ0.6Vc

(3)航速心與」?*?-=2.4X10%/S

Ar5xl03

第5章機械振動

一、選擇題

題5.1

答案：B

題5.2

答案：C

題5.3

答案:C

二、填空題

題5.4

答案：2兀

題5.5：

答案：0.02m

題5.6：

答案：Acos(—r--7r)

三、計算題

5.7一物體沿x軸做簡諧振動，振幅4=0.12m,周期T=2s.當t=0時，物體的位移x

=0.06m,且向x軸正向運動.求：

(1)此簡諧振動的表達式；

(2)t=7時物體的位置、速度和加速度；

(3)物體從x=?0.06m,向x軸負方向運動第一次回到平衡位置所需的時間.

［解答］(1)設(shè)物體的簡諧振動方程為x=Acos(3t+(p),其中A=0.12m,角頻率/=2兀/7

=n.

當t=0時，x=0.06m,所以cos@=0.5,因此=士內(nèi)3.

物體的速度為v=dx/dt=-u)As\n((jot+<p).

當t=0時，v=-cd4sin(p,由于v>0,所以sin(p<0,因此：cp=-n/3.

簡諧振動的表達式為：x=0.12cos(nf-n/3).

(2)當t=T/4時物體的位置為;x=0.12cos(n/2-n/3)=0.12COSH/6=0.104(m).

速度為；v=-TL4sin(n/2-n/3)=-0.12Hsinn/6=-O.lSSfm-s'1).

加速度為：a=dv/dt=-UJ2Acos(a)t+(p)=-兀24cos(nt-n/3)=-0.12n2cosn/6=-1.03(m-s'2).

(3)方法一：求時間差.當x=-0.06m時，可得cos(叫?n⑶=?05

因止匕nti-n/3=±2n/3.

由于物體向x軸負方向運動，即v<0,所以sin(nti-n/3)>0,因此nti-n/3=2n/3,得h=Is.

當物體從x=-0.06m處第一次回到平衡位置時，x=0,v>0,因此85(叫?3);。，

可得叫?兀3=?兀/2或3兀/2等.由于12>0，所以叫?3=3rt/Z,

可得f2=liy6=1.83(s).

所需要的時間為:At=t2-ti=0.83(s).

方法二：反向運動.物體從x=?0.06m,向x軸負方向運動第一次回到平衡位置所需的

時間就是它從x=0.06m,即從起點向x軸正方向運動第一次回到平衡位置所需的時間.在

平衡位置時，x=0,v<0,因此cos(Tit-儂)=0,可得nt-=n/2,解得t=5/6=

0.83(s).

［注意］根據(jù)振動方程x=Acos(gt+<p),當t=0時,可得0二士arccos(xaZA),(-H<cp<=n),

初位相的取值由速度決定.

由于v=dx/dt=-gAsin(o>t+cp),當t=0時，v=-u>4sin(p,當v>0時，s\n(p<0,因此

cp--arccos(XcZ4)；

當"<0時，sin(p>0,因此0=arccos(XoZ4)TV3.

可見：當速度大于零時，初位相取負值；當速度小于零時，初位相取正值.如果速度等

于零，當初位置Xo=八時，(p=0；當初位置Xo=?4時，(p=R,

X—0.1cos(8加+—)

5.8質(zhì)量為10xl03kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按3的規(guī)律作振動,

式中t以秒(s)計，x以米(m)計.求：

(1)振動的圓頻率、周期、振幅、初位相;

(2)振動的速度、加速度的最大值；

(3)最大回復力、振動能量、平均動能和平均勢能;

(4)畫出這振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖，并在圖上指明t為1,

等各時刻的矢量位置.

［解答］(1)比較簡諧振動的標準方程：x=Acos(3t+(p),

可知圓頻津為：3=8兀，周期丁=2JT/3=：1A=0.25(S),振幅

0.1(m),初位相(P=2H3.

1

(2)速度的最大值為：vm=wA=0.8n=2.51(m-s)；題5.8解答圖

222

加速度的最大值為：am=W4=6.4n=63.2(m-s-).

(3)彈簧的倔強系數(shù)為：k=ma)2,最大回復力為:/=kA=m32A=0.632(N)；

振動能量為:￡=kA2/2=mu)2A2/2=3.16xlO-2(J),

平均動能和平均勢能為:Ek=Ep=卜AA=m^A2^=1.58X10-2(J).

(4)如圖所示，當t為1,2,10s等時刻時，旋轉(zhuǎn)矢量的位置是相同的.

?5.9如圖所示，質(zhì)量為10g的子彈以速度v=103m?5水平射入

mv鄉(xiāng)木塊，并陷入木塊中，使彈簧壓縮而作簡諧振動.設(shè)彈簧的倔

o->Z強系數(shù)

"k=SxlO^m1,木塊的質(zhì)量為4.99kg,不計桌面摩擦,試求:

圖5.9

(1)振動的振幅；

(2)振動方程.

［解答］(1)子彈射入木塊時，由于時間很短，木塊還來不及運動，彈簧沒有被壓縮，

它們的動量守恒，即：mv=(m+M)v0.

解得子彈射入后的速度為：v0=mv/(m+M)=2(m＜，這也是它們振動的初速度.

子彈和木塊壓縮彈簧的過程機械能守恒，可得：舊+〃)嫌/2=依2/2,

取木塊靜止的位置為原點、向右的方向為位移x的正方向，振動方程可設(shè)為:x=Acos(3t+(p).

當t=0時，x=0,可得：(p=±n/2；

由于速度為正，所以取負的初位相，因此振動方程為：x=5xl0-2cos(40t-n^).

5.10一勻質(zhì)細圓環(huán)質(zhì)量為m,半徑為R,繞通過環(huán)上一點而與環(huán)

直的水平光滑軸在鉛垂面內(nèi)作小幅度擺動，求擺動的周期.

［解答］通過質(zhì)心垂直環(huán)面有一個軸，環(huán)繞此軸的轉(zhuǎn)動慣量為：

根據(jù)平行軸定理，環(huán)繞過。點的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量為

22

I=lc+mR=2mR.

當環(huán)偏離平衡位置時，重力的力矩為：M=mgRsind,

方向與角度。增加的方向相反.

根據(jù)轉(zhuǎn)動定理得：/6=-M,

d26?

+mgRsin6=0

即題5.10解答圖

由于環(huán)做小幅度擺動，所以―可得微分方程：翳吟二°

5.11質(zhì)量為0.25kg的物體，在彈性力作用下作簡諧振動，倔強系數(shù)k=25N-m”,如果開始

振動時具有勢能0.6J,和動能0.2J,求(1)振幅(2)位移多大時，動能恰等于勢能？(3)

經(jīng)過平衡位置時的速度.

［解答］物體的總能量為：E=Ek+Ep=0.8(J).

(1)根據(jù)能量公式￡=依2〃，得振幅為：A=yj2E/k=o.253(m).

(2)當動能等于勢能時，即&=弓，由于E=Ek+Ep，可得：E=2Ep,

-kA2=2x-kx2

，解得：x=±V^A/2=±o.i79(m).

即22

(3)再根據(jù)能量公式￡=加^〃，得物體經(jīng)過平衡位置的速度為:

以=±j2E/*±2.53(mL).

5.12兩個頻率和振幅都相同的簡諧振動的x-t曲線如圖所示，求：

(1)兩個簡諧振動的位相差；

(2)兩個簡諧振動的合成振動的振動方程.

［解答］(1)兩個簡諧振動的振幅為：A=5(cm),

周期為：T=4(s),圓頻率為：a)=2n/T=n/2,

它們的振動方程分別為：

Xi=Acosu)t=5cosnt/2,

x2=As\nu)t=5sinnt/2=5cos(n/2-Ntfl)

即x2=5cos(nf/2-n/2).

位相差為：&P=02-仰=-n/2.

(2)由于x=Xi+X2=5cosnt/2+5sirmt/2

=5(cosnt/2-cosnA+5sinnt/2-sinn/4)/sinn/4

合振動方程為：吟一久初

31

x.=0.05cos(lOf+—乃)x,=0.06cos(lOf+—萬)

5.13已知兩個同方向簡諧振動如下：5,-5

(1)求它們的合成振動的振幅和初位相；

(2)另有一同方向簡諧振動X3=0.07cos(10t+0),問(P為何值時，Xi+X3的振幅為最大？

3為何值時，X2+X3的振幅為最小？

(3)用旋轉(zhuǎn)矢量圖示法表示(1)和(2)兩種情況下的結(jié)果.x以米計，t以秒計.

［解答］(1)根據(jù)公式，合振動的振幅為：A=JA；+&+2A&COS”/3)=

8.92xl0'2(m).

A.sin69,+Asin科

(p=arctan—1——n——27——遼

初位相為：A1COS/+&COS的=68.22°.

(2)藥更Xi+X3的振幅最大，則：COS(0-01)=1,|天比匕0—91=0,所以：cp=cpi=0.6H.

要使X2+X3的振幅最小，則cos?—6)=-1，因此3—02=n，所以(p=n+(p2=1.2n.

5.14將頻率為384Hz的標準音叉振動和一待測頻率的音叉振動合成，測得拍頻為3.0Hz,在

?待測音叉的一端加上一小塊物體，則拍頻將減小，求待測音叉的固

心|島有頻率.

h><->1［解答］標準音叉的頻率為Vo=384(Hz),

v2Vo%

拍頻為Av=3.0(Hz),

待測音叉的固有頻率可能是V1=v0-^=381(Hz),

也可能是V2=%+Av=387(HZ).

在待測音叉上加一小塊物體時，相當于彈簧振子增加了質(zhì)量，由于32=k/m,可知其頻

率將減小.如果待測音叉的固有頻率”,加一小塊物體后，其頻率心將更低，與標準音叉

的拍頻將增加；實際上拍頻是減小的，所以待測音叉的固有頻率丫2，即387Hz.

5.15三個同方向、同頻率的簡諧振動為

x,=0.08cos(314z+-)x2=0.08cos(314r+-)x3=0.08cos(314z+-)

6,2,6.

求(1)合振動的圓頻率、振幅、初相及振動表達式；

X=---A

(2)合振動由初始位置運動到2所需最短時間(A為合振動振幅).

［解答］合振動的圓頻率為：w=314=100n(rads1).

設(shè)。=0.08,根據(jù)公式得：

Ax=4icos(pi+A2cos(p2+A3cos(p3=0,

Ay=4sin%+A2s\n(p2+A3s\n(p3=2A0=0.16(m),

-+

振幅為：A'=0.16(m),初位相為：cp=arctan(4yMx)=nfl.

合振動的方程為：x=0.16cos(100nt+n/2).

(2)當x=V^4/2時，可得：cos(100萬f+萬/2)=0/2,

解得：lOOnt+n/2=n/4或7n/4.

由于t>0,所以只能取第二個解，可得所需最短時間為t=0.0125s.

第6章機械波

一、選擇題

題6.1

答案：D

題&2

答案：A

題6.3

答案：A

題6.4

答案：C

二、填空題

題&5

答案：相同，相同，2nB.

題6.6

答案：曲,x=0.02cos(如幽)(SI).

題6.7

答案:孫2儂//g產(chǎn).

三'計算題

6.8已知一波的波動方程為"=5、102$而(10日-0.6*)(01).

(1)求波長、頻率、波速及傳播方向；

(2)說明x=0時波動方程的意義，并作圖表示.

［解答］(1)與標準波動方程

,2兀X、

y=Acos(a)t--------)

2比較得：2n"=0.6,

因此波長為：A=10,47(m)；圓頻率為：3=10n,

頻率為：v=(JJ/2TI=5(Hz)；波速為：u=X/T=Av=

52.36(m-s").

且傳播方向為x軸正方向.

(2)當x=0時波動方程就成為該處質(zhì)點的振

y=5xl0-2sinl0nt=5xl0-2cos(10nt-n/2),

振動曲線如圖.

6.9有一沿x軸正向傳播的平面波，其波速為u=lm-s1,波長4=0.04m,振幅A=

0.03m.若以坐標原點恰在平衡位置而向負方向運動時作為開始時刻，試求：

(1)此平面波的波動方程；

(2)與波源相距x=0Qlm處質(zhì)點的振動方程，該點初相是多少？

［解答］(1)設(shè)原點的振動方程為：yo=Acos(3t+(p),其中A=0.03m.

由于所以質(zhì)點振動的周期為：T=A/u=0.04(s),圓頻率為：3=2TT/T=50H.

當t=0時，y0=0,因此cos<p=0；由于質(zhì)點速度小于零，所以卬=n2

原點的振動方程為：y0=0.03cos(50nt+n/2),

平面波的波動方程為：

X-TT

y=0.03cos[50萬。一一)+-]

?2=0.03cos[50n(t-x)+.

(2)與波源相距x=0.01m處質(zhì)點的振動方程為：

y=0.03cos50nt.

該點初相＜p=0.

6.10如圖所示為一列沿x負向傳播的平面諧波在t=%時的波形圖，振幅A、波長久以

及周期7?均已知.

(1)寫出該波的波動方程；

(2)畫出x=處質(zhì)點的振動曲線；

(3)圖中波線上。和b兩點的位相差優(yōu)-(pb

為多少？

［解答］(1)設(shè)此波的波動方程為：

IX

y=Acos［2萬(一+—)+°］

TA,

當t=7■■時的波形方程為：

X71x

y=Acos(2^—+(p+—)=-Asin(27r—+夕)

A2A

在x=0處y=0,因此得sing=0,

解得=0或JI.

而在x="2處y=所以w=0.

tY

y=Acos2%(—l■—)

因此波動方程為：TA.

y=Acos（2〃一+〃）=-4cos2乃一

（2）在處質(zhì)點的振動方程為：.TT,

曲線如圖所示.

（3）=處的質(zhì)點的振動方程為

紇=Acos（27J+J）

Xb=4處的質(zhì)點的振動方程為

yb=Acos（2乃—+2萬）

波線上。和b兩點的位相差

題6.10圖

（Pa-（Pb=-3n/2.

6.11在波的傳播路程上有A和B兩點，都做簡諧振動，8點的位相比A點落后n/6,已

知A和B之間的距離為2.0cm,振動周期為2.0s.求波速u和波長九

tX

y=Acos[2^-（——一）+例

[解答]設(shè)波動方程為：T大，

那么A和B兩點的振動方程分別為：

力=4cos[2乃（《一?）+9]

1A,

%=ACOS[2乃（"?）+勿

一2兀也一[-2兀2二一三

兩點之間的位相差為：丸X6,

由于XB-XA=0.02m,所以波長為：A=0.24（m）.

波速為：u=/V7=（M2（m-s.i）.

6.12一平面波在介質(zhì)中以速度u=20m沿x軸負方向傳播.已知在傳播路徑上的某點

A的振動方程為y=3cos4Ht.

（1）如以A點為坐標原點，寫出波動方程；

（2）如以距A點5m處的B點為坐標原點，

寫出波動方程；

（3）寫出傳播方向上8,C,D點的振動方程.

[解答]（1）以A點為坐標原點，波動方程為

y=3cos4^（/+—）=3cos（4加H■—-）

u5.

（2）以8點為坐標原點，波動方程為

C/Z-X-4、'llY"

y=3cos4+-----）=3cos（4m+---兀）

u5.

（3）以4點為坐標原點，則XB=-5m、Xc=-13rn、x0=9m,各點的振動方程為

x

力=3cos4"。+-）=3cos（4加-?）

u,

=3cos4?Q+—）=3cos（4萬f-—）

u5,

yD=3cos4^-(r+—)=3cos(4萬f+也)

u5.

［注意］以B點為坐標原點，求出各點坐標，也能求出各點的振動方程.

6.13設(shè)空氣中聲速為330m61.一列火車以30ms"的速度行駛，機車上汽笛的頻率為

600Hz.一靜止的觀察者在機車的正前方和機車駛過其身后所聽到的頻率分別是多少？如果

觀察者以速度10ms"與這列火車相向運動，在上述兩個位置，他聽到的聲音頻率分別是多

少？

［解答］取聲速的方向為正，多譜勒頻率公式可統(tǒng)一表示為

u—u

\tt

u_

其中為表示聲源的頻率，U表示聲速，”表示觀察者的速度，Us表示聲源的速度，VB表示觀

察者接收的頻率.

1

(1)當觀察者靜止時，uB=0,火車駛來時其速度方向與聲速方向相同，Us=30ms,

觀察者聽到的頻率為

u330/八八

vR=-----八=--------600

u-us330-30=660(Hz).

火車駛?cè)r其速度方向與聲速方向相反，Us=-30m§i,觀察者聽到的頻率為

u330

/=--------------匕600

330+30=550(Hz).

(2)當觀察者與火車靠近時，觀察者的速度方向與聲速相反，us=-10ms一1；火車速度

方向與聲速方向相同，Us=30m￡i,觀察者聽到的頻率為

w—330+10

v=------至八,=--------600

Ruu

~s'330-30=680(HZ).

當觀察者與火車遠離時，觀察者的速度方向與聲速相同，U8=10mgi；火車速度方向與

聲速方向相反，為=-30ms"