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文檔簡介
2025屆四川省德陽市重點中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知拋物線,則它的焦點坐標(biāo)為()A. B.C. D.2.如圖,在空間四邊形OABC中,,,,點N為BC的中點,點M在線段OA上,且OM=2MA,則()A. B.C. D.3.已知拋物線的焦點為F,點P為該拋物線上的動點,若,則當(dāng)最大時,()A. B.1C. D.24.“”是直線與直線平行的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.在流行病學(xué)中,基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入,同時所有人都沒有免疫力的情況下,一個感染者平均傳染的人數(shù).一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定.假設(shè)某種傳染病的基本傳染數(shù),平均感染周期為4天,那么感染人數(shù)超過1000人大約需要()(初始感染者傳染個人為第一輪傳染,這個人每人再傳染個人為第二輪傳染)A.20天 B.24天C.28天 D.32天6.“五一”期間,甲、乙、丙三個大學(xué)生外出旅游,已知一人去北京,一人去兩安,一人去云南.回來后,三人對去向作了如下陳述:甲:“我去了北京,乙去了西安.”乙:“甲去了西安,丙去了北京.”丙:“甲去了云南,乙去了北京.”事實是甲、乙、丙三人陳述都只對了一半(關(guān)于去向的地點僅對一個).根據(jù)以上信息,可判斷下面說法中正確的是()A.甲去了西安 B.乙去了北京C.丙去了西安 D.甲去了云南7.為調(diào)查參加考試的高二級1200名學(xué)生的成績情況,從中抽查了100名學(xué)生的成績,就這個問題來說,下列說法正確的是()A.1200名學(xué)生是總體 B.每個學(xué)生是個體C.樣本容量是100 D.抽取的100名學(xué)生是樣本8.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”其意思為:有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天后到達目的地,請問第二天走了()A.192
里 B.96
里C.48
里 D.24
里9.在四面體中,點G是的重心,設(shè),,,則()A. B.C. D.10.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若的圖象如圖所示,則函數(shù)的圖象可能是()A B.C. D.11.已知直線和圓相交于兩點.若,則的值為()A. B.C. D.12.已知是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則下列結(jié)論正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在正方體中,、分別是、的中點,則異面直線與所成角的大小是____________.14.的展開式中的常數(shù)項為_______.15.已知直線:和:,且,則實數(shù)__________,兩直線與之間的距離為__________16.?dāng)?shù)列中,,,,則______三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB∥平面AEC(2)設(shè)二面角D-AE-C為60°,AP=1,AD=,求三棱錐E-ACD的體積18.(12分)某廠有4臺大型機器,在一個月中,一臺機器至多出現(xiàn)1次故障,出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修,且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的,每臺機器出現(xiàn)故障的概率為(1)若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,求X的分布列;(2)已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修,都產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠在雇傭維修工人時,要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%,雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大?19.(12分)已知圓內(nèi)有一點,過點P作直線l交圓C于A,B兩點.(1)當(dāng)P為弦的中點時,求直線l的方程;(2)若直線l與直線平行,求弦的長.20.(12分)已知直線,半徑為的圓與相切,圓心在軸上且在直線的右上方.(1)求圓的方程;(2)過點的直線與圓交于兩點在軸上方),問在軸正半軸上是否存在定點,使得軸平分?若存在,請求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,動點到定點的距離比到軸的距離大,設(shè)動點的軌跡為曲線,分別過曲線上的兩點,做曲線的兩條切線,且交于點,與直線交于兩點(1)求曲線的方程;(2)求面積的最小值.22.(10分)設(shè)橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,O為坐標(biāo)原點,(1)求橢圓E的方程;(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且?若存在,寫出該圓的方程,并求|AB|的取值范圍,若不存在說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】將拋物線方程化標(biāo)準(zhǔn)形式后得到焦準(zhǔn)距,可得結(jié)果.【詳解】由得,所以,所以,所以拋物線的焦點坐標(biāo)為.故選:D.【點睛】關(guān)鍵點點睛:將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式是解題關(guān)鍵.2、D【解析】利用空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解:∵N為BC的中點,點M在線段OA上,且OM=2MA,且,,,故選:D.3、B【解析】根據(jù)拋物線的定義,結(jié)合換元法、配方法進行求解即可.【詳解】因為點P為該拋物線上的動點,所以點P的坐標(biāo)設(shè)為,拋物線的焦點為F,所以,拋物線的準(zhǔn)線方程為:,因此,令,,當(dāng)時,即當(dāng)時,有最大值,最大值為1,此時.故選:B4、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a,然后可得.【詳解】若,則,,顯然平行;若直線,則且,即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選:C5、B【解析】根據(jù)題意列出方程,利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總?cè)藬?shù),得到指數(shù)方程,求得近似解,然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為,經(jīng)過n輪傳染,總共感染人數(shù)為:即,解得,所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要24天,故選:B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題,解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用,尤其需要注意的是,在使用等比數(shù)列的前n項和公式時,應(yīng)該要分類討論,有時還應(yīng)善于運用整體代換思想簡化運算過程6、D【解析】根據(jù)題意,先假設(shè)甲去了北京正確,則可分析其他人的陳述是否符合題意,再假設(shè)乙去西安正確,分析其他人的陳述是否符合題意,即可得答案.【詳解】由題意得,甲、乙、丙三人的陳述都只對了一半,假設(shè)甲去了北京正確,對于甲的陳述:則乙去西安錯誤,則乙去了云南;對于乙的陳述:甲去了西安錯誤,則丙去了北京正確;對于丙的陳述:甲去了云南錯誤,乙去了北京也錯誤,故假設(shè)錯誤.假設(shè)乙去了西安正確,對于甲的陳述:則甲去了北京錯誤,則甲去了云南;對于乙的陳述:甲去了西安錯誤,則丙去了北京正確;對于丙的陳述:甲去了云南正確,乙去了北京錯誤,此種假設(shè)滿足題意,故甲去了云南.故選:D7、C【解析】根據(jù)總體、個體、樣本容量、樣本的定義,結(jié)合題意,即可判斷和選擇.【詳解】根據(jù)題意,總體是名學(xué)生的成績;個體是每個學(xué)生的成績;樣本容量是,樣本是抽取的100名學(xué)生的成績;故正確的是C.故選:C.8、B【解析】由題可得此人每天走的步數(shù)等比數(shù)列,根據(jù)求和公式求出首項可得.【詳解】由題意可知此人每天走的步數(shù)構(gòu)成為公比的等比數(shù)列,由題意和等比數(shù)列的求和公式可得,解得,第此人第二天走里.故選:B9、B【解析】結(jié)合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設(shè)是中點,.故選:B10、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)大于,原函數(shù)單調(diào)遞增;導(dǎo)函數(shù)小于,原函數(shù)單調(diào)遞減;即可得出正確答案.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)得圖象可得:時,,所以在單調(diào)遞減,排除選項A、B,當(dāng)時,先正后負(fù),所以在先增后減,因選項C是先減后增再減,故排除選項C,故選:D.11、C【解析】求出圓心到直線的距離,再利用,化簡求值,即可得到答案.【詳解】圓的圓心為,圓心到直線的距離公式為,故故選:C.12、C【解析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系,逐一核對四個選項得答案【詳解】解:對于A:若,則或,故A錯誤;對于B:若,則或與相交,故B錯誤;對于C:若,根據(jù)面面垂直的判定定理可得,故C正確;對于D:若則與平行、相交、或異面,故D錯誤;故選:C二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】分別以所在直線為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點:異面直線所成的角14、15【解析】先求出二項式展開式的通項公式,然后令的次數(shù)為0,求出的值,從而可得展開式中的常數(shù)項【詳解】二項式展開式的通項公式為,令,得,所以展開式中的常數(shù)項為故答案為:1515、①.-4;②.2【解析】根據(jù)兩直線平行斜率相等求解參數(shù)即可;運用兩平行線間的距離公式計算兩直線之間的距離可得出答案.【詳解】解:直線和,,,解得;∴兩直線與間的距離是:.故答案為:;2.16、##0.5【解析】直接計算得到答案.【詳解】∵,,則,.故答案為:.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】(Ⅰ)連接BD交AC于O點,連接EO,只要證明EO∥PB,即可證明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延長AE至M連結(jié)DM,使得AM⊥DM,說明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱錐E-ACD的體積試題解析:(1)證明:連接BD交AC于點O,連接EO.因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD中點又E為PD的中點,所以EO∥PB.因為EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)因為PA⊥平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直如圖,以A為坐標(biāo)原點,,AD,AP的方向為x軸y軸z軸的正方向,||為單位長,建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,則D,E,=.設(shè)B(m,0,0)(m>0),則C(m,,0),=(m,,0)設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則即可取n1=.又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)易知|cos〈n1,n2〉|=,即=,解得m=.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V=××××=.考點:二面角的平面角及求法;棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面平行的判定18、(1)答案見解析(2)雇傭3名【解析】(1)設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,由題意知,即可由二項分布求解;(2)設(shè)該廠雇傭n名工人,n可取0、1、2、3、4,先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人,再分別計算3人,4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗,在一次試驗中,機器出現(xiàn)故障的概率為,4臺機器相當(dāng)于4次獨立試驗設(shè)出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X,則,,,,,,則X的分布列為:X01234P【小問2詳解】設(shè)該廠雇傭n名工人,n可取0、1、2、3、4,設(shè)“在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修”的概率為,則:n01234P1∵,∴至少要3名工人,才能保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于90%當(dāng)該廠雇傭3名工人時,設(shè)該廠獲利為Y萬元,則Y的所有可能取值為17,12,,,∴Y的分布列為:Y1712P∴,∴該廠獲利的均值為16.9萬元當(dāng)該廠雇傭4名工人時,4臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率為100%,該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%時,雇傭3名工人使該廠每月獲利最大19、(1)(2)【解析】(1)由題意,,求出直線l的斜率,利用點斜式即可求解;(2)由題意,利用點斜式求出直線l的方程,然后由點到直線的距離公式求出弦心距,最后根據(jù)弦長公式即可求解.小問1詳解】解:由題意,圓心,P為弦的中點時,由圓的性質(zhì)有,又,所以,所以直線l的方程為,即;【小問2詳解】解:因為直線l與直線平行,所以,所以直線的方程為,即,因為圓心到直線的距離,又半徑,所以由弦長公式得.20、(1);(2)存在,.【解析】(1)設(shè)出圓心,根據(jù)圓心到直線距離等于半徑列方程求出的值可得圓心坐標(biāo),進而可得圓的方程;(2)由題可設(shè)直線的方程為,與圓的方程聯(lián)立,利用韋達定理及可得,即得.【小問1詳解】由已知可設(shè)圓心,則,解得或(舍).所以圓.【小問2詳解】由題可設(shè)直線的方程為,由,得到:顯然成立,所以.①若軸平分,則,所以:,整理得:,將①代入整理得對任意的恒成立,則.∴存在點為時,使得軸平分.21、(1)(2)【解析】(1)由題意可得化簡可得答案;(2)求出、方程并得到、點坐標(biāo),再聯(lián)立,方程求出交點和、點到的距離,可得,設(shè),與拋物線方程聯(lián)立利用韋達定理得到,設(shè),記,利用導(dǎo)數(shù)可得答案..【小問1詳解】由題意可知:,即:化簡得:;【小問2詳解】由題意可知:,,,過點的切線斜率為,方程為:①,令,,則,同理:方程為:②,,聯(lián)立①②得:,的交點,,點到的距離,所以③,設(shè):,則,整理得,所以,由韋達定理得:,,代入③式得:,設(shè),記,則,令得(舍負(fù)),時,單調(diào)遞減:時,單調(diào)遞增,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時的最小值為.22、(1);(2)存在,,.【解析】(1)根據(jù)橢圓E:(a,b>0)過M(2,),N(,1)兩點,直接代入方程解方程組即可.(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條
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