2024-2025學年滬教版初中數(shù)學九年級（上）教案 第22章 相似形22.3相似三角形的性質(zhì)

第22章相似形22.3相似三角形的性質(zhì)教學目標1.理解并掌握相似三角形的對應線段(高、中線、角平分線)之間的關(guān)系和相似三角形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方，掌握定理的證明方法.2.能靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì)，并能用來解決簡單的問題.教學重難點重點：相似三角形性質(zhì)定理的探究及應用.難點：綜合應用相似三角形的性質(zhì)與判定定理探索相似三角形中對應線段之間的關(guān)系和相似多邊形周長的比等于相似比、面積比等于相似比的平方.教學過程復習回顧【問題】如何判定兩個三角形相似？相似三角形有何性質(zhì)？①相似三角形的對應角_____________；②相似三角形的對應邊______________.探究新知【活動】想一想：它們還有哪些性質(zhì)呢?（1）一個三角形有哪三條重要線段？（2）如果兩個三角形相似，那么這些對應線段有什么關(guān)系呢？【互動】觀察（1）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應高的比.（2）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應中線的比.（3）如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為，對應角平分線的比＝.當△ABC∽△A′B′C′，且相似比為時，可得：對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都是.觀察這些數(shù)據(jù)，你會有怎樣的猜想呢？定理1相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比等于相似比.【活動】問題1如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的高，△ABD與△A′B′D′相似嗎？問題2如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的高，由△ABD∽△A′B′D′能否得到的值？發(fā)現(xiàn)：相似三角形對應高的比等于相似比.【探究】問題3如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中，AD，A′D′分別為BC，B′C′邊上的中線，則＝k.結(jié)論：相似三角形對應中線的比等于相似比.【探究】問題4如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，其中BE，B′E′分別為∠ABC，∠A′B′C′的平分線，則＝k.結(jié)論：相似三角形對應角平分線的比等于相似比.【歸納】教師引導，學生總結(jié)【練習】（學生口答）1.相似三角形對應邊的比為2∶3，那么相似比為_______，對應角平分線的比為_________.2.兩個相似三角形的相似比為1∶4，則對應高的比為_______，對應角平分線的比為_________.3.兩個相似三角形對應中線的比為1∶4，則相似比為________，對應高的比為_________.【探究】（師生互動）定理2：兩個相似三角形的周長比等于相似比.已知：如下圖，△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k.求證：△ABC，△A′B′C′的周長比等于k.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴＝k，即△ABC，△A′B′C′的周長比等于相似比.定理3：兩個相似三角形的面積比等于相似比的平方.如上圖，△ABC∽△A′B′C′，且相似比為k，AD，A′D′分別是△ABC，△A′B′C′對應邊BC，B′C′上的高，求證：.證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴.【嘗試】（小組討論，教師引導）例1已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分別是△ABC和△A′B′C′的中線，且AB＝10，A′B′＝2，BD＝6.求B′D′的長.解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，，B′D′＝1.2.答：B′D′的長為1.2.例2如圖，DE∥BC，DE＝1，BC＝4，（1）△ADE與△ABC相似嗎？如果相似，求它們的相似比.（2）△ADE的周長∶△ABC的周長＝1∶4.（3）.（4）.課堂練習1.如果兩個三角形相似，相似比為3∶5，則對應角平分線的比等于______.2.相似三角形對應邊的比為2∶5，那么相似比為_______，對應角平分線的比為______，周長的比為_________，面積的比為_________.3.在△ABC中，點D，E分別在AB，AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，那么AB的長為_________.4.如圖，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上.若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，則EH的長為________.5.如圖，已知△ABC∽△DEF，BG，EH分別是△ABC和△DEF的角平分線，BC＝6cm，EF＝4cm，BG＝4.8cm.求EH的長.6.如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.參考答案1.3∶52.2∶5；2∶5；2∶5；4∶253.34.5.3.2cm6.解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE＝∠EFC，∠A＝∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE∶S△EFC＝4∶9，∴AE∶EC＝2∶3，則AE∶AC＝2∶5，