專題03模型構(gòu)建專題全等三角形中的常見解題模型（重點(diǎn)突圍）-2022-2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)專題提優(yōu)訓(xùn)練（蘇科版）

專題03模型構(gòu)建專題：全等三角形中的常見解題模型模型構(gòu)建一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題模型構(gòu)建二一線三等角模型模型構(gòu)建三三垂直模型模型構(gòu)建四倍長中線模型模型構(gòu)建一四邊形中構(gòu)造全等三角形解題例題：（2021·天津·耀華中學(xué)八年級期中）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝CB，AD＝CD．求證∠C＝∠A．【答案】見解析【解析】【分析】先連接BD，由AB＝CB、AD＝CD、BD=BD可證△ABD≌△CBD，即可證得結(jié)論．【詳解】證明：如圖：連接BD，∵在△ABD和△CBD中，∴△ABD≌△CBD，∴∠C＝∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、靈活運(yùn)用SSS證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，于點(diǎn)B，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，，．(1)若，，求四邊形AECF的面積；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，證明見解析【解析】【分析】（1）連接AC，證明△ACE≌△ACF，則S△ACE＝S△ACF，根據(jù)三角形面積公式求得S△ACF與S△ACE，根據(jù)S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根據(jù)垂直關(guān)系，以及三角形的外角性質(zhì)可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC(1)解：連接AC，如圖，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC證明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC與∠AFC互補(bǔ)，∠BEC與∠AEC互補(bǔ)，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·漳州實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級階段練習(xí)）在四邊形ABDC中，AC=AB，DC=DB，∠CAB=60°，∠CDB=120°，E是AC上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB延長線上一點(diǎn)，且CE=BF．(1)試說明：DE=DF：(2)在圖中，若G在AB上且∠EDG=60°，試猜想CE，EG，BG之間的數(shù)量關(guān)系并證明所歸納結(jié)論．(3)若題中條件“∠CAB=60°，∠CDB=120°改為∠CAB=α，∠CDB=180°﹣α，G在AB上，∠EDG滿足什么條件時，（2）中結(jié)論仍然成立？【答案】(1)見解析；(2)CE+BG=EG，理由見解析；(3)當(dāng)∠EDG=90°α?xí)r，（2）中結(jié)論仍然成立．【解析】【分析】（1）首先判斷出，然后根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出．（2）猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．首先根據(jù)全等三角形判定的方法，判斷出，即可判斷出；然后根據(jù)，可得，，再根據(jù)，判斷出，據(jù)此推得，所以，最后根據(jù)，判斷出即可．（3）根據(jù)（2）的證明過程，要使仍然成立，則，即，據(jù)此解答即可．(1)證明：，，，，又，，在和中，，．(2)解：如圖，連接，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系為：．證明：在和中，，，，又，，，由（1），可得，，，即，，在和中，，，又，，；(3)解：要使仍然成立，則，即，當(dāng)時，仍然成立．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，此題是一道綜合性比較強(qiáng)的題目，有一定的難度，能根據(jù)題意推出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．模型構(gòu)建二一線三等角模型例題：（2022·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B、C重合），連接AD，作，DE交線段AC于E．(1)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，逐漸變__________（填“大”或“小”），但與的度數(shù)和始終是__________度．(2)當(dāng)DC的長度是多少時，，并說明理由．【答案】(1)??；140(2)當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由見解析【解析】【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)DC=2時，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．(1)在△ABD中，∠B+∠BAD+∠ADB=180°，設(shè)∠BAD=x°，∠BDA=y°，∴40°+x+y=180°，∴y=140x（0＜x＜100），當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B向C運(yùn)動時，x增大，∴y減小，+=180°故答案為：小，140；(2)當(dāng)DC=2時，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，又∵AB=DC=2，在△ABD和△DCE中，∴△ABD≌△DCE（AAS）；【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)的理解和掌握，三角形的內(nèi)角和公式，解本題的關(guān)鍵是分類討論．【變式訓(xùn)練】1．（2022·全國·八年級）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC上一點(diǎn)，CD＝AB，點(diǎn)E在邊AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．(1)如圖1，求證：BD＝CE；(2)如圖2，若DE平分∠ADC，在不添加輔助線的情況下，請直接寫出圖中所有與∠ADE相等的角（∠ADE除外）．【答案】(1)見解析(2)∠EDC，∠BAD，∠B，∠C【解析】【分析】（1）由“SAS”可證△ABD≌△DCE，可得BD=CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得∠B=∠C，由三角形的外角性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可求解．(1)證明：在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE．(2)解：∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴與∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的定義，掌握全等三角形的判定，明確角度的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動（D不與B，C重合），連接AD，作∠ADE＝40°，DE交線段AC于E．（1）當(dāng)∠BDE＝115°時，∠BAD＝°，點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，∠BAD逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)DC等于多少時，△ABD≌△DCE，請說明理由；（3）在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中，△ADE的形狀也在改變，判斷當(dāng)∠BAD等于多少時，△ADE是等腰三角形．【答案】（1），大；（2）；（3）或．【解析】【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和計算即可求出∠BAD，由點(diǎn)的運(yùn)動方式即可得出∠BAD逐漸變大；（2）先求出，再由，，即可得出；（3）分兩種情況或討論即可．【詳解】解：（1），∠ADE＝40°,，，當(dāng)點(diǎn)D從B向C運(yùn)動時，∠BAD逐漸變大．故答案為：，大；（2）當(dāng)時，≌，理由如下：∵AB＝AC＝2，∠B＝40°，，又=，，在和中，，；（3）當(dāng)?shù)枚葦?shù)為或時，是等腰三角形．理由如下：∵，∴，，，為等腰三角形時，只能是或，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，，綜上所述，當(dāng)?shù)枚葦?shù)為或時，是等腰三角形．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識點(diǎn)，此題涉及到的知識點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)．3．（2021·山東·肥城市汶陽鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）已知：是經(jīng)過的頂點(diǎn)C的一條直線，．E、F是直線上兩點(diǎn)，．（1）若直線經(jīng)過的內(nèi)部，．①如圖1，，，直接寫出，，間的等量關(guān)系：__________．②如圖2，與具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，能使①中的結(jié)論仍然成立？寫出與的數(shù)量關(guān)系，并對結(jié)論進(jìn)行證明；（2）如圖3，若直線經(jīng)過的外部，，①中的結(jié)論是否成立？若成立，進(jìn)行證明；若不成立，寫出新結(jié)論并進(jìn)行證明．【答案】（1）①；②，證明見解析；（2）不成立，，理由見解析【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意，推導(dǎo)得，通過證明，得，，結(jié)合，即可得到答案；②結(jié)合題意，根據(jù)三角形內(nèi)角和性質(zhì)，推導(dǎo)得，通過證明，即可完成證明；（2）根據(jù)題意，結(jié)合三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，推導(dǎo)得，通過證明，得，；根據(jù)，即可得到答案．【詳解】（1）①∵，∴,∴∴∴∴，∵∴；②滿足，理由如下：∵，∴∴∴∵，，∴∴，∵，∴（2）不成立，，理由如下：∵，，∴∴∵，，∴∴，∵，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和、余角、全等三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形內(nèi)角和、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．4．（2022·河南鄭州·七年級期末）在直線上依次取互不重合的三個點(diǎn)，在直線上方有，且滿足．(1)如圖1，當(dāng)時，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如圖2，當(dāng)時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖3，在中，是鈍角，，，直線與的延長線交于點(diǎn)，若，的面積是12，求與的面積之和．【答案】(1)DE＝BD+CE(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由見解析(3)△FBD與△ACE的面積之和為4【解析】【分析】（1）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（2）由∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α得到∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，進(jìn)而得到∠DBA＝∠EAC，然后結(jié)合AB＝AC得證△DBA≌△EAC，最后得到DE＝BD+CE；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS證得△ADB≌△CAE，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的兩個三角形的面積之比等于底的比，得出S△ABF即可得出結(jié)果．(1)解：DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．(2)DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；(3)解：∵∠BAD＜∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴S△ABD＝S△CAE，設(shè)△ABC的底邊BC上的高為h，則△ABF的底邊BF上的高為h，∴S△ABC＝BC?h＝12，S△ABF＝BF?h，∵BC＝3BF，∴S△ABF＝4，∵S△ABF＝S△BDF+S△ABD＝S△FBD+S△ACE＝4，∴△FBD與△ACE的面積之和為4．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．模型構(gòu)建三三垂直模型例題：（2021·福建·武夷山市第二中學(xué)八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D．（1）求證：△BCE≌△CAD；（2）若AD=12，BE=5，求ED的長．【答案】（1）見解析；（2）ED的長為7．【解析】【分析】（1）根據(jù)AAS證明三角形全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD=CE=12，CD=BE=5，從而求得ED的長．【詳解】解：（1）證明：∵BE⊥CE于點(diǎn)E，AD⊥CE于點(diǎn)D，∴∠CEB=∠ADC=90°，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵AC=BC，∴≌；（2）由（1）知，≌，∴BE=CD，CE=AD，∵AD=12，BE=5，∴CE=12，CD=5，∴ED=CE－CD=12－5=7．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定及性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東佛山·七年級階段練習(xí)）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經(jīng)過點(diǎn)A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．【答案】(1)90°(2)見解析(3)CD=BE+DE，證明見解析【解析】【分析】（1）由∠BAC=90°可直接得到90°；（2）由CD⊥MN，BE⊥MN，得∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠DCA=∠EAB，根據(jù)AAS可證△DCA≌△EAB，所以AD=CE，DC=BE，即可得到DE=EA+AD=DC+BE．（3）同（2）易證△DCA≌△EAB，得到AD=CE，DC=BE，由圖可知AE=AD+DE，所以CD=BE+DE．(1)∵∠BAC=90°∴∠EAB+∠DAC=180°∠BAC=180°90°=90°故答案為：90°．(2)證明：∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵

∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且EA=DC由圖可知：DE=EA+AD=DC+BE．(3)∵CD⊥MN于D，BE⊥MN于E∴∠ADC=∠BEA=∠BAC=90°

∵∠DAC+∠DCA=90°且∠DAC+∠EAB=90°∴∠DCA=∠EAB

∵在△DCA和△EAB中∴△DCA≌△EAB(AAS)∴AD=BE且AE=CD由圖可知：AE=AD+DE∴CD=BE+DE．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，求證：DE＝AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不寫證明過程）；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系（不寫證明過程）．【答案】(1)證明見詳解(2)DE+BE=AD．理由見詳解(3)DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．理由見詳解.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由垂直得∠ADC=∠BEC=90°，由同角的余角相等得：∠DAC=∠BCE，因此根據(jù)AAS可以證明△ADC≌△CEB，結(jié)合全等三角形的對應(yīng)邊相等證得結(jié)論；（2）由題意根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推知△ACD≌△CBE，然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等、圖形中線段間的和差關(guān)系以及等量代換證得DE+BE=AD；（3）由題意可知DE、AD、BE具有的等量關(guān)系為：DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．證明的方法與（2）相同．(1)證明：如圖1，∵AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∴∠DAC=∠BCE，在△ADC和△CEB中，∵，∴△ADC≌△CEB；∴DC=BE，AD=EC，∵DE=DC+EC，∴DE=BE+AD．(2)解：DE+BE=AD．理由如下：如圖2，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°．又∵AD⊥MN于點(diǎn)D，∴∠ACD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BCE．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴CD=BE，AD=CE，∴DE+BE=DE+CD=EC=AD，即DE+BE=AD．(3)解：DE=BEAD（或AD=BEDE，BE=AD+DE等）．理由如下：如圖3，易證得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CDCE=BEAD，即DE=BEAD．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查等腰直角三角形和全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的四種判定方法是關(guān)鍵：SSS、SAS、AAS、ASA；在證明線段的和與差時，利用全等三角形將線段轉(zhuǎn)化到同一條直線上得出結(jié)論．3．（2021·湖北隨州·八年級期中）如圖（1）AB＝9cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝7cm，點(diǎn)P在線段AB上以2cm/s的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段BD上由點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動，它們運(yùn)動的時間為t（s）．（1）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，當(dāng)t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，請說明理由；（2）在（1）的前提條件下，判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，并證明；（3）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”為改“∠CAB＝∠DBA＝50°”，其他條件不變．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為xcm/s，是否存在實(shí)數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）△ACP與△BPQ全等，理由見解析；（2）PC⊥PQ，證明見解析；（3）存在，當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．【解析】【分析】（1）利用定理證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷線段和線段的位置關(guān)系；（3）分，兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計算．【詳解】（1）△ACP與△BPQ全等，理由如下：當(dāng)t＝1時，AP＝BQ＝2，則BP＝9﹣2＝7，∴BP＝AC，又∵∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；（2）PC⊥PQ，證明：∵△ACP≌△BPQ，∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直；（3）①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，∴9﹣2t＝7，解得，t＝1（s），則x＝2（cm/s）；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則2t＝×9，解得，t＝（s），則x＝7÷＝（cm/s），故當(dāng)t＝1s，x＝2cm/s或t＝s，x＝cm/s時，△ACP與△BPQ全等．【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、注意分類討論思想的靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．4．（2021·北京·東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽學(xué)校八年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線l經(jīng)過頂點(diǎn)C，過A、B兩點(diǎn)分別作l的垂線AE、BF，E、F為垂足．（1）當(dāng)直線l不與底邊AB相交時，①求證：∠EAC＝∠BCF．②猜想EF、AE、BF的數(shù)量關(guān)系并證明．（2）將直線l繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，使l與底邊AB交于點(diǎn)D（D不與AB點(diǎn)重合），請你探究直線l，EF、AE、BF之間的關(guān)系．（直接寫出）【答案】（1）①證明見解析，②EF＝AE+BF；證明見解析；（2）AE＝BF+EF或BF＝AE+EF．【解析】【分析】（1）①根據(jù)∠AEC＝∠BFC＝90°，利用同角的余角相等證明∠EAC＝∠FCB即可；②根據(jù)AAS證△EAC≌△FCB，推出CE＝BF，AE＝CF即可；（2）類比（1）證得對應(yīng)的兩個三角形全等，求出線段之間的關(guān)系即可．【詳解】（1）證明：①∵AE⊥EF，BF⊥EF，∠ACB＝90°，∴∠AEC＝∠BFC＝∠ACB＝90°，∴∠EAC+∠ECA＝90°，∠ECA+∠FCB＝90°，∴∠EAC＝∠FCB，②EF＝AE+BF；證明：在△EAC和△FCB中，，∴△EAC≌△FCB（AAS），∴CE＝BF，AE＝CF，∴EF＝CE+CF＝AE+BF，即EF＝AE+BF；（2）①當(dāng)AD＞BD時，如圖①，∵∠ACB＝90°，AE⊥l直線，同理可證∠BCF＝∠CAE（同為∠ACD的余角），又∵AC＝BC，BF⊥l直線即∠BFC＝∠AEC＝90°，∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，CE＝BF，∵CF＝CE+EF＝BF+EF，∴AE＝BF+EF；②當(dāng)AD＜BD時，如圖②，∵∠ACB＝90°，BF⊥l直線，同理可證∠CBF＝∠ACE（同為∠BCD的余角），又∵AC＝BC，BE⊥l直線，即∠AEC＝∠BFC＝90°．∴△ACE≌△CBF（AAS），∴CF＝AE，BF＝CE，∵CE＝CF+EF＝AE+EF，∴BF＝AE+EF．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，主要涉及到了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是證明△ACE≌△CBF（AAS），利用全等三角形的性質(zhì)得出線段之間的關(guān)系．模型構(gòu)建四倍長中線模型例題：（2022·全國·八年級課時練習(xí)）在△ABC中，AB=5，BC邊上的中線AD=4，則AC的長m的取值范圍是_______．【答案】3＜m＜13【解析】【分析】延長AD至E，使DE=AD=4，連接CE，利用SAS證明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根據(jù)三角形的三邊的關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長AD至E，使DE=AD=4，連接CE，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ADB和△CDE中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，在△ACE中，AECE＜AC＜AE+CE，∵CE=AB=5，AE=8，∴85＜AC＜8+5，∴3＜AC＜13，∴3＜m＜13．故答案為：3＜m＜13．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用已知條件構(gòu)造全等三角形，然后利用三角形的三邊的關(guān)系解決問題．【變式訓(xùn)練】1．（2021·江蘇·徐州市第二十六中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC中BC邊上的中線，若AB＝6，AC＝8，則AD的取值范圍是________________．【答案】1＜AD＜7【解析】【分析】延長AD到E，使DE=AD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△ECD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CE=AB，然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出AE的取值范圍，然后即可得解．【詳解】解：如圖，延長AD到E，使DE=AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中,，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴CE=AB，∵AB=6，AC=8，∴86<AE<8+6，即2<2AD<14，∴1<AD<7，故答案為：1<AD<7．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)，遇中點(diǎn)加倍延，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）已知：多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式．(1)求a，b的值；(2)△ABC的兩邊BC，AC的長分別是a，b，求第三邊AB上的中線CD的取值范圍．【答案】(1)，(2)2<CD<8【解析】【分析】（1）把展開，然后根據(jù)多項(xiàng)式x2+4x+5可以寫成（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，可得，即可求解；（2）延長CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，可得△CDB≌△HAD，從而得到BC=AH=a=6，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．(1)解：∵，根據(jù)題意得：x2+4x+5=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b∴，解得：；(2)解：如圖，延長CD至點(diǎn)H，使CD=DH，連接AH，∵CD是AB邊上的中線，∴BD=AD，在△CDB和△HDA中，∵CD=DH，∠CDB=∠ADH，BD=DA，∴△CDB≌△HDA（SAS），∴BC=AH=a=6，在△ACH中，ACAH<CH<AC+AH，∴106<2CD<10+6，∴2<CD<8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法和二元一次方程組的應(yīng)用，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，整式乘法法則，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級課時練習(xí)）某數(shù)學(xué)興趣小組在活動時，老師提出了這樣一個問題：如圖，在中，AB＝6，AC＝8，D是BC的中點(diǎn)，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE＝AD，請補(bǔ)充完整證明“△ABD≌△ECD”的推理過程．(1)求證：△ABD≌△ECD證明：延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（）CD＝（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（）(2)由（1）的結(jié)論，根據(jù)AD與AE之間的關(guān)系，探究得出AD的取值范圍是；(3)【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”等字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集合到同一個三角形中．【問題解決】如下圖，中，，，AD是的中線，，，且，求AE的長．【答案】(1)對頂角相等；BD；SAS(2)(3)【解析】【分析】（1）延長AD到點(diǎn)E，使DE=AD，根據(jù)SAS定理證明△ABD≌△ECD；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系計算；（3）延長AD交EC的延長線于F，證明△ABD≌△FCD，△ADE≌△FDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答．(1)延長AD到點(diǎn)E，使DE＝AD在△ABD和△ECD中∵AD＝ED（已作）∠ADB＝∠EDC（對頂角相等）CD＝BD（中點(diǎn)定義）∴△ABD≌△ECD（SAS）故答案為：對頂角相等；BD；SAS(2)∵△ABD≌△ECD，AB＝6，AC＝8，，，，故答案為；(3)延長AD交EC的延長線于F，，，，在和中，，≌，，，又∵∠FDE＝∠ADE＝90°ED＝ED∴△ADE≌△FDE，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系定理和全等三角形的性質(zhì)和判定，解題關(guān)鍵是熟記全等三角形的判定條件．4．（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）①見解析；②；（3）MN=2BD，理由見解析【解析】【分析】（1）①只需要利用SAS證明△CED≌△ABD即可；②根據(jù)△CED≌△ABD可得AB=CE，由三角形三邊的關(guān)系可得即則，再由，可得；（2），延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB，得到∠DAE=∠DCB，AE=CB，然后證明∠BAE=∠MBN，則可證△BAE≌△MBN得到MN=BE，再由BE=BD+ED=2BD，可得MN=2BD．【詳解】解：（1）①∵BD是三角形ABC的中線，∴AD=CD，又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，∴△CED≌△ABD（SAS）；②∵△CED≌△ABD，∴AB=CE，∵，∴即，又∵，∴；故答案為：；（2）MN=2BD，理由如下：如圖所示，延長BD到E使得DE=BD，同（1）原理可證△ADE≌△CDB（SAS），∴∠DAE=∠DC