2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3函數(shù)的奇偶性課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE函數(shù)的奇偶性一、復(fù)習(xí)鞏固1．奇函數(shù)y＝f(x)(x∈R)的圖像必定經(jīng)過(guò)點(diǎn)()A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))C．(－a，－f(a)) D．(a，f(eq\f(1,a)))答案：C2．已知函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，其圖像與x軸有四個(gè)交點(diǎn)，則方程f(x)＝0的全部實(shí)根之和是()A．4 B．2C．1 D．0答案：D3．下列說(shuō)法正確的是()A．假如一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)B．假如一個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)，則它的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．假如一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為偶函數(shù)D．假如一個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)答案：B4．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2 B．0C．1 D．2解析：∵f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.答案：A5．下列函數(shù)中，偶函數(shù)是()A．f(x)＝|x＋1|B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝x3D．f(x)＝|x－1|＋|x＋1|解析：由偶函數(shù)定義知f(x)＝|x－1|＋|x＋1|是偶函數(shù)．答案：D6．函數(shù)f(x)＝eq\f(x,1＋|x|)的圖像()A．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于y＝－x對(duì)稱(chēng)解析：f(－x)＝eq\f(－x,1＋|－x|)＝eq\f(－x,1＋|x|)＝－f(x)，所以f(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．答案：B7．已知f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x(1－x)，則x<0時(shí)，f(x)等于()A．－x(1＋x) B．x(1＋x)C．－x(1－x) D．x(1－x)解析：設(shè)x<0，則－x>0，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)(1＋x)]＝x(1＋x)．答案：B8．下面四個(gè)命題：①偶函數(shù)的圖像肯定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖像肯定通過(guò)原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)肯定是f(x)＝0(x∈R)．其中正確命題有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，但不肯定與y軸相交，如y＝eq\f(1,x2)，故①錯(cuò)誤，③正確．奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，但不肯定經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，如y＝eq\f(1,x)，故②錯(cuò)誤．若y＝f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)＝0，但未必x∈R，如f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)，其定義域?yàn)閧－1,1}，故④錯(cuò)誤．故選A.答案：A9．若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上的最小值是5，那么f(x)在區(qū)間[－7，－3]上有()A．最小值5 B．最小值－5C．最大值－5 D．最大值5解析：當(dāng)3≤x≤7時(shí)，f(x)≥5，設(shè)－7≤x≤－3，則3≤－x≤7，又∵f(x)是奇函數(shù)．∴f(x)＝－f(－x)≤－5.答案：C10．已知f(x)是奇函數(shù)，F(xiàn)(x)＝x2＋f(x)，f(2)＝4，則F(－2)＝________.解析：∵f(x)是奇函數(shù)且f(2)＝4，∴f(－2)＝－f(2)＝－4.∴F(－2)＝f(－2)＋(－2)2＝－4＋4＝0.答案：0二、綜合應(yīng)用11．y＝x＋eq\f(1,x)的大致圖像是()解析：設(shè)f(x)＝x＋eq\f(1,x)，則f(－x)＝(－x)＋eq\f(1,－x)＝－(x＋eq\f(1,x))＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又x>0時(shí)，x>0，eq\f(1,x)>0，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)>0.答案：B12．設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x＋b(b為常數(shù))，則f(－1)＝()A．3 B．1C．－1 D．－3解析：因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1，所以當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝2x＋2x－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.答案：D13．已知f(x)是實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小關(guān)系是________．解析：本題是利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小．當(dāng)自變量的值不在同一區(qū)間上時(shí)，利用函數(shù)的奇偶性，化到同一單調(diào)區(qū)間上比較其大?。?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又因?yàn)閒(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，2＜3＜π，所以f(2)＜f(3)＜f(π)，所以f(－2)＜f(3)＜f(－π)．答案：f(－2)＜f(3)＜f(－π)14．已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．解析：∵f(x)是偶函數(shù)，∴圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，則f(x)的大致圖像如圖所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.答案：(－1,3)15．已知函數(shù)f(x)和g(x)滿(mǎn)意f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)為R上的奇函數(shù)，f(－1)＝8，求f(1解析：∵f(－1)＝2g(－1)∴g(－1)＝eq\f(7,2)，又∵g(x)為奇函數(shù)，∴g(－1)＝－g(1)．∴g(1)＝－g(－1)＝－eq\f(7,2)，∴f(1)＝2g(1)＋1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)))＋1＝－6.16．已知函數(shù)f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.(1)試推斷f(x)的奇偶性；(2)若－eq\f(1,2)≤a≤eq\f(1,2)，求f(x)的最小值．解析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝f(x)，此時(shí)，f(x)為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)＝a2＋1，f(－a)＝a2＋2|a|＋1，f(a)≠f(－a)，f(a)≠－f(－a)，此時(shí)，f(x)為非奇非偶函數(shù)．(2)當(dāng)x≤a時(shí)，f(x)＝x2－x＋a＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋a＋eq\f(3,4)；∵a≤eq\f(1,2)，故函數(shù)f(x)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在(－∞，a]上的最小值為f(a)＝a2＋1.當(dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋x－a＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co