新課程2024高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第1講隨機(jī)抽樣學(xué)案含解析

PAGE第九章統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例第1講隨機(jī)抽樣[考綱解讀]1.理解隨機(jī)抽樣的必要性和重要性，會(huì)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣方法從總體中抽取樣本.2.了解分層抽樣的意義，能利用分層抽樣解決實(shí)際問(wèn)題．(重點(diǎn))[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來(lái)看，本講內(nèi)容為高考中的冷考點(diǎn)．預(yù)料2024年高考對(duì)本講將會(huì)以實(shí)際應(yīng)用為背景命題考查分層抽樣，同時(shí)也可能與統(tǒng)計(jì)相結(jié)合命題．試題以客觀題的形式呈現(xiàn)，難度不大，以中、低檔題目為主.1．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣(1)定義：設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)eq\o(□,\s\up3(01))不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N)，假如每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都eq\o(□,\s\up3(02))相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．(2)最常用的簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的方法：eq\o(□,\s\up3(03))抽簽法和eq\o(□,\s\up3(04))隨機(jī)數(shù)表法．2．分層抽樣(1)定義：在抽樣時(shí)，將總體分成eq\o(□,\s\up3(01))互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法叫做分層抽樣．(2)應(yīng)用范圍：當(dāng)總體是由eq\o(□,\s\up3(02))差異明顯的幾個(gè)部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣．注：兩種抽樣方法的比較類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是不放回抽樣，抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)(概率)相等從總體中逐個(gè)抽取—總體中的個(gè)數(shù)較少分層抽樣將總體分成幾層，分層進(jìn)行抽取,各層抽樣時(shí)采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成1．概念辨析(1)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣是一種不放回抽樣．()(2)簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)不一樣，與先后有關(guān)．()(3)在抽簽法中，先抽的人抽中的可能性大．()(4)在分層抽樣的過(guò)程中，哪一層的樣本越多，該層中個(gè)體被抽到的可能性越大．()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．小題熱身(1)在“世界讀書(shū)日”前夕，為了了解某地5000名居民某天的閱讀時(shí)間，從中抽取了200名居民的閱讀時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，在這個(gè)問(wèn)題中，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是()A．總體B．個(gè)體C．樣本容量D．從總體中抽取的一個(gè)樣本答案A解析從5000名居民某天的閱讀時(shí)間中抽取200名居民的閱讀時(shí)間，樣本容量是200，抽取的200名居民的閱讀時(shí)間是一個(gè)樣本，每名居民的閱讀時(shí)間就是一個(gè)個(gè)體，5000名居民的閱讀時(shí)間的全體是總體．(2)對(duì)一個(gè)容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當(dāng)選用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和分層抽樣兩種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為p1，p2，則()A．p1<p2B．p1>p2C．p1＝p2D．以上均有可能答案C解析因?yàn)橛煤?jiǎn)潔隨機(jī)抽樣和分層抽樣抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率相等．故選C.(3)一個(gè)總體分為A，B兩層，用分層抽樣方法從總體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中的個(gè)體數(shù)為()A．40B．60C．80D．120答案D解析因?yàn)橛梅謱映闃臃椒◤目傮w中抽取一個(gè)容量為10的樣本．由B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，知道在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率是eq\f(1,12)，所以總體中的個(gè)體數(shù)為10÷eq\f(1,12)＝120.故選D.(4)某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件．為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從以上全部的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn)，則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取________件．答案18解析由題意，知應(yīng)從丙型產(chǎn)品中抽取60×eq\f(300,200＋400＋300＋100)＝60×eq\f(3,10)＝18(件)．題型一簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣1．下列抽樣檢驗(yàn)中，適合用抽簽法的是()A．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取600件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)B．從某廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)C．從甲、乙兩廠生產(chǎn)的兩箱(每箱18件)產(chǎn)品中抽取6件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D．從某廠生產(chǎn)的5000件產(chǎn)品中抽取10件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)答案B解析A，D中總體的個(gè)體數(shù)較多，不相宜用抽簽法，C中，一般甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量有區(qū)分，也不相宜用抽簽法．故選B.2．利用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，從n個(gè)個(gè)體中抽取一個(gè)容量為10的樣本．若其次次抽取時(shí)，余下的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(1,3)，則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,14)D.eq\f(10,27)答案C解析依據(jù)題意，eq\f(9,n－1)＝eq\f(1,3)，解得n＝28.故在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(10,28)＝eq\f(5,14).3．(2024·衡水二模)某工廠利用隨機(jī)數(shù)表對(duì)生產(chǎn)的600個(gè)零件進(jìn)行抽樣測(cè)試，先將600個(gè)零件進(jìn)行編號(hào)，編號(hào)分別為001,002，…，599,600，從中抽取60個(gè)樣本，如下供應(yīng)的是隨機(jī)數(shù)表的第4行到第6行：322118342978645407325242064438122343567735789056428442125331345786073625300732862345788907236896080432567808436789535577348994837522535578324577892345若從表中第6行第6列起先向右依次讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個(gè)樣本編號(hào)是________．答案578解析從第6行第6列的數(shù)起先，滿意條件的6個(gè)編號(hào)依次為436,535,577,348,522,578，則第6個(gè)編號(hào)為578.1.簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)(1)抽取的個(gè)體數(shù)較少．(2)是逐個(gè)抽取．(3)是不放回抽?。?4)是等可能抽取．只有四個(gè)特點(diǎn)都滿意的抽樣才是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣.2.抽簽法與隨機(jī)數(shù)表法的適用狀況(1)抽簽法適用于總體中個(gè)體數(shù)較少的狀況，隨機(jī)數(shù)表法適用于總體中個(gè)體數(shù)較多的狀況.(2)一個(gè)抽樣試驗(yàn)?zāi)芊裼贸楹灧ǎP(guān)鍵看兩點(diǎn)：一是抽簽是否便利；二是號(hào)簽是否易攪勻.1.(2024·金版原創(chuàng))(多選)下列抽取樣本的方式不屬于簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣的是()A.從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取100個(gè)個(gè)體作為樣本B.盒子里共有80個(gè)零件，從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)．在抽樣操作時(shí)，從中隨意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里C.從20件玩具中一次性抽取3件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)D.某班有56名同學(xué)，指定個(gè)子最高的5名同學(xué)參與學(xué)校組織的籃球賽答案ABCD解析A項(xiàng)不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)楸怀槿颖镜目傮w的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，而不是有限的；B項(xiàng)也不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗怯蟹呕氐某闃?；C項(xiàng)也不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)樗恰耙淮涡浴背槿?，而不是“逐個(gè)”抽取；D項(xiàng)也不是簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，因?yàn)橹付▊€(gè)子最高的5名同學(xué)是56名同學(xué)中特指的，不具有隨機(jī)性，不是等可能的抽樣．故選ABCD.2.總體由編號(hào)為01,02，…，19,20的20個(gè)個(gè)體組成．利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列數(shù)字起先由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來(lái)的第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為()7816 6572 0802 6314 0701 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08B．07C．02D．01答案D解析選出的5個(gè)個(gè)體的編號(hào)依次是08,02,14,07,01.故選D.題型二分層抽樣角度1求總體容量或樣本容量1.交通管理部門為了解機(jī)動(dòng)車駕駛員(簡(jiǎn)稱駕駛員)對(duì)某新法規(guī)的知曉狀況，對(duì)甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)做分層抽樣調(diào)查．假設(shè)四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個(gè)社區(qū)抽取駕駛員的人數(shù)分別為12,21,25,43，則這四個(gè)社區(qū)駕駛員的總?cè)藬?shù)N為()A.101B．808C．1212D．2012答案B解析甲社區(qū)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為eq\f(12,96)＝eq\f(1,8)，樣本容量為12＋21＋25＋43＝101，所以四個(gè)社區(qū)中駕駛員的總?cè)藬?shù)N＝eq\f(101,\f(1,8))＝808.2.(2024·安徽六校教化探討會(huì)聯(lián)考)某工廠生產(chǎn)的A，B，C三種不同型號(hào)的產(chǎn)品的數(shù)量之比為2∶3∶5，為探討這三種產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該工廠生產(chǎn)的A，B，C三種產(chǎn)品中抽出樣本容量為n的樣本，若樣本中A型產(chǎn)品有10件，則n的值為()A.15B．25C．50D．60答案C解析解法一：某工廠生產(chǎn)的A，B，C三種不同型號(hào)產(chǎn)品的數(shù)量之比為2∶3∶5，用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為n的樣本，則A型產(chǎn)品被抽取的抽樣比為eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5).因?yàn)锳產(chǎn)品有10件，所以n＝eq\f(10,\f(1,5))＝50.故選C.解法二：由題意，得eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(10,n)，解得n＝50.故選C.角度2求每層中的樣本數(shù)量3.分層抽樣是將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，組成一個(gè)樣本的抽樣方法．在《九章算術(shù)》第三章“衰分”中有如下問(wèn)題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關(guān)，關(guān)稅百錢，欲以錢多少衰出之，問(wèn)各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關(guān)，關(guān)稅共100錢，要依據(jù)各人帶錢多少的比例進(jìn)行交稅，問(wèn)三人各應(yīng)付多少稅？則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.甲應(yīng)付51eq\f(41,109)錢B.乙應(yīng)付32eq\f(24,109)錢C.丙應(yīng)付16eq\f(56,109)錢D.三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少答案B解析依題意由分層抽樣可知，100÷(560＋350＋180)＝eq\f(10,109)，則甲應(yīng)付：eq\f(10,109)×560＝51eq\f(41,109)(錢)；乙應(yīng)付：eq\f(10,109)×350＝32eq\f(12,109)(錢)；丙應(yīng)付：eq\f(10,109)×180＝16eq\f(56,109)(錢).分層抽樣問(wèn)題類型及解題思路(1)求某層應(yīng)抽個(gè)體數(shù)量：按該層所占總體的比例計(jì)算.(2)已知某層個(gè)體數(shù)量，求總體容量或反之：依據(jù)分層抽樣就是按比例抽樣，列比例式進(jìn)行計(jì)算.(3)分層抽樣的計(jì)算應(yīng)依據(jù)抽樣比構(gòu)造方程求解，其中“抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)＝eq\f(各層樣本數(shù)量,各層個(gè)體數(shù)量)”.提示：分層抽樣時(shí)，每層抽取的個(gè)體可以不一樣多，但必需滿意抽取ni＝n·eq\f(Ni,N)(i＝1,2，…，k)個(gè)個(gè)體(其中i是層數(shù)，n是抽取的樣本容量，Ni是第i層中個(gè)體的個(gè)數(shù)，N是總體容量).1.一個(gè)總體分為A，B，C三層，用分層抽樣的方法從總體中抽取一個(gè)容量為50的樣本，已知B層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都為eq\f(1,12)，則總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)為()A.150B．200C．500D．600答案D解析運(yùn)用分層抽樣的方法，在不同層中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等，都等于eq\f(樣本容量,總體容量).設(shè)總體中個(gè)體的個(gè)數(shù)為N，則eq\f(50,N)＝eq\f(1,12).解得N＝600.故選D.2.某校共有老師200人，男學(xué)生800人，女學(xué)生600人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全部師生中抽取一個(gè)容量為n的樣本，已知從男學(xué)生中抽取的人數(shù)為100，那么n＝()A.200B．300C．400D．500答案A解析每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于eq\f(100,800)＝eq\f(1,8)，應(yīng)抽取的老師人數(shù)為200×eq\f(1,8)＝25，應(yīng)抽取的女學(xué)生人數(shù)為600×eq\f(1,8)＝75，故樣本容量n＝25＋75＋100＝200.3．(2024·河北衡水中學(xué)模擬)隨著時(shí)代的發(fā)展，移動(dòng)通訊技術(shù)的進(jìn)步，各種智