2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章推理與證明4反證法課后鞏固提升含解析北師大版選修1-2_第1頁
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文檔簡介

PAGE4反證法[A組基礎(chǔ)鞏固]1.命題“關(guān)于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的”的結(jié)論的否定是()A.無解 B.兩解C.至少兩解 D.無解或至少兩解解析:解是唯一的否定應(yīng)為“無解或至少兩解”.答案:D2.有下列敘述:①“a>b”的反面是“a<b”;②“x=y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”;③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”;④“三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角沒有鈍角”.其中正確的敘述有()A.0個 B.1個C.2個 D.3個解析:①錯,應(yīng)為a≤b;②對;③錯,應(yīng)為“三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上”;④錯,應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個或2個以上的鈍角.答案:B3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至多有一個鈍角”時,反設(shè)正確的是()A.三個內(nèi)角中至少有一個鈍角B.三個內(nèi)角中至少有兩個鈍角C.三個內(nèi)角都不是鈍角D.三個內(nèi)角都不是鈍角或至少有兩個鈍角解析:“至多有一個”即要么一個都沒有,要么有一個,故反設(shè)為“至少有兩個”.答案:B4.用反證法證明命題:“a、b∈N,ab可被5整除,那么a,b中至少有一個能被5整除”時,假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為()A.a(chǎn),b都能被5整除B.a(chǎn),b都不能被5整除C.a(chǎn),b不都能被5整除D.a(chǎn)不能被5整除解析:“至少有一個”的否定是“一個也沒有”,即“a,b都不能被5整除”.答案:B5.用反證法證明命題:“設(shè)a,b為實數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設(shè)是()A.方程x3+ax+b=0沒有實根B.方程x3+ax+b=0至多有一個實數(shù)C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根解析:方程x3+ax+b=0至少有一個實根的反面是方程x3+ax+b=0沒有實根,故應(yīng)選A.答案:A6.“任何三角形的外角都至少有兩個鈍角”的否定應(yīng)是________________________________________________________________________.解析:“任何三角形”的否定是“存在一個三角形”,“至少有兩個”的否定是“最多有一個”.答案:存在一個三角形,其外角最多有一個鈍角7.用反證法證明命題“若x2-(a+b)x+ab≠0,則x≠a且x≠b”時,應(yīng)假設(shè)為________.解析:對“且”的否定應(yīng)為“或”,所以“x≠a且x≠b”的否定應(yīng)為“x=a或x=b”.答案:x=a或x=b8.將“函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]上至少存在一個實數(shù)c,使f(c)>0”反設(shè),所得命題為________________.解析:“至少存在”的反面為“不存在”.“不存在c,使f(c)>0”即“f(x)≤0恒成立”.答案:函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在區(qū)間[-1,1]上恒有f(x)≤0.9.求證:一個三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°.證明:已知:∠A、∠B、∠C為△ABC的三個內(nèi)角.求證:∠A、∠B、∠C中至少有一個不小于60°.證明:假設(shè)△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°,即∠A<60,∠B<60°,∠C<60°,三式相加得∠A+∠B+∠C<180°.這與三角形內(nèi)角和定理沖突,∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立.∴一個三角形中,至少有一個內(nèi)角不小于60°.10.求證:拋物線上任取四點所組成的四邊形不行能是平行四邊形.證明:如圖,設(shè)拋物線方程為y2=ax(a>0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)是拋物線上不同的四點,則有yeq\o\al(2,i)=axi,xi=eq\f(y\o\al(2,i),a)(i=1,2,3,4),于是kAB=eq\f(y2-y1,x2-x1)=eq\f(y2-y1,\f(y\o\al(2,2),a)-\f(y\o\al(2,1),a))=eq\f(a,y2+y1),同理kBC=eq\f(a,y3+y2),kCD=eq\f(a,y4+y3),kDA=eq\f(a,y1+y4).假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形,則kAB=kCD,kBC=kDA,從而得y1=y(tǒng)3,y2=y(tǒng)4,進(jìn)而得x1=x3,x2=x4,于是點A,C重合,點B,D重合,這與假設(shè)A,B,C,D是拋物線上不同的四點相沖突.故四邊形ABCD不行能是平行四邊形.[B組實力提升]1.假如△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形C.△A1B1C1是鈍角三角形,△A2B2C2是銳角三角形D.△A1B1C1是銳角三角形,△A2B2C2是鈍角三角形解析:易知△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,故△A1B1C1為銳角三角形,設(shè)△A2B2C2也為銳角三角形,由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinA2=cosA1=sin\f(π,2)-A1,,sinB2=cosB1=sin\f(π,2)-B1,,sinC2=cosC1=sin\f(π,2)-C1,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(∠A2=\f(π,2)-∠A1,,∠B2=\f(π,2)-∠B1,,∠C2=\f(π,2)-∠C1,))那么∠A2+∠B2+∠C2=eq\f(π,2),這與三角形內(nèi)角和為180°沖突,所以假設(shè)不成立,所以△A2B2C2是鈍角三角形.答案:D2.已知f(x)是R上的增函數(shù),a,b∈R,下列四個命題:①若a+b≥0,則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);②若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),則a+b≥0;③若a+b<0,則f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b);④若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),則a+b<0.其中真命題個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.4解析:易知①③正確,②用反證法.假設(shè)a+b<0,則a<-b,b<-a,∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)與條件沖突,故a+b≥0,從而②為真命題,④類似于②用反證法.答案:D3.用反證法證明命題“若a2+b2=0,則a,b全為0(a,b為實數(shù))”,其反設(shè)為________.解析:“a,b全為0”即是“a=0且b=0”,因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”,即a,b不全為0.答案:a,b不全為04.用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內(nèi)角和為180°沖突,故假設(shè)錯誤.②所以一個三角形不能有兩個直角.③假設(shè)△ABC中有兩個直角,不妨設(shè)∠A=90°,∠B=90°.上述步驟的正確依次為________.解析:由反證法的一般步驟可知,正確的依次應(yīng)為③①②.答案:③①②5.a(chǎn)、b∈R,用反證法證明a2+ab與b2+ab中至少有一個因式為非負(fù)數(shù).證明:假設(shè)a2+ab與b2+ab都是負(fù)數(shù),即a2+ab<0,b2+ab<0,則a2+ab+b2+ab<0,即a2+2ab+b2<0,也就是(a+b)2<0,這與(a+b)2≥0沖突.所以假設(shè)錯誤,原結(jié)論正確.6.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數(shù),設(shè)當(dāng)x0≥1,f(x0)≥1時,有f[f(x0)]=x0,求證:f(x0)=x0.證明:假設(shè)f(x0)≠x0,則必有f(x0)>x0或f(x0)<x0.若f(x0)>x0≥

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