2024-2025學(xué)年 人教版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期中模擬試卷

2024-2025學(xué)年度人教版九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)期中模擬試題第I卷（選擇題）一、單選題（共30分）1．（本題3分）在平面直角坐標(biāo)中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．2．（本題3分）下列圖形中既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．（本題3分）某藥品經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)，每盒售價(jià)由16元降為9元，設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，則可列方程為（

）A． B．C． D．4．（本題3分）如圖，是的切線，切點(diǎn)是點(diǎn)D，直線交于點(diǎn)A、B，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．5．（本題3分）關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A．且 B．且 C．且 D．6．（本題3分）將二次函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．7．（本題3分）已知點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．8．（本題3分）如圖，在中，，，，以點(diǎn)C為圓心，長(zhǎng)為半徑的圓與交于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．（本題3分）若a，b是的根，則的值是（）A．2022 B．2023 C． D．10．（本題3分）如圖為二次函數(shù)的圖象，對(duì)稱軸是直線x=1，則下列說(shuō)法正確的有（

）①；②；③；④；⑤（常數(shù)）．A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè)第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題（共15分）11．（本題3分）拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．12．（本題3分）如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，，則的度數(shù)為．13．（本題3分）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，，將線段繞著某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度可以得到另一條線段（旋轉(zhuǎn)后A與D重合，B與C重合），則這個(gè)旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．14．（本題3分）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的取值范圍為．15．（本題3分）如圖，拋物線：與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，虛線為其對(duì)稱軸，若將拋物線向下平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線，則圖中兩個(gè)陰影部分的面積和為．三、解答題（共55分）16．（本題6分）解方程：(1)；(2)．17．（本題7分）如圖三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．(1)請(qǐng)畫出繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的．(2)請(qǐng)畫出關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（本題6分）一元二次方程主要來(lái)源于生活，其中與幾何有關(guān)的問(wèn)題較多，它是解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題的有力工具．《算學(xué)寶鑒》中記載了我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1275年提出的一個(gè)問(wèn)題：“直田積八百六十四步，之云闊不及長(zhǎng)十二步，問(wèn)長(zhǎng)闊各幾何？”譯文為：一個(gè)矩形田地的面積等于864平方步，且它的寬比長(zhǎng)少12步，問(wèn)長(zhǎng)與寬各是多少步？19．（本題7分）如圖，要利用一面墻（墻長(zhǎng)為25米）建一個(gè)矩形場(chǎng)地，用100米的圍欄圍成三個(gè)大小相同的矩形，設(shè)矩形的邊長(zhǎng)為米，矩形場(chǎng)地的總面積為平方米．

(1)請(qǐng)用含有x的式子表示y（不要求寫出x的取值范圍）；(2)當(dāng)x為何值時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米？20．（本題9分）水花消失術(shù)一直是跳水比賽的熱門話題．當(dāng)一名運(yùn)動(dòng)員在10米跳臺(tái)進(jìn)行跳水時(shí)，其身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條拋物線．如圖，這是一名運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)行路線圖，O為起跳點(diǎn)，A為入水點(diǎn)．以O(shè)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，其高度與離起跳點(diǎn)O的水平距離之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，運(yùn)動(dòng)員達(dá)到最高點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離水面的高度為．(1)求拋物線的表達(dá)式，并求該運(yùn)動(dòng)員離水面的最大高度．(2)當(dāng)運(yùn)動(dòng)員完成所有的動(dòng)作，入水時(shí)必須伸直手臂，垂直入水，使濺起的水花盡量小一些，一般情況下，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離水面高度不小于時(shí)已調(diào)整好垂直姿勢(shì)入水，則壓水花成功．當(dāng)該運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，已調(diào)整好垂直姿勢(shì)入水，問(wèn)該運(yùn)動(dòng)員是否成功壓住水花，并說(shuō)明理由．21．（本題9分）如圖，為的直徑，交于點(diǎn)C，D為上一點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至F，使，連接．(1)求證：為的切線；(2)若且，求的半徑．22．（本題11分）綜合與探究如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，連接．(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)．(2)當(dāng)?shù)拿娣e等于的面積的時(shí)，求m的值．(3)在（2）的條件下，若M為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)C，P，M，N為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：題號(hào)12345678910答案AADBCDBCBB1．A【分析】此題考查了關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，據(jù)此進(jìn)行解答即可.【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：A2．A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心．根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：．是軸對(duì)稱圖形，也是中心對(duì)稱圖形，符合題意；．不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意；．是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形，不符合題意．故選：．3．D【分析】本題主要考查了一元二次方程應(yīng)用，設(shè)該藥品平均每次降價(jià)的百分率為，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格降價(jià)前的價(jià)格降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是，第二次后的價(jià)格是，據(jù)此即可列方程求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故選：D．4．B【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理，如圖，連接，根據(jù)圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑得到，再根據(jù)圓周角定理得到，然后利用互余計(jì)算出的度數(shù)．【詳解】解：連接，如圖，是的切線，切點(diǎn)是點(diǎn)，，，，．故選：B．5．C【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式以及定義，根據(jù)一元二次方程的根的判別式以及定義求解，即可得到答案．【詳解】解：一元二次方程有實(shí)數(shù)根，，解得：，又，，的取值范圍為且，故選：C．6．D【分析】本題考查了二次函數(shù)圖象的平移．先化成頂點(diǎn)式，再根據(jù)圖象平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，可得答案．【詳解】解：化為頂點(diǎn)式為，∵將二次函數(shù)的圖象先向左平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位，∴，即．故選：D．7．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．判斷出二次函數(shù)的增減性，由此即可得．【詳解】解：∵二次函數(shù)的開(kāi)口向下，對(duì)稱軸是直線，∴當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又∵點(diǎn)，，在二次函數(shù)的圖象上，∴，故選：B．8．C【分析】此題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．過(guò)C作交于點(diǎn)M，首先根據(jù)勾股定理求出，然后利用等面積法求出，然后利用勾股定理求出，最后利用垂徑定理求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)C作交于點(diǎn)M，∵，，，∴，由垂徑定理可得M為的中點(diǎn)，∵，∴∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴（舍去負(fù)值）．∴．故選：C．9．B【分析】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系：．根據(jù)一元二次方程的解的定義得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，即可解答．【詳解】解：∵a，b是的根，∴，∴，故選：B．10．B【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，由圖象可得，，由對(duì)稱軸可得，即可判定①②；由拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，可得當(dāng)時(shí)，把和代入函數(shù)式得到即可判斷③④；當(dāng)x=1時(shí)，的值最大．此時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，可得，據(jù)此即可判斷⑤，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由圖象可得，拋物線開(kāi)口向下，與軸交于正半軸上，∴，，∵對(duì)稱軸是直線x=1∴，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；∵拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，由圖象可知，當(dāng)時(shí)，∵時(shí)，，∴，故③錯(cuò)誤；∵是拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤；當(dāng)x=1時(shí)，的值最大．此時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，∴，∴，即，故⑤正確；綜上，說(shuō)法正確的有個(gè)，故選：．11．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．12．100【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的知識(shí)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵．連接，先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再由等邊對(duì)等角的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的定理求出的度數(shù)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，∴．∵，∴．∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴．故答案為：13．【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)，掌握確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的垂直平分線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心是解題的關(guān)鍵．根據(jù)確定旋轉(zhuǎn)中心的方法：連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段的垂直平分線的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心，作出旋轉(zhuǎn)中心，由坐標(biāo)系寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)即可．【詳解】解：如圖所示，旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為．故答案為：．14．【分析】本題考查了的圖象性質(zhì)，根據(jù)，得出開(kāi)口向上，則越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，結(jié)合，得出，據(jù)此即可作答．【詳解】解：∵二次函數(shù)，∴，，∴開(kāi)口向上，則越靠近對(duì)稱軸的所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小，∵，∴，∴在時(shí)，則有最小值，且；∴在時(shí)，則有最大值，且；∴y的取值范圍為．故答案為：．15．8【分析】根據(jù)題意可推出，，，根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱性可知陰影部分的面積等于矩形的面積，利用矩形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：過(guò)拋物線的頂點(diǎn)D作軸，與y軸交于點(diǎn)C，如圖所示，因?yàn)閯t四邊形是矩形，∵拋物線：與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，∴，，將拋物線向下平移兩個(gè)單位長(zhǎng)度得拋物線，則，根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱性得到陰影部分的面積等于矩形的面積，∴．故答案為：8【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、矩形的性質(zhì)與判定，二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平移的性質(zhì)及拋物線的對(duì)稱性得到陰影部分的面積等于矩形的面積．16．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握開(kāi)平方法，因式分解法，配方法，公式法是解題的關(guān)鍵。（1）因式分解法解一元二次方程；（2）因式分解法解一元二次方程．【詳解】（1）解：或解得：或，∴原方程的根為：，；（2）解：或解得：或，∴原方程的根為：，．17．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析，【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱作圖，分別找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可．（1）分別將點(diǎn)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°即可完成作圖；（2）分別找到點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)即可完成作圖．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，其橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求（2）解：如圖所示：即為所求18．長(zhǎng)為36步，寬為24步【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】設(shè)寬為x步，則長(zhǎng)為步，根據(jù)題意，得，解得（舍去），故，答：長(zhǎng)為36步，寬為24步．19．(1)；(2)當(dāng)x的值為20時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．（1）設(shè)的長(zhǎng)度為米，則的長(zhǎng)度為米；（2）根據(jù)矩形的面積公式列出方程．【詳解】（1）解：依題意得，．則；（2）解：根據(jù)題意得，解得，．則或．，，舍去．即，．答：當(dāng)?shù)闹禐?0時(shí)，矩形場(chǎng)地的總面積為400平方米．20．(1)，．(2)該運(yùn)動(dòng)員能成功壓住水花．理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）依題意，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，把和代入，進(jìn)行解方程，即可作答．（2）把代入，解出，結(jié)合距離為，進(jìn)行作答即可．【詳解】（1）解：由題得對(duì)稱軸為直線，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)員離起跳點(diǎn)O的水平距離為時(shí)，運(yùn)動(dòng)員離水面的距離為，所以拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，把和代入，得解得拋物線的表達(dá)式為．該運(yùn)動(dòng)員離水面的最大距離為．（2）解：該運(yùn)動(dòng)員能成功壓住水花．理由：由（1）可知，當(dāng)時(shí)，所以該運(yùn)動(dòng)員離水面的距離為，故該運(yùn)動(dòng)員能成功壓住水花．21．(1)見(jiàn)解析(2)3【分析】本題考查了切線的判定定理、等邊對(duì)等角、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）連接，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合對(duì)等角相等即可推出結(jié)論；（2）設(shè)的半徑，則，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，即，∴，∵是半徑，∴為的切線；（2）解：設(shè)的半徑，則，∴，∴．在中，由勾股定理得，，∴，解得，或（舍去），∴的半徑為3．22．(1)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2)1(3)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或或或【分析】（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，令，可得點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交于點(diǎn)E．利用待定系數(shù)求出直線的函數(shù)表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，用含m的式子表示出，再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算出，即可求解．（3）分兩種情況：①當(dāng)為邊時(shí)，點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，同樣點(diǎn)向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到點(diǎn)，由此列方程組；當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)公式列方程組．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，解得拋物線的函數(shù)表達(dá)式為令，則．點(diǎn)C的坐標(biāo)為．（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，交于點(diǎn)