數(shù)學(xué)教案：互斥事件第一課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4互斥事件整體設(shè)計(jì)教材分析本節(jié)的內(nèi)容主要是互斥事件及其概率，為了能簡(jiǎn)潔地?cái)⑹鱿嚓P(guān)內(nèi)容，可以通過實(shí)例來敘述，如在粉筆盒里裝有3支紅粉筆，2支綠粉筆,1支黃粉筆,現(xiàn)從中任取1支，記事件A為取得紅粉筆，記事件B為取得綠粉筆,則A與B不能同時(shí)發(fā)生,即A與B是互斥事件。互斥事件定義中事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生是指若事件A發(fā)生，事件B就不發(fā)生或者事件B發(fā)生，事件A就不發(fā)生。對(duì)立事件的定義中的兩個(gè)事件必有一個(gè)發(fā)生，它的前提條件是這兩個(gè)事件為互斥事件.因此，對(duì)立事件可以理解為：事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，且事件A與B中“必有一個(gè)發(fā)生”即指事件A不發(fā)生，事件B就一定發(fā)生或者事件A發(fā)生，事件B就不發(fā)生。如,投擲一枚硬幣，事件A為正面向上，事件B為反面向上,則事件A與事件B必有一個(gè)發(fā)生且只有一個(gè)發(fā)生。事件A的對(duì)立事件通常記作A。如果事件A與B互斥,那么事件A+B發(fā)生(即A、B中有一個(gè)發(fā)生)的概率,等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B)=P（A)+P（B)，此公式可以由特殊情形中的既是互斥事件又是等可能性事件推導(dǎo)得到。一般地,如果事件A1，A2，…,An兩兩互斥,那么事件A1+A2+…+An發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2）+…+P(An).對(duì)立事件是一種特殊的互斥事件。特殊有兩點(diǎn)：其一,事件個(gè)數(shù)特殊(只能是兩個(gè)事件)；其二，發(fā)生情況特殊（有且只有一個(gè)發(fā)生）。若A與B是對(duì)立事件，則A與B互斥且A+B為必然事件,故A+B發(fā)生的概率為1，即P(A+B）=P(A）+P（B)=1。從集合的角度來看，事件A、B互斥，是指事件A所含的結(jié)果組成的集合與事件B所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集，則有P（A+B）=card(A+B)/card（I)=（card(A）+card（B））/card(I)=card(A）/card(I）+card(B）/card(I)=P(A)+P（B);事件A與B對(duì)立，是指事件B所含的結(jié)果組成的集合,是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∩B=,且A∪B=I。圖1 圖2公式P（A+)=P(A)+P（)=1的常用變形公式為P（A）=1—P（）或P()=1-P（A)，在解題中會(huì)經(jīng)常用到。本節(jié)基本方法是將較復(fù)雜事件表示為若干兩兩互斥事件的和，利用概率加法公式計(jì)算互斥事件和的概率，或當(dāng)一事件的對(duì)立事件的概率易求時(shí)，將該事件概率的計(jì)算轉(zhuǎn)化為對(duì)立事件的概率,簡(jiǎn)化計(jì)算.解題時(shí)應(yīng)注意互斥事件或?qū)α⑹录臈l件是否滿足.三維目標(biāo)1。理解互斥事件、對(duì)立事件的概念和實(shí)際意義,能夠運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率，會(huì)利用兩個(gè)對(duì)立事件的概率和等于1來簡(jiǎn)化一些概率的計(jì)算.2.通過對(duì)互斥事件、對(duì)立事件概念的理解及其概率的計(jì)算，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件概率的意義,從而掌握互斥事件、對(duì)立事件與古典概型、幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系。3。通過對(duì)互斥事件的概率的計(jì)算，進(jìn)一步理解隨機(jī)事件的概率的意義,提高分析問題和解決問題的能力。4。通過對(duì)互斥事件、對(duì)立事件概念的理解及其概率的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生類比推理、信息遷移能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.5。結(jié)合互斥事件、對(duì)立事件的概念及其概率的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)和用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律分析問題的方法。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1.理解互斥事件的概率加法公式.2。會(huì)運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率。教學(xué)難點(diǎn)：1。用定義判斷較復(fù)雜的事件是否互斥。2。會(huì)運(yùn)用互斥事件的概率加法公式計(jì)算一些事件的概率。課時(shí)安排2課時(shí)教學(xué)過程第1課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)思路一：（實(shí)例導(dǎo)入)在1個(gè)盒內(nèi)放有10個(gè)大小相同的小球，其中有7個(gè)紅球，2個(gè)綠球,1個(gè)黃球，從中任取一個(gè)球。請(qǐng)同學(xué)們思考下列事件的概率：事件A:得到紅球;事件B:得到綠球；事件C：得到紅球或者綠球。設(shè)計(jì)思路二：(情境導(dǎo)入）體育考試的成績(jī)分為四個(gè)等級(jí):優(yōu)、良、中、不及格，某班50名學(xué)生參加了體育考試，結(jié)果如下：優(yōu)85分及以上9人良75～84分15人中60～74分21人不及格60分以下5人體育考試的成績(jī)的等級(jí)為優(yōu)、良、中、不及格的事件分別記為A，B,C，D。問題1：在同一次考試中，某一位同學(xué)能否既得優(yōu)又得良？問題2：從這個(gè)班任意抽取一位同學(xué)，那么這位同學(xué)的體育成績(jī)?yōu)椤皟?yōu)良”（優(yōu)或良）的概率分別是多少？問題3:如果將“體育成績(jī)及格”記為事件E，那么E與D能否同時(shí)發(fā)生?它們之間有什么關(guān)系？推進(jìn)新課新知探究對(duì)于導(dǎo)入思路一：1?；コ馐录挠嘘P(guān)概念在1個(gè)盒內(nèi)放有10個(gè)大小相同的小球,其中有7個(gè)紅球，2個(gè)綠球，1個(gè)黃球,從中任取一個(gè)球.則事件A“得到紅球”的概率為；事件B“得到綠球"的概率為;事件C“得到紅球或者綠球”的概率為。下面來研究以下問題：“得到紅球"和“得到綠球”這兩個(gè)事件之間有什么關(guān)系，可以同時(shí)發(fā)生嗎？問題(3)中的事件“得到紅球或者綠球”與問題（1）（2）中的事件有何聯(lián)系，它們的概率間的關(guān)系如何？如果從盒中摸出1個(gè)球是紅球,即事件A發(fā)生，那么事件B就不發(fā)生；如果從盒中摸出1個(gè)球是綠球，即事件B發(fā)生，那么事件A就不發(fā)生.就是說，事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生.這種不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件(exclusiveevents)。一般地，如果事件A1，A2，…An中的任何兩個(gè)都是互斥的,那么就說A1,A2,…An彼此互斥。從集合的角度看，n個(gè)事件彼此互斥,是指各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此不相交.2.互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率設(shè)A、B是兩個(gè)互斥事件,那么A＋B表示這樣一個(gè)事件：在同一試驗(yàn)中,A與B中有一個(gè)發(fā)生就表示它發(fā)生。那么事件A＋B的概率是多少？在上面的問題中“從盒中摸出1個(gè)球,得到紅球或綠球”就表示事件A＋B.由于從盒中摸出1個(gè)球有10種等可能的方法，而得到紅球或綠球的方法有7＋2種，所以得到紅球或綠球的概率P（A＋B）＝，另一方面P（A)＝，P（B）＝,由，我們看到P（A＋B）＝P(A）＋P（B).這就是說，如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生（即A,B中有一個(gè)發(fā)生）的概率,等于事件A,B分別發(fā)生的概率的和.一般地，如果事件A1，A2，…An彼此互斥，那么事件A1＋A2＋…＋An發(fā)生(即A1，A2，…An中有一個(gè)發(fā)生）的概率，等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A1＋A2＋…＋An）＝P(A1)＋P（A2）＋…＋P（An）。3.對(duì)立事件如果事件A與事件B是互斥事件，并且事件A與事件B中必有一個(gè)事件發(fā)生，則稱事件A與事件B為對(duì)立事件（complementaryevents）.事件A的對(duì)立事件記為A.對(duì)立事件與互斥事件的關(guān)系對(duì)立事件必定是互斥事件，兩個(gè)互斥事件或?qū)α⑹录荒芡瑫r(shí)發(fā)生.對(duì)立事件有且只有一個(gè)發(fā)生，而互斥事件可能兩個(gè)都不發(fā)生，即互斥事件至多有一個(gè)發(fā)生。從集合的角度來看，表示互斥事件與對(duì)立事件的集合的交集都是空集，但對(duì)立事件的并集是全集，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集.如圖所示：注：橢圓表示全集左圖是集合表示的互斥事件之間的關(guān)系，右圖是集合表示的對(duì)立事件之間的關(guān)系.由于對(duì)立事件A與必定有一個(gè)發(fā)生，因此A+是必然事件，所以P（A）+P()=P(A+）=1,由此，可以有如下的重要公式P(）=1－P(A）。對(duì)于導(dǎo)入思路二：對(duì)于問題1，在同一次體育考試中，同一人不可能既得優(yōu)又得良，即事件A和B是不可能同時(shí)發(fā)生的.不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件（exclusiveevents）.對(duì)于本例中的事件，其中任意兩個(gè)都是互斥的.一般地，如果事件A1，A2，…，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件,就說事件A1，A2，…，An彼此互斥。設(shè)A,B為互斥事件,當(dāng)事件A，B有一個(gè)發(fā)生，我們把這個(gè)事件記作A+B。在上述關(guān)于體育考試成績(jī)的問題2中，事件A+B就表示事件“優(yōu)”或“良”，那么，事件A+B發(fā)生的概率是多少呢?用古典概型的求概率公式，可以得到事件A發(fā)生的概率P（A)=，事件B發(fā)生的概率P（B)=。因此有P(A+B)=P（A）+P（B).如果事件A,B為互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B）=P（A）+P(B).一般地,如果事件A1，A2,…，An兩兩互斥，那么事件A1+A2+…+An發(fā)生(即A1，A2,…，An中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于這n個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和，即P(A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2)+…+P(An).在上述關(guān)于體育考試成績(jī)的問題3中,事件E與D不可能同時(shí)發(fā)生，但是必然有一個(gè)發(fā)生。由分析可知，事件E與D是互斥事件,但是比互斥事件的條件要強(qiáng).如果兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件（complementaryevents）.事件A的對(duì)立事件記為A.對(duì)立事件與互斥事件有何異同?互斥事件和對(duì)立事件都是對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們既有區(qū)別又有聯(lián)系.在一次試驗(yàn)中,兩個(gè)互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生；而兩個(gè)對(duì)立的事件則必有一個(gè)發(fā)生,但不可能同時(shí)發(fā)生。所以,兩個(gè)事件互斥,它們未必對(duì)立;反之，兩個(gè)事件對(duì)立,它們一定互斥.也就是說,兩個(gè)事件對(duì)立是這兩個(gè)事件互斥的充分不必要條件.對(duì)立事件是一種特殊的互斥事件。特殊有兩點(diǎn)：其一，事件個(gè)數(shù)特殊(只能是兩個(gè)事件);其二，發(fā)生情況特殊(有且只有一個(gè)發(fā)生).若A與B是對(duì)立事件，則A與B互斥且A+B為必然事件，故A+B發(fā)生的概率為1,即P（A+B）=P（A）+P（B)=1。從集合的角度來看，事件A、B互斥，是指事件A所含的結(jié)果組成的集合與事件B所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集，則有P（A+B)=card（A+B）/card（I）=（card（A)+card(B)）/card（I)=card(A)/card（I）+card(B)/card(I）=P(A)+P(B）；事件A與B對(duì)立，是指事件B所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集，即A∩B=，且A∪B=I。圖1 圖2公式P(A+）=P（A）+P()=1的常用變形公式為P(A）=1—P(）或P(）=1—P(A)，在解題中會(huì)經(jīng)常用到.應(yīng)用示例思路1例1一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊,記“命中的環(huán)數(shù)大于8”為事件A，“命中的環(huán)數(shù)大于5”為事件B,“命中的環(huán)數(shù)小于4”為事件C，“命中的環(huán)數(shù)小于6”為事件D。那么A、B、C、D中有多少對(duì)互斥事件?分析:判斷兩個(gè)事件是否是互斥事件,主要依據(jù)是互斥事件的概念即兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生.解：由于一個(gè)射手進(jìn)行一次射擊，“命中的環(huán)數(shù)大于8”與“命中的環(huán)數(shù)小于4"不能同時(shí)發(fā)生，也就是事件A與事件C不能同時(shí)發(fā)生，所以，事件A與事件C是互斥事件。同樣道理，事件A與事件D，事件B與事件C，事件B與事件D也是互斥事件，因此，事件A、B、C、D中有四對(duì)互斥事件，即A與C，A與D，B與C，B與D。點(diǎn)評(píng)：在判斷兩個(gè)事件是否是互斥事件時(shí),緊緊抓住關(guān)鍵詞“兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生”，如果滿足條件就是互斥事件.對(duì)于對(duì)立事件則首先是互斥事件,還要滿足條件“其中一個(gè)不發(fā)生，則另一個(gè)必定發(fā)生"。例2某人射擊1次，命中7～10環(huán)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10環(huán)9環(huán)8環(huán)7環(huán)概率0.120.180.280.32(1）求射擊1次，至少命中7環(huán)的概率;（2)求射擊1次，命中不足7環(huán)的概率。分析：若將“射擊1次，命中k環(huán)”記為事件Ak(k∈N，且k≤10），事件Ak兩兩不可以同時(shí)發(fā)生,因此，事件Ak兩兩互斥，考慮用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法來計(jì)算.解：記事件“射擊1次,命中k環(huán)”為Ak（k∈N，且k≤10)，則事件Ak彼此互斥.（1）記“射擊1次，至少命中7環(huán)”為事件A，那么當(dāng)A10，A9,A8或A7之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生。由互斥事件的概率加法公式,得P（A)=P(A10+A9+A8+A7）=P（A10)+P(A9)+P（A8）+P（A7)=0.12+0.18+0。28+0。32=0。9。（2)事件“射擊1次,命中不足7環(huán)"是事件“射擊1次，至少命中7環(huán)”的對(duì)立事件，即A表示事件“射擊1次,命中不足7環(huán)”。根據(jù)對(duì)立事件的概率公式，得P（)=1－P（A)=1－0.9=0.1。答:此人射擊1次，至少命中7環(huán)的概率為0。9；命中不足7環(huán)的概率為0.1。點(diǎn)評(píng):在解有關(guān)互斥事件的概率問題時(shí),有時(shí)為了問題解答的簡(jiǎn)潔，往往采用間接的解題方法來求解,例如，要求某一個(gè)事件A的概率時(shí)，可以先求這一個(gè)事件A的對(duì)立事件A的概率,再通過公式P（A）=1－P(A）來求解.例3黃種人群各種血型的人所占的比例如下表所示：血型ABABO該血型的人所占比例（%）2829835已知同種血型的人可以輸血，O型血可以輸給任一種血型的人,任何人的血都可以輸給AB型血的人，其他不同血型的人不能互相輸血。小明是B型血，若小明因病需要輸血，問：（1）任找一個(gè)人,其血可以輸給小明的概率是多少？（2）任找一個(gè)人,其血不能輸給小明的概率是多少？分析:由于每個(gè)人的血型是確定的，因此，對(duì)于任何一個(gè)人所具有的血型對(duì)應(yīng)的事件是互斥的.解：（1）對(duì)任一人,其血型為A，B,AB，O型血的事件分別記為A′,B′,C′，D′,它們是互斥的。由已知,有P（A′）=0。28，P(B′）=0。29，P(C′）=0。08，P(D′）=0.35。因?yàn)锽，O型血可以輸給B型血的人，故“可以輸給B型血的人”為事件B′+D′。根據(jù)互斥事件的概率加法公式,有P（）=P(B′）+P(D′)=0.29+0。35=0。64。（2）由于A,AB型血不能輸給B型血的人,故“不能輸給B型血的人”為事件A′+C′.根據(jù)互斥事件的概率加法公式，有P(A′+C′）=P（A′)+P（C′)=0。28+0.08=0.36。答：任找一個(gè)人，其血可以輸給小明的概率是0。64，其血不能輸給小明的概率是0.36.點(diǎn)評(píng)：第（2)問也可以這樣解：因?yàn)槭录捌溲梢暂斀oB型血的人"與事件“其血不能輸給B型血的人”是對(duì)立事件，故由對(duì)立事件的概率公式，有P(B′+D′）=1－P（B′+D′)=1－0。64=0。36.例4（1)某家庭電話響第一聲時(shí)被接的概率為,響第二聲時(shí)被接的概率為，響第三聲時(shí)被接的概率為，響第四聲時(shí)被接的概率為，求電話在響第五聲之前被接的概率。（2）有10件產(chǎn)品分為3個(gè)等級(jí)，其中一級(jí)品有4件，二級(jí)品3件，三級(jí)品3件，從這10件產(chǎn)品中任意取出2件，試求：①所取2件產(chǎn)品中有1件一級(jí)品、1件二級(jí)品的概率;②所取2件產(chǎn)品中至少有1件是一級(jí)品的概率；③所取2件產(chǎn)品是同等級(jí)產(chǎn)品的概率。分析：根據(jù)題意，事件“所取2件產(chǎn)品中至少有1件是一級(jí)品"可以分為事件“所取2件產(chǎn)品中恰有1件一級(jí)品"和“所取的2件產(chǎn)品都是一級(jí)品”，這兩個(gè)事件是互斥事件；事件“所取2件產(chǎn)品是同等級(jí)產(chǎn)品”可以分為“所取2件產(chǎn)品都是一級(jí)品”“所取2件產(chǎn)品都是二級(jí)品"“所取2件產(chǎn)品都是三級(jí)品”這三個(gè)互斥事件，因而可以運(yùn)用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的計(jì)算方法來求解。解:(1)假設(shè)“電話在響第n聲被接”為事件Ai（i=1，2，3，4，5）,則電話在響第5聲之前時(shí)被接的概率為P（A5）=P(A1）+P（A2)+P（A3）+P（A4）=+++=。（2）①記事件A為“所取2件產(chǎn)品中有1件一級(jí)品、1件二級(jí)品”，則P(A)=。②記事件B為“所取2件產(chǎn)品中至少有1件是一級(jí)品”，記事件B1為“所取2件產(chǎn)品中恰有1件一級(jí)品”,事件B2為“所取的2件產(chǎn)品都是一級(jí)品”，由于B1、B2不能同時(shí)發(fā)生,所以B1、B2是互斥事件，所以P（B)=P（B1)+P（B2）=。③記事件C為“所取2件產(chǎn)品是同等級(jí)產(chǎn)品”,事件C1為“所取2件產(chǎn)品都是一級(jí)品”,事件C2為“所取2件產(chǎn)品都是二級(jí)品”，事件C3為“所取2件產(chǎn)品都是三級(jí)品"，而事件C1、C2、C3是彼此互斥事件,因此，事件C的概率為P（C)=P(C1）+P（C2）+P(C3)==.點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用n個(gè)彼此互斥事件概率的計(jì)算公式P（A1+A2+…+An）=P(A1)+P（A2）+…+P(An),它實(shí)際上是公式P（A+B)=P(A）+P（B)的推廣；另外用把某一個(gè)事件分解為若干個(gè)彼此互斥的事件的方法來解決有關(guān)概率問題，是求解概率問題常用的方法.思路2例1一只口袋內(nèi)裝有大小一樣的4只白球和4只黑球，從中一次任意摸出2只球。記摸出2只白球?yàn)槭录嗀,摸出1只白球和1只黑球?yàn)槭录﨎。問：事件A與B是否為互斥事件？是否為對(duì)立事件？分析:可以根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念來判斷.解：由于事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B互斥.因?yàn)閺目诖幸淮慰梢悦?只黑球，不符合對(duì)立事件所滿足的條件,即“事件A與事件B是互斥事件,且事件A與事件B中必定有一個(gè)發(fā)生”，所以事件A與B不是對(duì)立事件.點(diǎn)評(píng):要判斷是否是互斥事件或?qū)α⑹录?必須從互斥事件和對(duì)立事件的概念出發(fā)，緊扣相應(yīng)概念的條件，若滿足相應(yīng)條件，就是互斥事件或?qū)α⑹录?否則就不是。例2某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示:年降水量(單位:mm）[100，150)[150，200)［200,250）[250,300）概率0.120.250。160。14（1）求年降水量在[100，200)(mm）范圍內(nèi)的概率;(2）求年降水量在［150,300)（mm)范圍內(nèi)的概率.分析:分別記年降雨量在[100，150)、［150，200)、［200,250)、［250,300）為事件A、B、C、D，事件A、B、C、D不可能同時(shí)發(fā)生，所以,它們是互斥事件,可以運(yùn)用互斥事件的概率的計(jì)算公式計(jì)算相應(yīng)事件的概率.解：(1）因?yàn)槭录澳杲涤炅吭冢?00,200)”是互斥事件A與B有一個(gè)發(fā)生的情況，所以事件A與B有一個(gè)發(fā)生的概率為P（A+B)＝P(A）+P(B）＝0.12+0。25=0.37，即年降雨量在［100,200）的概率為0。37。(2)由于事件“年降雨量在[150，300）"是互斥事件B、C、D有一個(gè)發(fā)生的情形，所以，互斥事件B、C、D有一個(gè)發(fā)生的概率為P(B+C+D）＝P（B)+P(C)+P（D)＝0.25+0.16+0.14=0。55，因此，年降雨量在［150,300)的概率為0。55.點(diǎn)評(píng)：正確判斷所要求解的問題的概率類型，選擇正確的計(jì)算公式，是解概率問題的關(guān)鍵所在。例3同時(shí)拋擲兩枚骰子，試求向上一面的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率.分析:由于事件“向上一面的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)”可以分為“向上一面的點(diǎn)數(shù)只有一個(gè)是5點(diǎn)而沒有6點(diǎn)”“向上一面的點(diǎn)數(shù)只有一個(gè)是6點(diǎn)而沒有5點(diǎn)”“向上一面的點(diǎn)數(shù)有一個(gè)是5點(diǎn)，一個(gè)是6點(diǎn)”“向上一面的點(diǎn)數(shù)兩個(gè)都是5點(diǎn)或都是6點(diǎn)”這四個(gè)事件，這四個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，因此是彼此互斥事件.解:記事件A為“向上一面的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)"，事件B為“向上一面的點(diǎn)數(shù)只有一個(gè)是5點(diǎn)而沒有6點(diǎn)”，事件C為“向上一面的點(diǎn)數(shù)只有一個(gè)是6點(diǎn)而沒有5點(diǎn)”，事件D為“向上一面的點(diǎn)數(shù)有一個(gè)是5點(diǎn)，一個(gè)是6點(diǎn)”，事件E為“向上一面的點(diǎn)數(shù)兩個(gè)都是5點(diǎn)或都是6點(diǎn)”，事件A可以分為四個(gè)彼此互斥事件B、C、D、E，所以事件A的概率為P（A）=P(B）+P（C）+P(D）+P（E）=。答：所求向上一面的點(diǎn)數(shù)至少有一個(gè)是5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為。點(diǎn)評(píng):在求某一個(gè)事件的概率時(shí)，可以將該事件分解為若干個(gè)彼此互斥事件，再運(yùn)用彼此互斥事件概率的計(jì)算方法來求解.這種方法是求解概率問題常用的方法之一.例4一個(gè)盒子中裝有6只燈泡，其中2只是次品,4只是正品，有放回地從中任取兩次,每次取一只燈泡，試求下列事件的概率:(1)取到的2只燈泡都是次品；(2）取到的2只燈泡中正品、次品各一只；(3)取到的2只燈泡中至少有一只正品.分析：?jiǎn)栴}（1)可以用古典概型的概率的求解方法來解;問題（2）、（3）由于滿足互斥事件的條件，所以考慮運(yùn)用互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率的求解方法來解答.解:從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有62＝36種不同取法。(1)取到的2只都是次品情況為22＝4種.因而所求概率為。（2)由于取到的2只燈泡中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品;第一次取到次品,第二次取到正品.即兩個(gè)基本事件，而這兩個(gè)事件符合互斥事件的條件,因而所求概率為P=.(3)由于“取到的兩只燈泡中至少有一只正品"有兩種可能即“取到的兩只燈泡中恰好有一只正品和一只次品"和“取到的兩只燈泡中兩只都是正品”，對(duì)于事件“取到的兩只燈泡中恰好有一只正品和一只次品”的概率由(2)可知為，又由于“取到的兩只燈泡中兩只都是正品”的可能有42=16,因此，事件“取到的兩只燈泡中兩只都是正品”的概率為,由于事件“取到的兩只燈泡中至少有一只正品”是互斥事件“取到的兩只燈泡中恰好有一只正品和一只次品"和“取到的兩只燈泡中兩只都是正品"有一個(gè)發(fā)生的情形,所以，事件“取到的兩只燈泡中至少有一只正品”的概率為.點(diǎn)評(píng)：由于事件“取到的兩只燈泡中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品"的對(duì)立事件,因而問題(3）還可以運(yùn)用對(duì)立事件概率的求法來解答.因此，所求事件“取到的兩只燈泡中至少有一只正品"概率為P=1-.運(yùn)用對(duì)立事件的概率求解是求解概率問題常用的方法.知能訓(xùn)練課本本節(jié)練習(xí).解答:1。事件A與B互斥不對(duì)立；事件A與C互斥且對(duì)立;事件A與D不互斥.2。D3。.4.分別記“年降水量在［600，800）”“年降水量在［800,1000）"“年降水量在[1000,1200)"“年降水量在［1200，1400）”“年降水量在［1400，1600］”為事件A1、A2、A3、A4、A5，則事件A1、A2、A3、A4、A5彼此互斥.（1）記“年降水量在［800,1200)"為事件A，那么當(dāng)A2、A3之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生。由互斥事件的概率加法公式，得P(A)=P(A2+A3)=P(A2)+P（A3）=0。26+0.38=0。64。（2）記“該地區(qū)發(fā)生澇災(zāi)”為事件B,根據(jù)題意，當(dāng)A4、A5之一發(fā)生時(shí),事件B發(fā)生.由互斥事件的概率加法公式，得P（B）=P（A4+A5）=P（A4)+P(A5）=0.16