數(shù)學(xué)教案：回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用第三課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識與技能能根據(jù)散點(diǎn)分布特點(diǎn)，建立不同的回歸模型；知道有些非線性模型通過變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型；通過散點(diǎn)圖及相關(guān)指數(shù)比較不同模型的擬合效果．過程與方法通過將非線性模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，使學(xué)生體會“轉(zhuǎn)化"的思想;讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)他們對數(shù)據(jù)的直觀感覺，體會統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn),認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法的應(yīng)用;通過使用轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)，利用計(jì)算器求相關(guān)指數(shù),使學(xué)生體會使用計(jì)算器處理數(shù)據(jù)的方法．情感、態(tài)度與價(jià)值觀通過案例的解決，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和轉(zhuǎn)化能力，并通過合作學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):通過探究使學(xué)生體會有些非線性模型運(yùn)用等量變換、對數(shù)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模型;教學(xué)難點(diǎn)：如何啟發(fā)學(xué)生“對變量作適當(dāng)?shù)淖儞Q（等量變換、對數(shù)變換）",變非線性為線性，建立線性回歸模型．eq\o(\s\up7(），\s\do5（教學(xué)過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入背景材料）)我國是世界產(chǎn)棉大國，種植棉花是我國很多地區(qū)農(nóng)民的主要經(jīng)濟(jì)來源，在棉花的種植過程中，病蟲害的防治是棉農(nóng)的一項(xiàng)重要任務(wù)，如果處置不當(dāng)就會造成棉花的減產(chǎn)．其中紅鈴蟲就是危害棉花生長的一種常見害蟲，在1953年,我國18省曾發(fā)生紅鈴蟲大災(zāi)害，受災(zāi)面積300萬公頃，損失皮棉約二十萬噸．如圖就是紅鈴蟲的有關(guān)圖片:紅鈴蟲喜高溫高濕，適宜各蟲態(tài)發(fā)育的溫度為25～32℃，相對濕度為80%~100％，低于20℃和高于35℃卵不能孵化,相對濕度60%以下成蟲不產(chǎn)卵．冬季月平均氣溫低于－4。8℃時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬而被凍死．為采取有效防治方法，有必要研究紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)和溫度之間的關(guān)系．現(xiàn)收集了紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間的7組觀測數(shù)據(jù)列于下表:溫度x/℃21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)711212466115325（1）試建立y與x之間的回歸方程；并預(yù)測溫度為28℃時(shí)產(chǎn)卵的數(shù)目．（2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？學(xué)生活動：類比前面所學(xué)過的建立線性回歸模型的步驟,動手實(shí)施．活動結(jié)果：(1)畫散點(diǎn)圖：通過計(jì)算器求得線性回歸方程:eq\o（y，\s\up6(^)）＝19.87x－463.73。當(dāng)x＝28℃時(shí),eq\o（y,\s\up6（^))＝19。87×28－463.73≈93，即溫度為28℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)大約為93.(2）進(jìn)行回歸分析計(jì)算得：R2≈0.7464，即這個(gè)線性回歸模型中溫度解釋了74.64％產(chǎn)卵數(shù)的變化．設(shè)計(jì)目的：通過背景材料,加深學(xué)生對問題的理解，并明白“為什么要學(xué)”．體會問題產(chǎn)生于生活，并通過問題的解決復(fù)習(xí)建立回歸模型的基本步驟．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知）)提出問題：結(jié)合數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，隨著自變量的增加，因變量也隨之增加，氣溫為28℃時(shí),估計(jì)產(chǎn)卵數(shù)應(yīng)該低于66個(gè),但是從推算的結(jié)果來看93個(gè)比66個(gè)卻多了27個(gè)，是什么原因造成的呢？學(xué)生活動：分組合作討論交流．學(xué)情預(yù)測：由于我們所建立的線性回歸模型的相關(guān)指數(shù)約等于0.7464，即解釋變量僅能解釋預(yù)報(bào)變量大約74。64％的變化，所占比例偏?。@樣根據(jù)我們建立的模型進(jìn)行預(yù)報(bào)，會存在較大的誤差．我們還可以從殘差圖上分析一下我們所建立的回歸模型的擬合效果：殘差數(shù)據(jù)表：x21232527293235y711212466115325殘差53。4617.72－12。02－48.78－46。5－57.1193.28畫出殘差圖根據(jù)殘差圖可以發(fā)現(xiàn),殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域較寬，并不集中，這表明我們所建立的回歸模型擬合效果并不理想．之所以造成預(yù)報(bào)值偏差太大的原因是所選模型并不理想．實(shí)際上根據(jù)散點(diǎn)圖也可以發(fā)現(xiàn)，樣本點(diǎn)并沒有很好地集中在一條直線附近，故變量之間不會存在很強(qiáng)的線性相關(guān)性．設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)果進(jìn)行分析，從而發(fā)現(xiàn)存在的問題,激發(fā)好奇心、求知欲．同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生對問題的洞悉能力，增強(qiáng)對結(jié)果的敏感自檢能力．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（理解新知))提出問題：如何選擇合適的回歸模型進(jìn)行預(yù)測呢？學(xué)生活動：學(xué)生討論，教師合理引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象特征，聯(lián)想學(xué)過的基本函數(shù)．學(xué)情預(yù)測：方案一：建立二次函數(shù)模型y＝bx2＋a。方案二：建立指數(shù)函數(shù)模型y＝c1ac2x。提出問題：如何求出所建立的回歸模型的系數(shù)呢?我們不妨嘗試解決方案一中的系數(shù)．學(xué)生活動：分組合作,教師引導(dǎo)學(xué)生觀察y＝bx2＋a與y＝bx＋a的關(guān)系．學(xué)情預(yù)測：通過比較，發(fā)現(xiàn)可利用t＝x2，將y＝bx2＋a(二次函數(shù)）轉(zhuǎn)化成y＝bt＋a(一次函數(shù)）．求出x，t,y間的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換表：x21232527293235t＝x244152962572984110241225y711212466115325利用計(jì)算器計(jì)算出y和t的線性回歸方程：eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367t－202.54，轉(zhuǎn)換回y和x的模型:eq\o（y，\s\up6（^））＝0.367x2－202.54.當(dāng)x＝28℃時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^)）＝0.367×282－202.54≈85，即溫度為28℃時(shí),產(chǎn)卵數(shù)大約為85。計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0。802，這個(gè)回歸模型中溫度解釋了80.2％產(chǎn)卵數(shù)的變化．提出問題:提出問題“如果選用指數(shù)模型,是否也能轉(zhuǎn)換成線性模型，如何轉(zhuǎn)化?"學(xué)生活動：獨(dú)立思考也可相互討論．教師可啟發(fā)學(xué)生思考“冪指數(shù)中的自變量如何轉(zhuǎn)化為自變量的一次冪？”可引導(dǎo)學(xué)生回憶對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及指對數(shù)關(guān)系．學(xué)情預(yù)測：可利用取對數(shù)的方法，即在y＝c1ac2x兩邊取對數(shù)，得logay＝c2x＋logac1.提出問題：在上面的運(yùn)算中，由于底數(shù)a不確定，對于x的值無法求出相應(yīng)的logay，這時(shí)可取a＝10時(shí)的情況，以便利用計(jì)算器進(jìn)行計(jì)算，試求出回歸模型．學(xué)生活動：合作協(xié)作，討論解決．學(xué)情預(yù)測：建立數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換表:x21232527293235z＝lgy0。851。041。321。381.822.062。51y711212466115325根據(jù)數(shù)據(jù)，可求得變量z關(guān)于x的回歸方程：eq\o（z,\s\up6(^））＝0.118x－1.665.轉(zhuǎn)換回y和x的模型：eq\o（y,\s\up6(^）)＝100.118x－1.665。當(dāng)x＝28℃時(shí)，eq\o（y，\s\up6(^))≈44，即溫度為28℃時(shí)，產(chǎn)卵數(shù)大約為44.計(jì)算相關(guān)指數(shù)R2≈0.985，這個(gè)回歸模型中溫度解釋了98。5%產(chǎn)卵數(shù)的變化．提出問題：試選擇合適的方法，比較方案一和方案二在數(shù)據(jù)擬合程度上的效果有什么不同？學(xué)生活動：獨(dú)立思考也可相互討論，教師加以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)提示．活動結(jié)果：相關(guān)指數(shù)R2殘差平方和殘差圖方案一0.80215448。432方案二0.9851450。673無論從圖形上直觀觀察，還是從數(shù)據(jù)上分析，指數(shù)函數(shù)模型都是更好的模型．設(shè)計(jì)目的：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行不同模型的比較，體會“雖然任意兩個(gè)變量的觀測數(shù)據(jù)都可以用線性回歸模型來擬合,但不能保證這種模型對數(shù)據(jù)的擬合效果最好，為更好地刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系，要根據(jù)觀測數(shù)據(jù)的特點(diǎn)來選擇回歸模型"．提出問題：由上面的分析可以看出，回歸模型不一定是線性回歸模型，對于非線性回歸模型,我們的處理方法是什么?學(xué)生活動：獨(dú)立思考，回顧上面的解決過程．學(xué)情預(yù)測:選用非線性回歸模型時(shí)，一般思路是轉(zhuǎn)化成線性回歸模型，往往要用“等量變換、對數(shù)變換”等方法．設(shè)計(jì)目的:讓學(xué)生整理建立非線性回歸模型的思路．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（運(yùn)用新知)）例1為了研究某種細(xì)菌繁殖個(gè)數(shù)y與時(shí)間x的關(guān)系，收集數(shù)據(jù)如下:天數(shù)x(天)123456繁殖個(gè)數(shù)y（個(gè))612254995190試建立y與x之間的回歸方程．思路分析：先畫出散點(diǎn)圖，根據(jù)散點(diǎn)圖確定回歸模型的類型,然后求y與x之間的回歸方程．解:根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，作出散點(diǎn)圖由圖可以看出，樣本點(diǎn)分布在某指數(shù)函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny,則上表變換后如下：x123456z1。792.483。223.894。555。25作出散點(diǎn)圖從圖中可以看出，變換后的樣本點(diǎn)分布在某條直線附近,因此可用線性回歸模型來擬合．由表中數(shù)據(jù)可得，z與x之間的線性回歸方程為eq\o（z，\s\up6（^)）＝0.69x＋1.112，則y與x之間的回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^））＝e0。69x＋1.112。【變練演編】例2混凝土的抗壓強(qiáng)度X較易測定,其抗彎強(qiáng)度Y不易測定，已知X與Y由關(guān)系式Y(jié)＝AXb表示，工程中希望由X估算出Y，以便應(yīng)用．現(xiàn)測得一批對應(yīng)數(shù)據(jù)如下：X141152168182195204223254277Y23.125。325.929.831.131。832.534.835.2試求Y對X的回歸方程．思路分析：題目中已經(jīng)給出回歸模型為Y＝AXb類型，故只要通過適當(dāng)?shù)淖兞恐脫Q把非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，然后再套用線性回歸分析的解題步驟即可．解:對Y＝AXb兩邊取自然對數(shù)得：lnY＝blnX＋lnA，做變換y＝lnY，x＝lnX，a＝lnA，則上述數(shù)據(jù)對應(yīng)表格如下：X141152168182195204223254277Y23。125。325.929.831。131.832.534.835.2x4。955.025。125。205。275。325。415。545.62y3。143.233.253.393.443.463.483。553.56根據(jù)公式可求得eq\o(y，\s\up6（^）)＝0。64x＋0。0172，則eq\o(Y,\s\up6（^)）＝e0.64lnx＋0.0172＝1。02X0.64。變式1：若X與Y的關(guān)系由關(guān)系式eq\o(Y,\s\up6（^))＝eq\o(β，\s\up6（^))Xb＋eq\o(α,\s\up6(^））表示,試根據(jù)給出的數(shù)據(jù)求Y對X的回歸方程．活動設(shè)計(jì)：學(xué)生分組討論，嘗試解決．活動成果：eq\o（Y，\s\up6（^））＝0.086X＋13。005.變式2：試選擇合適的方法比較上述兩種回歸模型，相對于給出的數(shù)據(jù)哪一個(gè)的擬合效果更好？活動成果：計(jì)算殘差平方和與相關(guān)指數(shù)，對于模型Y＝AXb，殘差平方和eq\o(Q，\s\up6(^))（1）＝9.819,相關(guān)指數(shù)Req\o\al（2，1）＝0.9304；對于模型eq\o(Y,\s\up6（^））＝eq\o(β，\s\up6（^）)Xb＋eq\o(α，\s\up6(^）），殘差平方和eq\o(Q,\s\up6(^)）（2）＝12。306，相關(guān)指數(shù)Req\o\al（2，2)＝0。908，故模型Y＝AXb的擬合效果較好．設(shè)計(jì)意圖：熟悉判斷回歸模型擬合效果的方法．【達(dá)標(biāo)檢測】1．變量x，y的散點(diǎn)圖如圖所示,那么x，y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為（）A．1B．－0。5C．0D．0。52．變量x與y之間的回歸方程表示（)A．x與y之間的函數(shù)關(guān)系B．x與y之間的不確定性關(guān)系C．x與y之間的真實(shí)關(guān)系形式D．x與y之間的真實(shí)關(guān)系達(dá)到最大限度的吻合3．非線性回歸分析的解題思路是__________．答案：1。C2。D3.通過變量置換轉(zhuǎn)化為線性回歸分析eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)）)1．?dāng)?shù)學(xué)知識：建立回歸模型及殘差圖分析的基本步驟；非線性模型向線性模型的轉(zhuǎn)換方法；不同模型擬合效果的比較方法：相關(guān)指數(shù)和殘差的分析．2．?dāng)?shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想，化歸思想及整體思想．3．?dāng)?shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合法，轉(zhuǎn)化法，換元法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（補(bǔ)充練習(xí)））【基礎(chǔ)練習(xí)】1．相關(guān)指數(shù)R2，殘差平方和與模型擬合效果之間的關(guān)系是(）A．R2的值越大，殘差的平方和越大,擬合效果越好B．R2的值越小，殘差的平方和越大，擬合效果越好C．R2的值越大，殘差的平方和越小，擬合效果越好D．以上說法都不正確2．如果散點(diǎn)圖的所有點(diǎn)都在一條直線上,則殘差均為____________________,殘差平方和為__________，相關(guān)指數(shù)為______________．答案：1。C2.001【拓展練習(xí)】3．某種書每冊的成本費(fèi)Y元與印刷冊數(shù)x(千冊)有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下:x123510203050100200Y10。155。524。082。852.111。621.411.301。211.15檢驗(yàn)每冊書的成本費(fèi)Y元與印刷冊數(shù)的倒數(shù)eq\f（1，x）之間是否有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出Y對eq\f(1,x)的回歸方程．解：把eq\f(1，x）置換為z，則z＝eq\f（1,x)，從而z與Y的數(shù)據(jù)為：z10.50。3330。20。10。050.0330.020。010.005Y10.155.524.082。852。111。621。411。301。211.15根據(jù)數(shù)據(jù)可得r≈0。9998〉0.75，故z與Y具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．所以eq\o（b，\s\up6(^）)≈8.976，eq\o(a，\s\up6(^)）≈1.120，從而eq\o(y,\s\up6（^）)＝8.976z＋1.120。又z＝eq\f(1,x),所以eq\o（y,\s\up6（^）)＝eq\f(8.976，x)＋1.120。eq\o(\s\up7（)，\s\do5（設(shè)計(jì)說明））本課時(shí)內(nèi)容教材中只安排了一道關(guān)于“紅鈴蟲"的例題,但是它卻代表了一種“回歸分析”的類型．如何利用這道例題使學(xué)生掌握這類問題的解決方法呢？為此,本課時(shí)設(shè)計(jì)了“引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)、合作探究”的教學(xué)方法．首先展示“紅鈴蟲”的背景資料來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；鼓勵(lì)學(xué)生用已有知識解決問題，引導(dǎo)學(xué)生檢查結(jié)果從而發(fā)現(xiàn)新問題;通過分組合作來對不同方案進(jìn)行探索;使學(xué)生在合作探索的過程中體會“選擇模型—-將非線性轉(zhuǎn)化成線性”的方法，體會“化未知為已知、用已知探索未知"思想，同時(shí)認(rèn)識不同模型的效果