數(shù)學教案：排列第一課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2排列與組合1．2。1排列eq\o（\s\up7（），\s\do5（整體設計)）教材分析分類加法計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分,依分類加法計數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么,其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標準,最后在確定的標準下進行分類．分類要注意不重復、不遺漏,保證每類辦法都能完成這件事．分步乘法計數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標準分成幾個步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才算完成這件事,每步中的任何一種方法都不能完成這件事．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類加法計數(shù)原理更具有一般性，解決復雜問題時往往需要先分類，每類中再分成幾步．在排列、組合教學的起始階段,不能嫌啰嗦，教師一定要先做出表率并要求學生嚴格按原理去分析問題．只有這樣才能使學生認識深刻、理解到位、思路清晰,才會做到分類有據(jù)、分步有方,為排列、組合的學習奠定堅實的基礎．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理既是推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎，也是解決排列、組合問題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運用它們?nèi)ソ鉀Q問題．這兩個原理貫穿排列、組合學習過程的始終．搞好排列、組合問題的教學從這兩個原理入手帶有根本性．排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題．排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關．與順序有關的是排列問題，與順序無關的是組合問題,順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要．排列與組合的區(qū)別,從定義上來說是簡單的,但在具體求解過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關系．課時分配3課時第一課時教學目標知識與技能了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導方法，并能運用排列數(shù)公式進行計算．過程與方法經(jīng)歷排列數(shù)公式的推導過程，從中體會“化歸”的數(shù)學思想．情感、態(tài)度與價值觀能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸"思想的魅力．重點難點教學重點：排列、排列數(shù)的概念．教學難點：排列數(shù)公式的推導．eq\o(\s\up7(），\s\do5(教學過程）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新課）)提出問題1：前面我們學習了分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，請同學們回顧兩個原理的內(nèi)容,并回顧兩個原理的區(qū)別與聯(lián)系．活動設計：教師提問,學生補充．活動成果：1．分類加法計數(shù)原理:做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關做一件事的不同方法種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，每一種方法只屬于某一類，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存,某一步驟中的每一種方法都只能做完這件事的一個步驟，只有各個步驟都完成才算做完這件事．應用兩種原理解題：①分清要完成的事情是什么；②是分類完成還是分步完成,“類”間互相獨立，“步”間互相聯(lián)系；③有無特殊條件的限制．設計意圖：復習兩個原理，為新知識的學習奠定基礎．提出問題2：研究下面三個問題有什么共同特點?能否對下面的計數(shù)問題給出一種簡便的計數(shù)方法呢？問題一：從5人的數(shù)學興趣小組中選2人分別擔任正、副組長，有多少種不同的選法？問題二：用1,2,3,4,5這5個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù),共有多少個？問題三：從a，b，c，d，e這5個字母中，任取兩個按順序排成一列，共有多少種不同的排法?活動設計：先獨立思考，后小組交流,請同學發(fā)言、補充．活動成果：共同特點：問題三中把字母a，b，c，d，e分別代表人，就是問題一；分別代表數(shù),就是問題二．把上面問題中所取的對象叫做元素,于是問題一、二、三都變成問題：從五個不同的元素中任取兩個，然后按順序排成一列,共有多少種不同的排列方法？我們把這一類問題稱為排列問題，這就是我們今天要研究的內(nèi)容．設計意圖：通過三個具體的實例引入新課．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知））提出問題1：你能把上述三個問題總結(jié)一下，概括出排列的定義嗎？活動設計：學生舉手發(fā)言、學生補充,教師總結(jié)．活動成果：從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素(這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列．說明:（1)排列的定義包括兩個方面：①取出元素，②按一定的順序排列；(2)兩個排列相同的條件：①元素完全相同,②元素的排列順序也相同．從n個不同元素中，任取m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n）表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個排列”是指:從n個不同元素中,任取m（m≤n)個元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù);“排列數(shù)"是指從n個不同元素中，任取m（m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，是一個數(shù)．所以符號Aeq\o\al(m,n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設計意圖：引導學生通過具體實例總結(jié)概括出排列和排列數(shù)的概念，培養(yǎng)學生的抽象概括能力．提出問題2:從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動，其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動,這是不是個排列問題，排列數(shù)怎么求？活動設計：學生獨立思考，舉手回答．活動成果：這個問題就是從甲、乙、丙3名同學中每次選取2名同學，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，一共有多少種不同的排法的問題，是排列問題．解決這一問題可分兩個步驟：第1步,確定參加上午活動的同學,從3人中任選1人,有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從余下的2人中去選，于是有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，在3名同學中選出2名，按照參加上午活動在前,參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3×2＝6種，如右圖所示．設計意圖：分析具體例子,鞏固排列的定義，探索求排列數(shù)的方法．提出問題3:從1，2,3,4這4個數(shù)字中，每次取出3個排成一個三位數(shù)，共可得到多少個不同的三位數(shù)，是不是排列問題，怎樣求排列數(shù)？活動設計:學生獨立思考，舉手回答．活動成果:這顯然是個排列問題，解決這個問題分三個步驟：第一步先確定百位上的數(shù)，在4個數(shù)中任取1個,有4種方法；第二步確定十位上的數(shù)，從余下的3個數(shù)中取，有3種方法；第三步確定個位上的數(shù)，從余下的2個數(shù)中取,有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理共有：4×3×2＝24種不同的方法，用樹形圖排出，并寫出所有的排列．由此可寫出所有的排法．顯然，從4個數(shù)字中，每次取出3個,按“百”“十”“個”位的順序排成一列,就得到一個三位數(shù)．因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位數(shù)．可以分三個步驟來解決這個問題：第1步,確定百位上的數(shù)字，在1，2,3，4這4個數(shù)字中任取1個，有4種方法；第2步，確定十位上的數(shù)字，當百位上的數(shù)字確定后，十位上的數(shù)字只能從余下的3個數(shù)字中去取，有3種方法;第3步，確定個位上的數(shù)字，當百位、十位上的數(shù)字確定后，個位的數(shù)字只能從余下的2個數(shù)字中去取,有2種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從1,2，3,4這4個不同的數(shù)字中,每次取出3個數(shù)字，按“百”“十”“個”位的順序排成一列，共有4×3×2＝24種不同的排法，因而共可得到24個不同的三位數(shù)，如圖所示．由此可寫出所有的三位數(shù)：123，124,132，134,142,143,213，214,231，234，241,243，312,314，321,324，341,342,412，413,421,423,431，432。設計意圖：分析具體例子,鞏固排列的定義,探索求排列數(shù)的方法．提出問題4：由以上兩個問題我們發(fā)現(xiàn)：Aeq\o\al（2,3)＝3×2＝6,Aeq\o\al(3,4）＝4×3×2＝24，你能否得出Aeq\o\al（2,n）的意義和Aeq\o\al(2，n）的值？活動設計:學生舉手發(fā)言、學生補充,教師總結(jié)．活動成果：由Aeq\o\al（2,n）的意義：假定有排好順序的2個空位，從n個元素a1，a2，…,an中任取2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此,所有不同的填法的種數(shù)就是排列數(shù)Aeq\o\al(2，n).由分步乘法計數(shù)原理知完成上述填空共有n(n－1)種填法，∴Aeq\o\al（2,n)＝n(n－1)．設計意圖：由特殊到一般，引導學生逐步推導出排列數(shù)公式．提出問題5：有上述推導方法，你能推導出Aeq\o\al（3，n）,Aeq\o\al(m，n)嗎？活動設計：學生自己推導，學生板演．活動成果：求Aeq\o\al（3,n）可以按依次填3個空位來考慮，∴Aeq\o\al（3,n)＝n(n－1）（n－2），求Aeq\o\al(m,n)可以按依次填m個空位來考慮:Aeq\o\al(m,n）＝n（n－1)（n－2)…(n－m＋1)，由此可以得到排列數(shù)公式:Aeq\o\al（m，n）＝n(n－1）(n－2）…（n－m＋1)(m，n∈N,m≤n）．說明:(1)公式特征：第一個因數(shù)是n，后面每一個因數(shù)比它前面一個少1，最后一個因數(shù)是n－m＋1，共有m個因數(shù)；（2)全排列：當n＝m時即n個不同元素全部取出的一個排列．全排列數(shù):Aeq\o\al(n,n）＝n（n－1）（n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外,我們規(guī)定0!＝1.所以Aeq\o\al（m,n)＝n（n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f（n！,（n－m）!)＝eq\f（A\o\al（n,n），A\o\al（n－m,n－m)).設計意圖：引導學生逐步利用分步乘法計數(shù)原理推導出排列數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（理解新知）)分析下列問題，哪些是求排列數(shù)問題?(1)有5本不同的書,從中選3本送給3名同學,每人各一本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各一本，共有多少種不同的送法？（3）用0，1,2,3，4這5個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？(4）用1,2，3，4，5這5個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)?（5)從1,2,3，4四個數(shù)字中,任選兩個做加法，其不同結(jié)果有多少種？(6）從1,2,3,4四個數(shù)字中，任選兩個做除法,其不同結(jié)果有多少種?活動設計:學生自己完成，沒有把握的問題和同桌討論．教師巡視,找同學說出答案和理由．活動成果：（1）是（2)不是（3）是(4）是(5）不是（6）不是（2）不是從5個不同的元素中選出三個不同的元素，而是從多個可以相同的元素中，選出三個元素排成一列，不符合排列中元素不同的規(guī)定．(3)是排列問題，但排列數(shù)中有一部分0在百位的不是三位數(shù)．（5)中選出的兩個元素的和與順序無關，不符合排列的定義．設計意圖：加深對排列和排列數(shù)的理解．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用新知))例1解方程：3Aeq\o\al（3，x)＝2Aeq\o\al（2，x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x）。思路分析：利用排列數(shù)公式求解即可．解：由排列數(shù)公式得:3x（x－1)（x－2）＝2（x＋1）x＋6x（x－1)，∵x≥3,∴3(x－1）(x－2）＝2（x＋1）＋6(x－1），即3x2－17x＋10＝0，解得x＝5或x＝eq\f（2,3），∵x≥3，且x∈N，∴原方程的解為x＝5。點評：解含排列數(shù)的方程和不等式時要注意排列數(shù)Aeq\o\al（m，n)中，m，n∈N且m≤n這些限制條件,要注意含排列數(shù)的方程和不等式中未知數(shù)的取值范圍．【鞏固練習】1．解不等式:Aeq\o\al（x,9)>6Aeq\o\al(x－2，9）.2．求證：（1）Aeq\o\al（n，n）＝Aeq\o\al（m,n）·Aeq\o\al（n－m,n－m）(2）eq\f(（2n）！，2n·n！)＝1·3·5…(2n－1）．解答或證明：1.解：原不等式即eq\f(9!，（9－x）！)>6·eq\f（9！,（11－x)!），也就是eq\f(1,（9－x）!）〉eq\f(6，（11－x）·(10－x)·(9－x）?。?，化簡得:x2－21x＋104>0，解得x〈8或x〉13，又∵2〈x≤7，且x∈N，所以，原不等式的解集為｛3,4,5,6，7}．2．證明：(1）Aeq\o\al(m，n）·Aeq\o\al（n－m，n－m)＝eq\f（n！，（n－m）?。╪－m)?。絥?。紸eq\o\al（n,n）,∴原式成立．（2)eq\f(2n！，2n·n！)＝eq\f(2n·（2n－1）·(2n－2)…4·3·2·1，2n·n!）＝eq\f（2nn·（n－1)…2·1·(2n－1）(2n－3）…3·1，2n·n?。絜q\f(n!·1·3…(2n－3）(2n－1),n?。?·3·5…（2n－1）＝右邊，∴原式成立．點評：公式Aeq\o\al(m,n）＝n（n－1）(n－2)…（n－m＋1)常用來求值，特別是m,n均為已知時;公式Aeq\o\al（m，n)＝eq\f(n!,（n－m）?。┏Ｓ脕碜C明或化簡．【變練演編】化簡：(1）eq\f（1,2！)＋eq\f(2,3?。玡q\f（3，4！)＋…＋eq\f（n－1,n!）；(2)1×1?。?×2!＋3×3?。玭×n！.（1)解：原式＝1?。璭q\f（1,2?。玡q\f(1,2！)－eq\f（1，3?。玡q\f(1，3！)－eq\f(1,4！)＋…＋eq\f(1,n－1！)－eq\f（1,n!）＝1－eq\f（1，n?。?。（2)提示：由(n＋1）!＝(n＋1)n!＝n×n!＋n！，得n×n?。剑╪＋1)?。璶！，原式＝（n＋1)?。?.【達標檢測】1．計算：(1）Aeq\o\al(3，10）；（2)eq\f（A\o\al（8，12），A\o\al（7，12)).2．若Aeq\o\al（m,n）＝17×16×15×…×5×4,則n＝______,m＝______。3．若n∈N＊，且55＜n＜69，則（55－n）(56－n)…(68－n)（69－n）用排列數(shù)符號表示為______．答案：1。(1）720（2）52.17143。Aeq\o\al（15,69－n)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)））1．知識收獲：排列概念、排列數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲：分類討論、化歸思想．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（補充練習)）【基礎練習】1．若x＝eq\f（n！，3！），則x＝(）A．Aeq\o\al(3，n)B．Aeq\o\al(n－3,n)C．Aeq\o\al（n，3）D．Aeq\o\al（3,n－3)2．與Aeq\o\al(3,10）·Aeq\o\al（7，7)不等的是(）A．Aeq\o\al(9,10)B．81Aeq\o\al（8，8)C．10Aeq\o\al(9，9)D．Aeq\o\al(10,10)3．若Aeq\o\al（5，m)＝2Aeq\o\al（3,m），則m的值為（）A．5B．3C．6D．74．計算：eq\f（2A\o\al(5，9）＋3A\o\al(6,9)，9?。瑼\o\al（6，10)）＝________；eq\f((m－1)!，A\o\al(n－1，m－1)·(m－n)?。絖_______?！就卣咕毩暋?．若2<eq\f(（