新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第10講非對稱韋達(原卷版+解析)

第10講非對稱韋達一、解答題1．已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點，B為上頂點，的面積為直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點．求橢圓E的標準方程；求面積的最大值；設直線與直線交于點N，證明：點N在定直線上，并寫出該直線方程．2．已知A，B分別為橢圓的左右頂點，E為橢圓C的上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，E與F關于直線對稱，的面積為，過的直線交橢圓C于兩點M，N(異于A，B兩點).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點P在一條定直線上.3．已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，直線與交于點M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．4．已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒過定點.5．已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．6．已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結論不要求證明）7．已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．8．已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．9．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．10．橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩頂點為A,B如圖，離心率為22，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點，并與（Ⅰ）當|CD|=322（Ⅱ）當點P異于A,B兩點時，求證：OP?11．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．12．已知橢圓的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.13．已知橢圓的長軸長為6，離心率為.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設橢圓C的左?右焦點分別為，，左?右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，直線的斜率為，記直線AM，BN的斜率分別為，試證明:的值為定值.14．已知橢圓的左、右頂點分別為，，離心率為，過點作直線交橢圓于點，（與，均不重合）.當點與橢圓的上頂點重合時，.（1）求橢圓的方程（2）設直線，的斜率分別為，，求證：為定值.第10講非對稱韋達一、解答題1．已知橢圓E：的離心率是，，分別為橢圓E的左右頂點，B為上頂點，的面積為直線l過點且與橢圓E交于P，Q兩點．求橢圓E的標準方程；求面積的最大值；設直線與直線交于點N，證明：點N在定直線上，并寫出該直線方程．【答案】（1）（2）（3）見證明【分析】根據(jù)離心率和三角形的面積即可求出，，分兩種情況，當PQ斜率不存在時，，當直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為，，由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式、，函數(shù)的性質(zhì)，結合已知條件能求出的面積的最大值．分兩種情況，PQ斜率不存在時，易知，當直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，即可整理化簡可得，解得即可．【詳解】解：由題意知，，即，的面積為2，，解得，，橢圓C的標準方程為，斜率不存在時，易知，，此時，當直線PQ的斜率存在時，設PQ的方程為，，設，，將代入，整理可得，，，，，令，，，故面積的最大值證明斜率不存在時，易知，當直線PQ的斜率存在時，直線的方程為，直線的方程為，，，解得，即N點的橫坐標為4，綜上所述，點N在定直線上．【點睛】本題考查橢圓性質(zhì)、根的判別式、韋達定理、弦長公式、考查考查推理論證能力、數(shù)據(jù)處理能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．2．已知A，B分別為橢圓的左右頂點，E為橢圓C的上頂點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，E與F關于直線對稱，的面積為，過的直線交橢圓C于兩點M，N(異于A，B兩點).（1）求橢圓C的方程；（2）證明：直線與的交點P在一條定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標準方程；（2）設出直線MN的方程，與橢圓聯(lián)立，得到，求出AM、BN的交點坐標，結合一元二次方程根與系數(shù)的關系，得出結論.【詳解】（1）由得，（2）由題可知，直線與x軸不重合，設為由得∴由橢圓的對稱性可知，交點必在一條垂直于x軸的直線上直線，即①直線，即②聯(lián)立①②得：直線與的交點P在定直線上.【點睛】（1）待定系數(shù)法可以求二次曲線的標準方程；（2）"設而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.3．已知橢圓的左、右焦點是，左右頂點是，離心率是，過的直線與橢圓交于兩點P、Q(不是左、右頂點)，且的周長是，直線與交于點M.(1)求橢圓的方程；(2)(ⅰ)求證直線與交點M在一條定直線l上；(ⅱ)N是定直線l上的一點，且PN平行于x軸，證明：是定值．【答案】(1)(2)(ⅰ)見證明；(ⅱ)見證明【解析】【分析】(1)由題意可得，可以求出，，從而求出橢圓的方程；(2)(ⅰ)由點斜式分別寫出與的方程，兩式子消去，根據(jù)韋達定理可得，的坐標關系，進而可以得到點M在一條定直線x＝2上；(ⅱ)由于，結合點P在橢圓上，可以求出為定值?！驹斀狻?1)設橢圓的焦距是2c，據(jù)題意有：，，，則，所以橢圓的方程是.(2)(ⅰ)由(1)知，，，設直線PQ的方程是，代入橢圓方程得：，易知，設，，，則，直線的方程是：①，直線的方程是：②，設，既滿足①也滿足②，則，故直線與交點M在一條定直線l：x＝2上.(ⅱ)設，，，則，∴.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，橢圓與直線的綜合問題，考查了學生綜合分析能力及計算能力，屬于難題。4．已知、分別是離心率的橢圓的左右項點，P是橢圓E的上頂點，且.（1）求橢圓E的方程；（2）若動直線過點，且與橢圓E交于A、B兩點，點M與點B關于y軸對稱，求證：直線恒過定點.【答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）由向量數(shù)量積的坐標運算可求得，再由離心率可得，然后求得，得橢圓方程；（2）當直線的斜率存在時，設直線，，，則，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立并消元后應用韋達定理得，然后寫出直線方程并變形后代入，可得定點坐標，再驗證直線斜率不存在時，直線也過這個定點即可．【詳解】解：（1）由題意得，，，則，所以，又，所以，，所以橢圓E的方程為.（2）當直線的斜率存在時，設直線，，，則，由，消去y得.由，得，所以，.，直線的方程為，即，因為，，所以，直線的方程為可化為，則直線恒過定點.當直線的斜率不存在時，直線也過點，綜上知直線恒過定點.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題中的定點問題．解題方法是設而不求思想方法．設出動直線方程，設交點坐標，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應用韋達定理得，利用此結論求出直線方程，可確定定點坐標．5．已知橢圓的離心率為，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）設A，B分別為橢圓C的左、右頂點，若過點且斜率不為0的直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線AM與BN相交于點Q．證明：點Q在定直線上．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）用離心率公式和列方程求得，即可得橢圓方程；（2）方法一：設直線，，聯(lián)立橢圓方程，由韋達定理得關系，由直線和方程聯(lián)立求解交點坐標，并化簡得，即可證明問題；方法二：設，，，兩兩不等，因為P，M，N三點共線，由斜率相等得到方程，同理A，M，Q三點共線與B，N，Q三點共線也得到兩方程，再結合三條方程求解，即可證明問題.【詳解】解：（1）因為橢圓的離心率，，，又，．因為，所以，，所以橢圓C的方程為．（2）解法一：設直線，，，，可得，所以．直線AM的方程：①直線BN的方程：②由對稱性可知：點Q在垂直于x軸的直線上，聯(lián)立①②可得．因為，所以所以點Q在直線上．解法二：設，，，兩兩不等，因為P，M，N三點共線，所以，整理得：．又A，M，Q三點共線，有：①又B，N，Q三點共線，有②將①與②兩式相除得：即，將即代入得：解得（舍去）或，（因為直線與橢圓相交故）所以Q在定直線上．【點晴】求解直線與圓錐曲線定點定值問題：關鍵在于運用設而不求思想、聯(lián)立方程和韋達定理，構造坐標點方程從而解決相關問題.6．已知橢圓:的長軸長為4，左、右頂點分別為，經(jīng)過點的動直線與橢圓相交于不同的兩點（不與點重合）.（1）求橢圓的方程及離心率；（2）求四邊形面積的最大值；（3）若直線與直線相交于點，判斷點是否位于一條定直線上？若是，寫出該直線的方程.（結論不要求證明）【答案】（Ⅰ），離心率（Ⅱ）（Ⅲ）【分析】（Ⅰ）由題意可知：m＝1，可得橢圓方程，根據(jù)離心率公式即可求出（Ⅱ）設直線CD的方程，代入橢圓方程，根據(jù)韋達定理，由SACBD＝S△ACB+S△ADB，換元，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得四邊形ACBD面積的最大值．（Ⅲ）點M在一條定直線上，且該直線的方程為x＝4【詳解】（Ⅰ）由題意，得,解得.所以橢圓方程為.故，，.所以橢圓的離心率.（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，又因為，，所以四邊形的面積.當直線的斜率存在時，設的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.由題意，可知恒成立，則，四邊形的面積，設，則四邊形的面積，，所以.綜上，四邊形面積的最大值為.（Ⅲ）結論：點在一條定直線上，且該直線的方程為.【點睛】本題考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查弦長公式的應用，體現(xiàn)了“設而不求”的解題思想方法，函數(shù)性質(zhì)的運用，計算量大，要求能力高，屬于難題．7．已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．【答案】（1）；（2）直線過定點.【分析】（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點P的坐標，代入橢圓的標準方程中可解出，從而得出橢圓的標準方程；（2）設出直線l的方程，點M、N的坐標，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點M、N的坐標的關系，再表示出直線的方程，將點M、N的坐標的關系代入可得直線NM′所過的定點.【詳解】（1）由得，，由橢圓的定義得，，，，所以點P的坐標為，將點P的坐標代入橢圓的方程中有，又，，解得或，當，，故舍去；當，，所以橢圓的標準方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設直線l的方程為，設，則，聯(lián)立方程組，得，，解得，，，又，，設直線的方程為，，當時，，所以直線過定點.【點睛】本題考查橢圓的定義和簡單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關系中直線過定點的問題，關鍵在于將目標條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點的坐標上去，屬于較難題.8．已知橢圓過點，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過點的直線l交橢圓C于點,直線分別交直線于點．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【分析】(Ⅰ)由題意得到關于a,b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；(Ⅱ)首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA,NA的方程確定點P,Q的縱坐標，將線段長度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標比值的問題，進一步結合韋達定理可證得，從而可得兩線段長度的比值.【詳解】(1)設橢圓方程為：，由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設，，直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立可得：，即：，則：.直線MA的方程為：，令可得：，同理可得：.很明顯，且：，注意到：，而：，故.從而.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．9．如圖，為坐標原點，橢圓（）的焦距等于其長半軸長，為橢圓的上、下頂點，且（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交橢圓于異于的兩點，直線交于點．求證：點的縱坐標為定值3．【答案】（1）；（2）3【分析】（1）由得，再根據(jù)焦距等于其長半軸長可求，故可得橢圓的方程.（2）設直線方程為，，【詳解】解：（1）由題意可知：,，又，有，故橢圓的方程為：．（2）由題意知直線的斜率存在，設其方程為，用的橫坐標表示的縱坐標，再聯(lián)立的方程和橢圓的方程，消去得，利用韋達定理化簡的縱坐標后可得所求的定值.設（），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得，消去得，,，且有，又，，由得，故，整理得到，故．故點的縱坐標為3．【點睛】求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關于兩個的交點橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有或，最后利用韋達定理把關系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點、定值、最值問題.10．橢圓y2a2+x2b2=1(a>b>0)的兩頂點為A,B如圖，離心率為22，過其焦點F(0,1)的直線l與橢圓交于C,D兩點，并與（Ⅰ）當|CD|=322（Ⅱ）當點P異于A,B兩點時，求證：OP?【答案】（Ⅰ）y=±2x+1（Ⅱ【解析】試題分析：（I）根據(jù)ca=22,c=1，可求得橢圓的標準方程為x試題解析：（Ⅰ）橢圓的標準方程為y2由已知得：c=1,ca=22當直線l與x軸垂直時與題意不符，設直線l的方程為y=kx+1，C1將直線l的方程代入橢圓的方程化簡得(k則x1+x∴|CD|=1+=22(所以直線l的方程為y=±2（Ⅱ）證明：當直線l與x軸垂直時與題意不符，設直線l的方程為y=kx+1，(k≠0,k≠±1)，C(x1,y1)，由（Ⅰ）知x1+x且直線AC的方程為y=y1x1+1將兩直線聯(lián)立，消去y得x+1x?1∵?1<x1,(x+1=1?y1∴k?1k+1與y1y2異號，x+1x?1與故Q點坐標為(?k,y0)，OP點睛：本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系，還考查了兩條直線的交點坐標的求法，考查了根與系數(shù)關系與弦長、向量數(shù)量積運算的關系.直線和圓錐曲線的位置關系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結合已知條件，從圖形角度求解．聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關系求解是一個常用的方法.涉及弦長的問題中，應熟練地利用根與系數(shù)關系、設而不求法計算弦長；涉及垂直關系時也往往利用根與系數(shù)關系、設而不求法簡化運算；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．11．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點P在橢圓上求出橢圓的標準方程;(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1,設M(x1，y1)，N(x2，y2),聯(lián)立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標表示,利用點在橢圓上和韋達定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標準方程為＋＝1.又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1.設M(x1，y1)，N(x2，y2)．聯(lián)立方程組消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.所以由根與系數(shù)關系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.即＝.①又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，所以＝(4－)，＝(4－)．②將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,考查橢圓的標準方程和橢圓的幾何性質(zhì),考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.12．已知橢圓的長軸長為6，離心率為.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)長軸長為6，離心率為，可求得的值，即可得答案；（2）設的方程為，，直線與橢圓的另一個交點為，利用得到方程，與韋達定理聯(lián)立，求得，進一步求得關于的方程，求出的值，即可得到直線方程.【詳解】（1）由題意，可得，，，聯(lián)立解得，，，∴橢圓的標準方程為.（2）如圖，由（1）知，設的方程為，，直線與橢圓的