上海市浦東新區(qū)市級(jí)名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

上海市浦東新區(qū)市級(jí)名校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知a，b為不相等實(shí)數(shù)，記，則M與N的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.不確定2．已知橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)4．箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，設(shè)事件=“至少有一件次品”，則的對(duì)立事件為（）A.至多兩件次品 B.至多一件次品C.沒有次品 D.至少一件次品5．函數(shù)圖象如圖所示,則的解析式可以為A. B.C. D.6．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，傾斜角為的直線l過點(diǎn)E，且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為A.10 B.12C.16 D.207．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.8．下列命題錯(cuò)誤的是（）A，B.命題“”的否定是“”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.設(shè)，則“”是“”的必要不充分條件9．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，，A為垂足．如果直線AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.810．在等比數(shù)列{}中，，，則=（）A.9 B.12C.±9 D.±1211．2021年7月，某文學(xué)網(wǎng)站對(duì)該網(wǎng)站的數(shù)字媒體內(nèi)容能否滿足讀者需要進(jìn)行了調(diào)查，調(diào)查部門隨機(jī)抽取了名讀者，所得情況統(tǒng)計(jì)如下表所示：滿意程度學(xué)生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設(shè)命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應(yīng)抽取人；命題：樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.12．從1，2，3，4，5中隨機(jī)抽取三個(gè)數(shù)，則這三個(gè)數(shù)能成為一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(jī)(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________14．在數(shù)列中，，，則數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為__________15．已知球的表面積是，則該球的體積為________.16．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，，則雙曲線的漸近線方程為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，已知直線MA，NA分別交直線于點(diǎn)P，Q，求的值.18．（12分）已知，直線過且與交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的平行線交于點(diǎn)（1）求證：為定值，并求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與相切于點(diǎn)，且與直線交于點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，說明理由19．（12分）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.20．（12分）圓錐曲線的方程是.（1）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，求的值.21．（12分）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓E的一個(gè)焦點(diǎn)為（1）求橢圓E的方程；（2）若直線l過點(diǎn)且與橢圓E交于A，B兩點(diǎn).求的最大值22．（10分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過點(diǎn)的直線與該拋物線交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因?yàn)?，又，所以，即故選：A2、B【解析】根據(jù)題意得到，根據(jù)，化簡(jiǎn)得到，進(jìn)而得到離心率的不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，，因?yàn)?，可得，即，又由，可得，可得，解得，又因?yàn)闄E圓的離心率，所以，即橢圓的離心率為.故選：B.【點(diǎn)睛】求解橢圓或雙曲線離心率的三種方法：1、定義法：通過已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；2、齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；3、特殊值法：通過取特殊值或特殊位置，求出離心率.3、B【解析】應(yīng)用基本不等式“1”的代換求的最小值，注意等號(hào)成立條件，再根據(jù)題設(shè)不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【詳解】由題設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故選：B.4、C【解析】利用對(duì)立事件的定義，分析即得解【詳解】箱子中有5件產(chǎn)品，其中有2件次品，從中隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，可能出現(xiàn)：“兩件次品”，“一件次品，一件正品”，“兩件正品”三種情況根據(jù)對(duì)立事件的定義，事件=“至少有一件次品”其對(duì)立事件為：“兩件正品”，即”沒有次品“故選：C5、A【解析】利用排除法：對(duì)于B,令得,,即有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，不符合題意；對(duì)于D,的定義域?yàn)?，不符合題意；本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)6、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結(jié)果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長(zhǎng)，，所以：周長(zhǎng)，由橢圓的第一定義，，所以，周長(zhǎng)故選D【點(diǎn)睛】本題考查橢圓簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的定義的應(yīng)用，三角形的周長(zhǎng)的求法，屬于基本知識(shí)的考查7、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點(diǎn)，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域?yàn)椋纱伺懦鼳,B選項(xiàng).當(dāng)時(shí)，，由此排除D選項(xiàng).所以正確的為C選項(xiàng).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識(shí)別，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】根據(jù)題意，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析，舉出例子當(dāng)時(shí)，，即可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，可判斷B選項(xiàng)；根據(jù)充分條件和必要條件的定義，即可判斷CD選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，故A正確；對(duì)于B，根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，得“”的否定是“”，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)且時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，卻不一定有且，如，因此“且”是“”的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有可能等于0，當(dāng)時(shí)，必有，所以“”是“”的必要不充分條件，故D正確.故選：C.9、D【解析】由題可得方程，進(jìn)而可得點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)坐標(biāo)，利用拋物線定義即求【詳解】∵拋物線方程為，∴焦點(diǎn)F(2,0)，準(zhǔn)線l方程為x=?2，∵直線AF的斜率為,直線AF的方程為，由，可得，∵PA⊥l，A為垂足，∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為，∴.故選：D.10、D【解析】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，由等比數(shù)列的性質(zhì)求出，再求出【詳解】根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，，則，變形可得，則，故選：11、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應(yīng)抽取人數(shù)可判斷命題，求出上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分，由方差公式計(jì)算方差可判斷，再由復(fù)合命題的真假判斷四個(gè)選項(xiàng)，即可得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)橥诵葑鍛?yīng)抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對(duì)數(shù)字媒體內(nèi)容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：12、C【解析】列舉出所有情況，然后根據(jù)兩邊之和大于第三邊數(shù)出能構(gòu)成三角形的情況，進(jìn)而得到答案.【詳解】5個(gè)數(shù)取3個(gè)數(shù)的所有情況如下：{1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5；1,4,5；2,3,4；2,3,5；2,4,5；3,4,5}共10種情況，而能構(gòu)成三角形的情況有{2,3,4；2,4,5；3,4,5}共3種情況，故所求概率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)14、【解析】用累加法求出通項(xiàng)，再由通項(xiàng)表達(dá)式確定最大項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列中最大項(xiàng)的數(shù)值為故答案為:15、【解析】設(shè)球的半徑為r，代入表面積公式，可解得，代入體積公式，即可得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為r，則表面積，解得，所以體積，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知球的表面積求體積，關(guān)鍵是求出半徑，再進(jìn)行求解，考查基礎(chǔ)知識(shí)掌握程度，屬基礎(chǔ)題.16、【解析】首先根據(jù)已知條件得到，再結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)求解即可.【詳解】如圖所示：，，所以，即.設(shè)，則，.即，，，，所以，漸近線方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解析】（1）由題意得到關(guān)于a，b的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程；（2）首先聯(lián)立直線與橢圓的方程，然后由直線MA，NA的方程確定點(diǎn)P，Q的縱坐標(biāo)，將線段長(zhǎng)度的比值轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)比值的問題，進(jìn)一步結(jié)合韋達(dá)定理可證得，從而可得兩線段長(zhǎng)度的比值.【小問1詳解】由題意，點(diǎn)橢圓上，有，解得故橢圓C的方程為.【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然不符；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l為：聯(lián)立方程得：由，設(shè)，有又由直線AM：，令x=-4得，將代入得：，同理得：.很明顯，且，注意到，，而，故所以.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓的方程，解題關(guān)鍵是利用離心率與橢圓上的點(diǎn)，找到關(guān)于a，b，c的等量關(guān)系求解a與b．本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，．表示出，，然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的比值關(guān)系．考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力．屬于中檔題18、（1）證明見解析，（）（2）存在，【解析】(1)根據(jù)題意和橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，且，，進(jìn)而得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)，聯(lián)立動(dòng)直線方程和橢圓方程并消元得出關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)根的判別式可得點(diǎn)P和Q的坐標(biāo)，結(jié)合，利用平面向量的坐標(biāo)表示列出方程組，即可解出點(diǎn)M的坐標(biāo).【小問1詳解】圓A：，∵，∴，又，∴∴，∴，故∴點(diǎn)的軌跡是以A，為焦點(diǎn)的橢圓，且，∴，故：（）；【小問2詳解】由，得∴，故，設(shè)，則，，故，，由可得：由對(duì)，恒成立∴故存在使得以為直徑的圓恒過定點(diǎn)19、（1）（2）【解析】（1）依題意得到方程組，求出、、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出過且與軸垂直時(shí)、的坐標(biāo)，即可得到，當(dāng)過的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示得到，將韋達(dá)定理代入得到，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出取值范圍；【小問1詳解】解：由題意可列方程組，解得，所以橢圓方程為：.【小問2詳解】解：①當(dāng)過的直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)，，，則，.②當(dāng)過的直線不與軸垂直時(shí)，可設(shè)，，直線方程為聯(lián)立得：.所以，=將韋達(dá)定理代入上式得：.，，，由①②可知.20、（1）且（2）【解析】（1）由條件可得，解出即可；（2）由條件可得，解出即可.【小問1詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上橢圓，則，解得且【小問2詳解】若表示焦點(diǎn)在軸上且焦距為的雙曲線，則，解得21、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，結(jié)合焦點(diǎn)的坐標(biāo)、橢圓中的關(guān)系進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、基本不等式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】依題意：，解得，，∴橢圓E的方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)，，由得由得．由，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，∴的最大值為22、（1），（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線的定義求得p，進(jìn)而得到拋物線方程，然后將點(diǎn)代入拋物線求解；（2）方法一：設(shè)直線方程為：，與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)直線過點(diǎn)，分直線的斜率不存在時(shí)，檢